二次根式-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】二次根式的定義：形如的式子叫二次根式,其中 4叫被開方數(shù),只有當(dāng)a是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí),后才有意義 1【例2】假設(shè)式子 =有意義,那么x的取值范圍是 ,x 3舉一反三:1、使代數(shù)式J Y2 2x 1有意義的x的取值范圍是 x2、如果代數(shù)式 mrn有意義,那么,直角坐標(biāo)系中點(diǎn) P(m n)的位置在().mnA、第一象限B、第二象限 C第三象限D(zhuǎn)第四象限【例 3】假設(shè) y=x_5+<5x +2021,貝U x+y=解題思路：式1子ja (a>0),5x05 , y=2021,那么 x+y=2021舉一反三(x一 2y),那么xy的值為()A. - 1 B3

2、、當(dāng)a取什么值時(shí),代數(shù)式 亞a%1取值最小,并求出這個(gè)最小值.- - 1.a是而整數(shù)局部,b是 J5的小數(shù)局部,求 a 的值.b 221 .假設(shè)J17的整數(shù)局部為x,小數(shù)局部為y,求x 的值.y知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】1 .非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù).注意：此性質(zhì)可作公式記住,后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到.2 .(、后)2 a(a 0). 注意：此性質(zhì)既可正用,也可反用,反用的意義在于,可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式：2a(a 0)3 . 7a2 |a|注意：(1)字母不一定是正數(shù).a(a 0)4 2)能開得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí),必須用它的算術(shù)平方根代替.(3)可移到根號(hào)

3、內(nèi)的因式, 必須是非負(fù)因式,如果因式的值是負(fù)的, 應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外.2a(a 0)4.公式Ja|a|小與(,6)2 a(a 0)的區(qū)別與聯(lián)系a(a 0)(1) 表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根,a的范圍是一切實(shí)數(shù).(2) (上)2表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方,a的范圍是非負(fù)數(shù).(3) 得和(瓶)2的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的.【典型例題】, 2【例 4】右 a 2| Jb 3 c 40,那么 a b c .舉一反三：1、直角三角形兩邊 x、y的長滿足| x2-4 | + 1y2 5y 6 =0,那么第三邊長為2、假設(shè)a b 1與Ja 2b 4互為相反數(shù),那么2005b(公式(遍)2 a(a 0)的運(yùn)用)【

4、例5】化簡：a 1(7a3)2的結(jié)果為()A、42a B 、0 C 、2a4 D 、4舉一反三：3直角三角形的兩直角邊分別為 J5和J5,那么斜邊長為a2aa(a 0)a(a 0)的應(yīng)用)【例6】x 2,那么化簡jx2 4x 4的結(jié)果是A、x 2 B、x2C x 2D 2 x舉一反三： 22、化簡 J4x 4x 1J2x 3 得()(A)2(B) 4x 4(C) - 2(D) 4x 43、a 0,化簡求值：J4 (a -1)2,4 (a 1)2【例 7】如果表示 a, b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如下圖,那么化簡Ia-b+ 40b)2的結(jié)果等于()bao»A . 2b B . 2b

5、C . 2a D . 2a舉一反三：實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如下圖：化簡： aa 1 J(a 2)2 .1 0 1例8化簡1 x &_8x 16的結(jié)果是2x-5 ,那么x的取值范圍是()(A) x 為任意實(shí)數(shù)(B) 1 <x<4(C) x>1(D) x< 1舉一反三：假設(shè)代數(shù)式J(2 a)2 J(a 4)2的值是常數(shù)2 ,那么a的取值范圍是()A. a > 4 B , a < 2 c. 2 < a < 4 D. a 2或 a 4【例9】如果a va2 2a 1 1,那么a的取值范圍是()A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D

6、. a < 1舉一反三0 B .a1、把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：當(dāng)b -b > 0 時(shí),< x x知識(shí)點(diǎn)三：最簡二次根式和同類二次根式【知識(shí)要點(diǎn)】1、最簡二次根式：1最簡二次根式的定義：被開方數(shù)是整數(shù),因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式.2、同類二次根式可合并根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式,即可以合并的兩個(gè)根式.【典型例題】【例11】以下根式中能與 J3是合并的是A. . 8 B. . 27C.2舉一反三：1、以下各組根式中,是可以合并的根式是A、a/3 口 T8 B、x/3'和C、2、如果最簡二次

7、根式'3a8與Ja2b和4ab2 D、Va1 和Va12a能夠合并為一個(gè)二次根式,那么a=3; D .a2、假設(shè)v'(x 3)2 x 3 0 ,那么x的取值范圍是()(A) x 3(B) x 3(C) x 3(D x 3【例10】化簡二次根式aJ J2的結(jié)果是(A) . a 2 (B)a 2 (C) a 2 (D), a 2知識(shí)點(diǎn)四：二次根式計(jì)算一一分母有理化【知識(shí)要點(diǎn)】1 .分母有理化定義：把分母中的根號(hào)化去,叫做分母有理化.2 .有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.有理化因式確定方法如下：單項(xiàng)二次根式：利用j

8、a冊(cè)a來確定,如：ja與ja, jab與jab, a b與 a b 等分別互為有理化因式.兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來確定.如a vb與a jb, ja jb與ja jb,aVx bQ與aJX bjy分別互為有理化因式.3 .分母有理化的方法與步驟：先將分子、分母化成最簡二次根式；將分子、分母都乘以分母的有理化因式, 使分母中不含根式；最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式.【典型例題】【例13】把以下各式分母有理化2.31、x 尸,y2.322x 3xy y2噂,求以下各式的值：122 .3x y知識(shí)點(diǎn)七：根式比擬大小【知識(shí)要點(diǎn)】1、根式變形法當(dāng)a 0,b 0時(shí),如果a b,那么孤而；如果a b,那么、a 、b.2、平方法當(dāng)a 0,b 0時(shí),如果a2 b2,那么a b ；如果a2 b2,那么a b.3、分母有理化法通過分母有理化,利用分子的大小來比擬.4、分子有理化法通過分子有理化,利用分母的大小來比擬.5、倒數(shù)法6、媒介傳遞法 適中選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值,利用傳遞性進(jìn)行比擬.7、作差比擬法在對(duì)兩數(shù)比擬大小時(shí),經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：a b 0 ab；ab0 a b8、求商比擬法aa匕運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng) a>0, b>0時(shí),那么： 一1 a b