幾何中線段的最值問題

1、幾何中線段的最值問題一、 一條線段的最值問題一（1）借助旋轉求最值2013通州一模24已知：，以AB為一邊作等邊三角形ABC.使C、D兩點落在直線AB的兩側.（1）如圖，當ADB=60°時，求AB及CD的長；（2）當ADB變化，且其它條件不變時，求CD 的 最大值，及相應ADB的大小.ADBC2011豐臺一模25.已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD. 探究下列問題:（1）如圖1，當點D與點C位于直線AB的兩側時，a=b=3，且ACB=60°，則CD= ；（2）如圖2，當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6，且ACB=90°，則

2、CD= ；（3）如圖3，當ACB變化,且點D與點C位于直線AB的兩側時，求 CD的最大值及相應的ACB的度數. 圖1 圖2 圖3（2）借助直角三角形性質求最值（1） 勾股定理（2） 直角三角形斜邊中線等于斜邊一半（3） 直角三角形斜邊的兩條重要的線段，一是斜邊上的高，另一個是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的高是直角頂點到斜邊上所有點之中距離最短的，其長度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得【例1】 如圖，在ABC中，C=90°，AC=2,BC=1,點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是 【例2】 如圖，ABC 是邊長為定

3、值m的正三角形，C點與原點重合，點B在第一象限點，點A在x軸上。 求出AC邊上的高線BD的長度； 當點C在y軸的正半軸滑動時，試求出點O到CA距離的最大值； 已知點P是ABC內切圓的圓心，請求出OP的最大值。 2011海淀一模25在RtABC中，ACB=90°，tanBAC=. 點D在邊AC上（不與A，C重合），連結BD，F為BD中點.（1）若過點D作DEAB于E，連結CF、EF、CE，如圖1 設，則k = ；（2）若將圖1中的ADE繞點A旋轉，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示求證：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋

4、轉，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值2010海淀一模25.已知：中，中，,. 連接、，點、分別為、的中點. 圖1 圖2(1) 如圖1，若、三點在同一直線上，且，則的形狀是_，此時_；(2) 如圖2，若、三點在同一直線上，且，證明，并計算的值（用含的式子表示）；(3) 在圖2中，固定，將繞點旋轉，直接寫出的最大值.28正方形ABCD的邊長為3，點E，F分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF連接BF，作EHBF所在直線于點H，連接CH.（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數量關系是 ；（2）如圖2，當點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結論是否成立？若成立給出證明

5、；若不成立，說明理由； （3）如圖3，當點E，F分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值（3）與圓相關2014燕山24.如圖1，已知是等腰直角三角形，,點是 的中點作正方形，使點、分別在和上，連接 ， （1）試猜想線段和的數量關系是 ； （2）將正方形繞點逆時針方向旋轉， 判斷（1）中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論； 若，當取最大值時，求的值2013昌平一模24在ABC中，AB=4，BC=6，ACB=30°，將ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到A1BC1（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線

6、上時，求CC1A1的度數；（2）如圖2，連接AA1，CC1若CBC1的面積為3，求ABA1的面積；（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P的對應點是點P1，直接寫出線段EP1長度的最大值與最小值2015房山一模28如圖1，已知線段BC=2，點B關于直線AC的對稱點是點D，點E為射線CA上一點，且ED=BD，連接DE，BE.(1) 依題意補全圖1，并證明：BDE為等邊三角形；(2) 若ACB=45°，點C關于直線BD的對稱點為點F，連接FD、FB.將CDE繞點D 順時針旋轉度（0°360°）得到，點E的對

7、應點為E，點C的對應點為點C.如圖2，當=30°時，連接證明：=；如圖3，點M為DC中點，點P為線段上的任意一點，試探究：在此旋轉過程中，線段PM長度的取值范圍？圖1圖2圖33. 如圖，已知是等腰直角三角形，點是的中點作正方形，使點分別在和上，連接（1）試猜想線段和的數量關系，請直接寫出你得到的結論（2）將正方形繞點逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于，小于或等于360°），如圖，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由ACBFDEG圖25-1ACBFDEG圖25-2（3）若，在的旋轉過程中，當為最大值時，求的值11

8、以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作AOB和COD，其中ABO=DCO=30°（1）點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，連接FM、EM如圖1，當點D、C分別在AO、BO的延長線上時，=_；如圖2，將圖1中的AOB繞點O沿順時針方向旋轉角（），其他條件不變，判斷的值是否發(fā)生變化，并對你的結論進行證明；（2）如圖3，若BO=，點N在線段OD上，且NO=2.點P是線段AB上的一個動點，在將AOB繞點O旋轉的過程中，線段PN長度的最小值為_，最大值為_圖2圖1（4）其他2011海淀一模24已知平面直角坐標系xOy中, 拋物線與直線的一個公共點為. （1）求此拋物線和直

9、線的解析式；（2）若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值；（3）記（1）中拋物線的頂點為M，點N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標及梯形AOMN的面積.朝陽25如圖，二次函數y=ax2+2ax+4的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，CBO的正切值是2(1)求此二次函數的解析式(2)動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點A順時針旋轉，與直線AB重合時終止運動，直線l與BC交于點D，P是線段AD的中點直接寫出點P所經過的路線長點D與B、C不重合時，過點D作DEAC于點E、作DFAB于點F，連接PE、PF，在旋轉過程中，EP

10、F的大小是否發(fā)生變化？若不變，求EPF 的度數；若變化，請說明理由在的條件下，連接EF，求EF的最小值二、多線段的最值問題2013一模海淀25. 在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為.(1) 求點的坐標（用含的代數式表示）；(2) 直線與拋物線交于、兩點，點在拋物線的對稱軸左側. 若為直線上一動點，求的面積；拋物線的對稱軸與直線交于點，作點關于直線的對稱點. 以為圓心，為半徑的圓上存在一點，使得的值最小，則這個最小值為 .2012朝陽二模25. 在平面直角坐標系中，拋物線經過A（3,0）、B（4,0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BDBC，有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒

11、1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動.（1）求該拋物線的解析式；（2）若經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQMA的值最??？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.2012東城一模25. 如圖，在平面直角坐標系xOy中,二次函數的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點, 頂點為.(1) 求此二次函數解析式；(2) 點為點關于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線交直線于點.問：在四邊形ABKD的內部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請

12、求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結、，求和的最小值. 2012海淀二模24. 如圖, 在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸負半軸交于點A, 頂點為B, 且對稱軸與x軸交于點C.（1）求點B的坐標 (用含m的代數式表示)； （2）D為BO中點，直線AD交y軸于E，若點E的坐標為(0, 2), 求拋物線的解析式； （3）在（2）的條件下，點M在直線BO上，且使得AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線 BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐CAOBxyCAOBxy 備用圖2010海淀二模25.如圖，在平

13、面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸的正半軸上，為的中線，過、兩點的拋物線與軸相交于、兩點（在的左側）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊的頂點、在線段上，求及的長；（3）點為內的一個動點，設，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長. （備用圖）2012豐臺一模25已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，以點P（2，）為圓心的圓與y軸相切于點A，與x軸相交于B、C兩點（點B在點C的左邊）（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在（1）中的拋物線上是否存在點M，使MBP的面積是菱形ABCP面積的如果存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；如果若不存在，請說明理由；（3）如果一個動點D自點P出發(fā)，先到達y軸上的某點，再到達x軸上某點，最后運動到（1）中拋物線的頂點Q處，求使點D運動的總路徑最短的路徑的長.25. 在平面直角坐標系中