我所認識的彈塑性力學

1、我所認識的彈塑性力學彈塑性力學作為固體力學的一門分支學科已有很長的發(fā)展歷史， 其理論與方法的體系基本完善，并在建筑工程、機械工程、水利工程、 航空航天工程等諸多技術領域得到了成功的應用。一緒論1、彈塑性力學的概念和研究對象彈塑性力學是研究物體在載荷（包括外力、溫度變化或外界約束 變動等）作用下產(chǎn)生的應力、變形和承載能力，包括彈性力學和塑性 力學，分別用來研究彈性變形和塑性變形的力學問題。彈性變形指卸 載后可以恢復和消失的變形，塑性變形時指卸載后不能恢復而殘留下 的變形。彈塑性力學的研究對象可以是各種固體，特別是各種結構， 包括建筑結構、車身骨架、飛機機身、船舶結構等，也研究量的彎曲、 住的扭轉

2、等問題。其基本任務在于針對實際問題構建力學模型和微分 方程并設法求解它們，以獲得結構在載荷作用下產(chǎn)生的變形， 應力分 布及結構強度等。2、彈塑性簡化模型及基本假定在彈性理論中，實際固體的簡化模型為理想彈性體，它的特征是： 一定溫度下，應力應變之間存在一一對應關系， 而與加載過程以及時 間無關。在塑性理論中，常用的簡化模型為：理想塑性模型和強化模 型。理想塑性模型又分為理想彈塑性模型和理想剛塑性模型；強化模 型包括線性強化彈塑性模型、線性強化剛塑性模型和哥次強化模型。彈塑性力學有五個最基本的力學假定，分別為：連續(xù)性假定、均勻性 假定、各向同性假定、小變形假定和無初應力假定。3、研究方法及其與初等

3、力學理論的聯(lián)系和區(qū)別一般來說，彈塑性力學的求解方法有：經(jīng)典方法、數(shù)值方法、試 驗方法和實驗與數(shù)值分析相結合的方法。經(jīng)典方法是采用數(shù)學分析方 法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽遼金法；數(shù)值法常用的有差分法、有限元法及邊界條件法；實驗法是采 用機電方法、光學方法、聲學方法等來測定應力應變分布規(guī)律，如光 彈性法和云紋法。彈塑性力學與初等理論力學既有聯(lián)系又有區(qū)別，如下表所示：表1、彈塑性力學與初等力學理論的聯(lián)系和區(qū)別理論聯(lián)系區(qū)別材料力學1）研究對象都為口受形固體2）都在連續(xù)、均勻、各向同性和 小變形的假定之下，從靜力學、幾 何學和物理學三個方面，出發(fā)，建 立問題的定解方程（組

4、），求解出研究對象的應力、應受和位移3）本構關系均與時間無關研究桿件的應力、內 力和位移，基本局限 在線彈性范圍結構力學研究桿件結構的應力、內力和位移，局限在線彈性范圍彈塑性力學研究范圍涉及土木工 程結構的所有類型， 求解工程結構在彈性 階段和塑性階段的應 力和位移二基本理論框架1、基本方程彈塑性力學和材料力學所求解的問題都是超靜定問題， 因此在分 析問題研究問題是基本思路都是要進過三個方面的分析，這三個方面 分別為：（1）靜力平衡條件分析（2）幾何變形協(xié)調條件分析（3）物 理條件分析從而獲得三類基本方程， 聯(lián)立求解，再滿足具體問題的邊 界條件，即可使靜不定問題得到解決，這三方面的方程為：（1

5、）平衡（或運動方程）內部應力與外部體力之間的關系d 仃G Td T x = 0x f y zd Tdd Txyyzyy = 0L,L,L, 9二 x二 y 二 z- - vzf 二 zxzyz .zL、L、L、二 x 二 y z或二 ij ,j . fi = 0:uy 三Vz三wx（2）幾何方程（應變與位移之間的關系）u u 二 V, xy 一xx：V: wI=T, yz二 y二 y:w: u 1=十, zx zz1 .、=2（Ui，j U j，i）(3)本構方程(應力與應變之間的關系)(A)在彈性變形階段z y或;ijx一' Gy 'z)L xy 二V zxvCTy)，kk&

6、#39; ijG xyG yzzx(B)在彈塑性變形階段屈服函數(shù)a、增量理論(流動理論)b、全量理論(變形理論)a、增量理論(i) Prandtl- Reuss理論塑性增量本構關系de。二 dee。depj2GdSj d Sjd iid 7 ii理想彈塑性材料de。2Gds3 dw dsij,1、(|) LevyMises 理論("一萬)理想剛塑性材料dij3d 2二Sjb、全量理論（形變理論），、人 /1、依留申理論（強化材料）（¥ £ 2）=勺 e=%，.()ii e ii，e 2 .sj' ( )總之，當物體發(fā)生變形時，不論彈性變形還是塑性變形問題，

7、共 有3個平衡微分方程，6個幾何方程和6個本構方程，共計15個獨 立方程（統(tǒng)稱為泛定方程）而問題共有仃ij、，、Ui 15個基本未知函 數(shù)，因此在給定邊界條件時，問題是可以求解的，彈塑性靜力學的這 種那個問題在數(shù)學上成為求解邊值問題。任何一個固體力學參量在具體受力物體內一般都是體內各點（x、y、z）的函數(shù)，他們滿足的方程泛定方程相同。然而由于物體幾何尺 寸的不同，載荷大小與分布的不同，必然導致物體內各點應力、應變 和位移的大小和變化規(guī)律是千變萬化的， 也就是說，單靠這些泛定方 程是不足以解決具體問題的。從力學觀點上來說，所有滿足泛定方程 的應力、應變和位移也應該同時滿足（表面）與外界作用的條件

8、，即 應力邊界條件和位移邊界條件。（4）邊界條件（A）應力邊界條件仃 L + t K + t K = V x11 xy 2 xz 3 xyxll ；yl 2 yz l3 = yT I + T 1_ + 仃 I =7zx 11 xy 2z1 3z或。ij l j = xi （在 s 上）（B）位移邊界條件u = u , v = v, w = w（在 su上）根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，常把編制問題分為第一、第二、第三類邊值問題。2、應力理論應力是指受力物體內某點某截面上內力的分布集度。分為正應力和剪應力，如應力矢量小產(chǎn)生的正應力和剪應力分別為22r2一一a 一 一一 ，仃廠Pn.nn= Pn

9、.S= VP - n在直角坐標系中還可表不為 II 1 dpn = pxi+pyj + pzk。我們用應力張量（對稱二階張量產(chǎn)°來描述一點的應力狀態(tài)，通過關系式 pi = ° ij1 j得到過這一點任意微分截面上正應力和剪應力分別為P = Px2 Py2 Pz2, n= pn=，J2 %l221zl； 2x2 2 y132 2zJJ通過應力分量的坐標變換公式仃j,'=仃j L,jlj'j (矩陣形式。=P"T)來求得同一點在坐標旋轉后得到的應力分量，并證明了應力分量的確是32個對稱二階張量。通過應力狀態(tài)的特征方程 a -If -12a 一°

10、;若 已知一點的應力分量仃ij ,可以求得這一點的三個主應力仃1、仃2、仃3。再主應力空間里，得到應力張量的第一、第二、第三 不變量 I1=1 + 2 + 3,I2 = -(T2 + a2a3 + <T3T 1),I3 = G 12 30 外力作用下, 物體的變形通常分為體積改變和形狀變化，并認為體積的改變是由各 向相等的應力引起的，因此，通常應力分解為球應力張量和偏應力張量，即 =小品+Sj在球行應力狀態(tài)下，微分單元體只產(chǎn)生體積變化， 不發(fā)生形狀變化，而偏斜應力張量反映了一個實際的應力狀態(tài)偏離均 勻應力狀態(tài)的程度，所以，應力張量的分解，更有利于研究固體材料 的塑性變形行為。在主應力空間

11、中，推導了八面體應力和應力強度分 別表示為"8 " "3I1，t8 = g尸i=&T8 = 同，最重要的是建立了物體 內任意點的應力分量和體力分量之間的關系式平衡微分方程%j,j +F = 0和物體邊界上任意點的應力分量和面力分量之間的關系式靜力邊界條件F =山3、應變理論變理論中引入了物體內一點的位移場，同時引入并解釋了應力張量的概念，它是一個對稱二階張量，來完整的表述一點的應變狀態(tài)，建立了應變分量與位移分量的關系式，幾何方程1,.君ij =2（u,j +Uj,i）（Lj =X、y、Z）o證明了應變分量服從坐標變換規(guī)律= L'Jj'j,。

12、同應力理論相似，通過應變特征方程，已知一點的應變狀態(tài)可以求得該點的主應變并在主應變空間表示出了三個應變 不變量。將應變張量分解為應變球張量和應變片張量，即"q = '島+序應變偏張量也是一個是對稱的二階張量，同樣存Ji、4、J3,其中Ji = a ey 0=q e2 4 = 0' I911 I 999在三個不變量 J2 = 6bx - ；y)( y - z)(；z - ；x) 4 xy yz zx)= %(% - S2)2 + e2 f2 + (S - 81)2,J3 = 0%36；引入了體積變量（物體變形后單位體積的變化）G=+£z=Il三 彈塑性力學的基本解法在求解彈塑性邊值問題時，有三種不同的解題方法，即位移法（用位移作為基本未知量來求解邊值問題 卜應力法（用應力作為基本 未知量）、混合法