SAS講義第二十八課Wilcoxon秩和檢驗

1、第二十八課 Wilcoxon秩和檢驗兩樣本的Wilcoxon秩和檢驗由Mann, Whitney和 Wilcoxon三人共同設(shè)計的一種檢驗，有時也稱為Wilcoxon秩和檢驗，用來決定兩個獨立樣本是否來自相同的或相等的總體。如果這兩個獨立樣本來自正態(tài)分布和具有相同方差時，我們可以采用 t檢驗比較均值。但當這兩個條件都不能確定時，我們 常替換t檢驗法為Wilcoxon秩和檢驗。Wilcoxon秩和檢驗是基于樣本數(shù)據(jù)秩和。先將兩樣本看成是單一樣本(混合樣本)然后 由小到大排列觀察值統(tǒng)一編秩。如果原假設(shè)兩個獨立樣本來自相同的總體為真，那么秩將大 約均勻分布在兩個樣本中，即小的、中等的、大的秩值應(yīng)該大

2、約均勻被分在兩個樣本中。如 果備選假設(shè)兩個獨立樣本來自不相同的總體為真，那么其中一個樣本將會有更多的小秩值， 這樣就會得到一個較小的秩和；另一個樣本將會有更多的大秩值，因此就會得到一個較大的 秩和。設(shè)兩個獨立樣本為：第一個x的樣本容量為 n1,第二個y樣本容量為n2,在容量為n = R +”的混合樣本(第一個和第二個)中，x樣本的秩和為 Wx, y樣本的秩和為 Wy,且有Wx Wy =1 2 n = n(n 1) 2我們定義Wi "nW2 nWy-n2"2 Fy 2(28.1)(28.2)(28.3)以x樣本為例，若它們在混合樣本中享有最小的* ,n1 (n1 1)ni個秩

3、，于是 Wx一 ,也是 Wx可2能取的最小值；同樣Wy可能取的最小值為n2(n2 ")。那么，Wx的最大取值等于混合樣本 2n(n 1)n1(n11)22n(n 1)n1(n11)22的總秩和減去Wy的最小值，即n(n +1) n2(n2 +1) ；同樣，Wy的最大取值等于y22y(28.2)和(28.3)式中的 W,和 W2均為取值在0與n2(n2 +1)=門包2的變量。當原假設(shè)為真時，所有的xi和yi相當于從 2同一總體中抽得的獨立隨機樣本，xi和yi構(gòu)成可分辨的排列情況，可看成一排 n個球隨機地指定n1個為x球另n2個為y球，共有C：1種可能，而且它們是等可能的?；谶@樣分析，

4、在原假設(shè)為真的條件下不難求出 W1和W2的概率分布，顯然它們的分布還是相同的，這個分布稱為樣本大小為 n1和n2的Mann-Whitney-Wilcoxon 分布。一個具有實際價值的方法是，對于每個樣本中的觀察數(shù)大于等于8的大樣本來說，我們mn 可以米用標傕正態(tài)分布 z來近似檢驗。由于W的中心點為 ，根據(jù)(28.2)式，Wx中心點N2為二 0102ni(ni1)二，(必 1)一 22 一 2 2.一一、Wx的方差仃從數(shù)學上可推導出(28.4)2n1n2(n1n2 1)a =12如果樣本中存在結(jié)，將影響到公式(28.5)中的方差，按結(jié)值調(diào)整方差的公式為3_2 _ n1n2(n1n2 1)n1n2

5、( j - j)-1212(n1 n2)(n1 n2 -1)(28.5)(28.6)其中第j個結(jié)值的個數(shù)。結(jié)值的存在將使原方差變小，這是一個顯然正確的事實。標準化后Wx為Wx - 1 -0.5 z 二Wx _ n1(n1 2n2 1)_ 0.5 n21) n1n2” ( 3 - )1212(n1n2)(n1n2 -1)N(Q1)(28.7)其中分子加0.5或減0.5是為了對離散變量進行連續(xù)性修正，對于Wx-N大于0減0.5修正,對于Wx-N小于0加0.5修正。例28.1某航空公司的CEO注意到飛離亞特蘭大的飛機放棄預定座位的旅客人數(shù)在增加， 他特別有興趣想知道，是否從亞特蘭大起飛的飛機比從芝加

6、哥起飛的飛機有更多的放棄預定 座位的旅客。獲得一個從亞特蘭大起飛的9次航班和從芝加哥起飛的8次航班上放棄預定座位的旅客人數(shù)樣本，見表 28.1中的第2列和第4列所示。表28.1放棄預定座位的旅客人數(shù)及統(tǒng)一秩值航班亞特蘭大(x組)芝加哥(y組)次數(shù)放棄人數(shù)統(tǒng)編秩放棄人數(shù)統(tǒng)編秩1115.513721591483103.5103.541812815115.51610620139272416171182215211492517秩和Wx96.5Wy56.5如果假定放棄預定座位旅客人數(shù)的總體是正態(tài)分布且有相等的方差，我們可以采用兩樣本比較的t檢驗。但航空公司的CEO認為這兩個假設(shè)條件不能滿足，因此采用非參

7、數(shù)的Wilcoxon秩和檢驗。將x組與y組看成是單一樣本進行編秩，見表 28.1中的第3列和第5列 所示。，最小值是8秩值為1,最大值是25秩值為17,有兩個結(jié)值10和11,兩個10平均分 享秩值3和4為3.5,兩個11平均分享秩值5和6為5.5。如果兩組放棄預定座位的旅客人數(shù)是相同的，那么我們期望的兩組秩和Wx和Wy大約是相同的；如果兩組放棄預定座位的旅客人數(shù)是不相同的，那么我們期望的兩組秩和Wx和Wy也是非常不相同的。注意到n1 =9, n2 =8, Wx=96.5, Wy =56.5, H0:兩組放棄預定座位旅客人數(shù)的分布是相同的。標準正態(tài)分布z值的計算結(jié)果為96.5 -9() -0.5

8、z 2=1.445159(8)(9 8 1)9(8)(8 -2 8 -2),1212(9 8)(9 8 -1)如果設(shè)定顯著水平 3=0.05,我們知道標準正態(tài)分布在0.05顯著水平時，上臨界值為1.645,下臨界值為1.645,由于1.445<1.645,所以不能拒絕原假設(shè)。在使用Wilcoxon秩和檢驗時，也可以采用第二個樣本的秩和Wy來計算標準正態(tài)分布 z值，但要注意公式中 n1和電的對換。z值的計算結(jié)果為8(9 8 1)56.5 -0.5z =2- -1.445159(8)(9 8 - 1) _ 9(8)(8 -2 8-2):1212(9 8)(9 8 -1)由于1.445>

9、1.645,所以得到是相同的結(jié)果，不能拒絕原假設(shè)。另外，要特別注意的是由于在連續(xù)型分布中隨機地抽出n個樣本，幾乎極少可能存在有些值相等的情況，但在社會經(jīng)濟中有很多離散變量，很可能存在數(shù)值相同的情況，即樣本中存在著“結(jié)”。我們處理“結(jié)”的方法采用分享平均秩，但當大量“結(jié)”存在時，將可能直接影響Wx的方差，因此需要把(28.5)式中的方差修正為(28.6)。但在手工計算和結(jié)值不多的情況下，常使用未修正方差來簡化計算，因為與修正方差的計算結(jié)果比較只存在一些小差異，大 多數(shù)情況下不影響最終的推斷結(jié)果。二、單因子非參數(shù)方差分析的nparlway過程單因子非參數(shù)方差分析的 nparlway過程是分析變量的

10、秩，并計算幾個基于經(jīng)驗分布的函數(shù)(EDF)和通過一個單因子分類變量的響應(yīng)變量確定的秩得分的統(tǒng)計量。秩的得分計算分成四種：Wilcoxon得分、中位數(shù)得分、Savage得分和Van der Waerden得分。然后再由秩得分計算簡單的線性秩統(tǒng)計量，由這個秩統(tǒng)計量可以檢驗一個變量的分布在不同組中是否具有相同的位置參數(shù)，或者在 EDF檢驗下，檢驗這個變量分布在不同組中是否分布相同。秩得分的統(tǒng)計量也可以先用 proc rank過程計算秩得分，然后用proc anova過程分析這些秩得分而得到。1.四種不同的秩得分計算用以下公式定義的統(tǒng)計量nS = ' Cia(Ri)(28.8)1 4稱為線性秩

11、統(tǒng)計量。其中R是第i個觀察的秩，a(R)是秩得分,Ci 是一一個指示向量(由 0和1組成)，它表示了第i個觀察所屬的類， n是觀察的總數(shù)。npar1way過程的四種不同的a(R)秩得分計算為：1) Wilcoxon 得分在Wilcoxon得分中a(R) = R(28.9)它對Logistic分布的位置移動是局部最優(yōu)的。在計算兩樣本情況下的 Wilcoxon秩和統(tǒng)計量時，過程對零假設(shè)下的漸進標準正態(tài)分布的z統(tǒng)計量進行一個連續(xù)的 +0.5和0.5校正。2) Median 得分Median得分又稱為中位數(shù)得分。當觀察的秩大于中位點時，中位數(shù)得分為1,否則為0,即a(R) =1 當R >(n+1

12、)/2(28.10) a(Ri) =0 當R E(n + 1)/2對于雙指數(shù)分布，中位數(shù)得分是局部最優(yōu)。3) Van der Waerden 得分Van der Waerden得分簡稱為 VW的得分。它是對正態(tài)分布的次序統(tǒng)計量的期望值的近似，a(Ri) = F1(R /(n +1)(28.11)其中F，(x)函數(shù)是標準正態(tài)的累積分布函數(shù)的反函數(shù)，這個得分對正態(tài)分布是最優(yōu)的。4) Savage 得分Savage得分是指數(shù)分布的次序統(tǒng)計量的期望值。減去 1使得得分以0為中心，既Ra(R)6 1/(n -i 1) -1(28.12)i=1Savage得分在指數(shù)分布中比較尺度的不同性或在極值分布中的位

13、置移動上是最優(yōu)的。2. nparlway過程說明proc nparlway過程一般由下列語句控制：proc npar1way data=數(shù)據(jù)集 < 選項； class分類變量；var變量列表；by變量列表；run ;為了使用proc npar1way ,必須要proc和class語句。其余語句是供選擇的。1) proc npar1way語句的選項anova對原始數(shù)據(jù)執(zhí)行標準方差分析。edf計算基于經(jīng)驗分布函數(shù)( EDF )的統(tǒng)計量，如 Kolmogorov-Smirnov、Cramer-Von Meses、Kuiper 統(tǒng)計量。missing把class變量的缺失值看作一個有效的分類水平

14、。median執(zhí)行一個中位數(shù)得分分析。對于兩樣本產(chǎn)生一個中位數(shù)檢驗，對于更多樣本產(chǎn)生一個 Brown-Mood檢驗。savage-執(zhí)行一個Savage得分分析。該檢驗適用于數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布的組間比較。vw執(zhí)行一個Van der Waerden得分分析。這是一個通過應(yīng)用反正態(tài)分布累積函數(shù)得到近似的正態(tài)得分。對于兩個水平情況，這是一個標準Van der Waerden檢驗。wilcoxon對數(shù)據(jù)或 Wilcoxon得分進行秩分布。對于兩個水平，它與 Wilcoxon秩和檢驗一樣；對于任何數(shù)量的水平，這是一個 Kruskal-Wallis檢驗。對于兩樣本情況， 該過程使用一個連續(xù)的校正。2) cla

15、ss 語句class語句是必需的，它指定一個且只能一個分類變量。該變量用來標識數(shù)據(jù)中的各個類。Class語句變量可以是字符型或數(shù)值型。3) var語句var語句命名要分析的響應(yīng)變量或自變量。如果省略var語句，過程分析數(shù)據(jù)集中除 class語句指定的數(shù)據(jù)變量外的所有數(shù)值型變量。4) by語句一個by語句能夠用來得到由by變量定義的幾個觀察組，并用proc npar1way過程分別進行分析。當一個by語句出現(xiàn)時，過程希望輸入的數(shù)據(jù)集已按by變量排序。三、實例分析例28.1的SAS程序如下：data study.noshows ;input n;do i=1 to n; input x ; out

16、put;end; end;cards;911 15 10 18 11 20 24 22 25 813 14 10 8 16 9 17 21;proc npar1way data=study.noshows wilcoxon;class group;var x;run;程序說明：建立輸入數(shù)據(jù)集 noshows,數(shù)據(jù)的輸入和成組 t檢驗相同，先輸入本組數(shù)據(jù)的 總數(shù)，然后輸入組中每個數(shù)據(jù)。分組變量為group,共有兩組取值為1和2。輸入變量為x,存放每組中的數(shù)據(jù)。過程步調(diào)用npar1way過程，后面用選擇項 wilcoxon要求進行 wilcoxon秩和檢驗。要注意，如果兩組樣本是配對樣本，應(yīng)該使用

17、配對t檢驗或wilcoxon符號檢驗，因為使用wilcoxon秩和方法，將損失配對信息。class語句后給出分組變量名 group , var語句 后給出要分析的變量x。主要結(jié)果見表 28.2所示。表28.2 用nparlway過程進行 Wilcoxon秩和檢驗的輸出結(jié)果N P A R 1 W A Y P R O C E D U R EWilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable X Classified by Variable GROUPSum of Expected Std Dev MeanGROUPNScoresUnder H0Under H0Scor

18、e1996.81.010.10.2856.72.010.7.Average Scores Were Used for TiesWilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5)S = 56.5000 Z = -1.44515 Prob > |Z| = 0.1484結(jié)果說明：組1和組2的秩和(Sum of Scores)分別為96.50和56.50。原假設(shè)(組1和 組2的總體分布相同) 為真時，期望秩值(Expected)分別為(96.50+56.50) X 9/(9+8) =81.0 和( 96.50+56.50) X 8/ (9+8) =72.0,標準差(Std Dev)按公式(28.6)計算為