直線與圓錐曲線專項訓(xùn)練

1、.直線與圓錐曲線專項訓(xùn)練對稱軸平行于坐標(biāo)軸的圓錐曲線【例題精選】：例1：已知平面上一點P在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，而在平移后所得到的新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，那么新坐標(biāo)系的原點在原坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：ABCD分析：由移軸公式已知：答案：A。例2：若平移坐標(biāo)軸，把坐標(biāo)系的原點O移到點，在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（2，1），則原坐標(biāo)系中的曲線在新坐標(biāo)系中的方程是：ABCD分析：由已知。曲線在新坐標(biāo)系中的方程是：。答案：D。例3：平移坐標(biāo)軸化簡方程，畫出新舊坐標(biāo)軸和圖形，并寫出在原坐標(biāo)系下的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程和漸近線方程。解：配方得。，在新坐標(biāo)系中，曲線方程為，頂點（3，0）（3，0），焦點（5，0）、（5，0），準(zhǔn)

2、線方程為。在原坐標(biāo)系中，頂點（2，2），（4，2），焦點（4，2），（6，2），準(zhǔn)線方程。漸近線方程為，即，。右圖是曲線的圖形和新舊坐標(biāo)軸。例4：設(shè)常數(shù)的長軸是短軸的2倍，則。分析：配方得橢圓方程時，依題意，時，。例5：拋物線的準(zhǔn)線方程是，圓心在該拋物線的頂點且與其準(zhǔn)線相切的圓的方程是。分析：拋物線，頂點為（2，0）焦參數(shù)。如右圖所示，得準(zhǔn)線方程為。圓心在拋物線頂點（2，0），與其準(zhǔn)線相切的圓的半徑為1，其方程為。小結(jié)：畫出方程表示的曲線，數(shù)列結(jié)合有助于問題的解決。例6：雙曲線以直線為對稱軸，如果它的一個焦點在軸上，那么它的另一個焦點坐標(biāo)為。分析：由已知雙曲線的中心是（1，2），對稱軸平行于坐

3、標(biāo)軸，所以在軸上的焦點是（0，2），由對稱性可知，另一焦點為（2，2），即為所求。例7：直線l過拋物線的焦點，并且與軸垂直，若被拋物線截得線段長為4，則。分析：在平移變換中，線段長度不變。令，拋物線方程為中畫出曲線如右圖所示，由拋物線。 例8：已知一條與軸平行的直線與曲線交于A、B兩點，曲線中心面積的最大值。解：曲線方程可化為，它是中心為的橢圓。令，將方程化簡為：設(shè)與軸平行的直線為，代入方程得，。例9：焦點為，離心率為2的雙曲線的方程是。分析：由雙曲線焦點為，則其中心為，實軸在軸，焦距，又離心率，所以 ,。例10：設(shè)拋物線經(jīng)過兩點（1，6）和（1，2），對稱軸與軸平行，開口向右，直線被拋物線截

4、得的線段長度是。求拋物線方程。解：由于拋物線過點和，對稱軸與軸平行，而，所以 是它的對稱軸。因此，可設(shè)拋物線的頂點坐標(biāo)是，它的方程是由拋物線過點得將直線代入，消去可得，即設(shè)拋物與直線的交點是滿足方程，所以 又，于是，由題設(shè)可得，由、可得再由得代入得，即解出（不合題意，舍去）。把代入式可得。例11：已知方程討論當(dāng)時，方程表示什么曲線，并求出曲線的中心（或頂點）、焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。解：（1）當(dāng)。方程表示頂點為，焦點為（0，0），準(zhǔn)線方程是的拋物線。（2）當(dāng)時，原方程變形為即方程表示中心為的橢圓，其中。（3）當(dāng)，方程表示雙曲線，其中心、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的表達(dá)式與（2）相同。例12：已知曲線 （1

5、）取什么值時，方程表示焦點在與軸平行的直線上的橢圓；（2）求此橢圓的焦點坐標(biāo)并求其焦點的軌跡。解：（1）配方得當(dāng)。時，方程表示焦點在與軸平行的直線上的橢圓。（2）當(dāng)時，焦點坐標(biāo)為由消去。焦點軌跡為頂點在（1，9）開口向上的拋物線在軸下方的部分（除去頂點）。直線與圓錐曲線【例題精選】：例1：當(dāng)實數(shù)取何值時，直線與雙曲線。（1）有兩個不同的公共點；（2）僅有一個公共點；（3）無公共點？分析：研究直線與圓錐曲線的交點個數(shù)的一般方法是，研究直線與圓錐曲線方程所組成的方程組的實數(shù)解的情況。解：將直線與雙曲線方程聯(lián)立代入得整理得當(dāng)，方程有一實數(shù)解，此時直線為與雙曲線的漸近線平行，則與雙曲線有一交點。當(dāng)時，

6、方程的判別式（1）時，直線與雙曲線有兩個交點；（2）時，直線與雙曲線有一個交點；（3）時，直線與雙曲線無交點。小結(jié)：本題中直線與雙曲線有一個公共點包含了兩種情況：直線與雙曲線的漸近線平行與雙曲線交于一點；直線與雙曲線相切。同樣，直線與拋物線交于一點，包括了與拋物線軸平行的直線與拋物線交于一點和直線與拋物線相切的兩種情況。例2：求直線所得的線段的長。分析：求直線與圓錐曲線相交所截得的弦長，可以聯(lián)立它們的方程，解方程組求出交點坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式即可求出，但計算比較麻煩。如果在方程組消元后得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理可簡化計算，也可用弦長公式求解。 解法一 設(shè)直線與橢圓交于兩點。消去方程

7、的判別式，由韋達(dá)定理， 解法二：由解法一中得到由弦長公式 小結(jié)：求直線與圓錐曲線相交截得弦長的有關(guān)問題，是一類重要的題型，弦長，可做為公式用，但必須知道其公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)是兩點間距離公式和一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。例3：求橢圓且平分于這點的弦所在直線的方程。解法一 設(shè)所求直線方程為，將其代入橢圓方程，消元后經(jīng)整理得到關(guān)于的一元二次方程（*）在橢圓內(nèi)，且是直線與橢圓相交弦的中點，所以方程（*）的判別式。由韋達(dá)定理，又，解得 。即。當(dāng)斜率不存在時，過點M（2，1）的直線為x=2，不是問題的解。解法二 設(shè)過點M（2，1）的直線與已知橢圓相交于兩點，則有關(guān)系式：得，即將、代入可求得即小結(jié)：解法二可稱

8、為代點法，當(dāng)問題涉及弦的中點時，利用此法比較簡單。但要考慮所求的直線與圓錐曲線是否交于兩點。例4：已知雙曲線，過點M能否作直線，使與所給雙曲線交于兩點，且點M是線段的中點。這樣的直線如果存在，求出它的方程，如果不存在，說明理由。解：設(shè)所求直線方程為，當(dāng)斜率不存在時，直線垂直于軸不為所求。將所設(shè)直線與雙曲線方程聯(lián)立得：將代入化簡整理得設(shè)直線與雙曲線兩交點是方程的兩根，由韋達(dá)定理：又M（1，1）是的中點，所以斜率應(yīng)滿足由式解得，不滿足式，所以滿足題中條件的直線是不存在的。小結(jié)：本題是探求雙曲線的弦的中點所在的直線是否存在，在求解過程中要特別注意一元二次方程判別式的重要作用。例5：已知的兩條互相垂直

9、的直線，且與雙曲線各有兩個交點，分別為。（1）求的取值范圍；（2）若的方程。解：（1）依題設(shè)，的斜率都存在，因為且與雙曲線有兩個交點，故方程組有兩個不同的實數(shù)解。在方程組中消去，整理得若，則方程組只有一個解，即與雙曲線只有一個交點，與題設(shè)矛盾，故。方程的判別式為設(shè)的斜率為，因為過點且與雙曲線有兩個交點，故方程組有兩個不同的實數(shù)解。在方程組中消去，整理得同理有又因為。于是，與雙曲線各有兩個交點，等價于解得（2）設(shè)，由方程知 同理，由方程可得，整理得由將、代入上式得小結(jié)：注意到的內(nèi)在關(guān)系，它們與雙曲線所組成的方程組結(jié)構(gòu)相同，可大大減少運算量。例6：已知橢圓C：和直線l：的取值范圍，使對于直線l，橢

10、圓C上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱。解法一 設(shè)所求的取值范圍為M，依兩點關(guān)于直線對稱的定義，可知，等價于有（，是待定常數(shù)），使得這直線與橢圓C有兩不同的交點P、Q，且線段PQ的中點落在直線上（如圖所示）。由方程組代入得方程的兩根為是不同的兩點，故方程的判別式：解得又PQ的中點上。由方程根據(jù)韋達(dá)定理，從而故有，代入得，解法二 設(shè)點，由已知，得、代入得，是動弦PQ中點M的軌跡方程。將，解得。點M必在橢圓內(nèi)，則有小結(jié)：由以上幾道例題可以看出直線與圓錐曲線相交可以編擬較綜合的問題，值得重視。例7：在。（1）設(shè)點A的坐標(biāo)為，求曲線上的點到點A最近的點P之坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為，求曲

11、線上點到點A距離的最小值d，并寫出的函數(shù)表達(dá)式。解：（1）設(shè)為曲線上任意一點，則。 式右端作為的函數(shù)在上單調(diào)遞增，（2）設(shè)為曲線上任意一點，同理有 當(dāng)時，式右端在處達(dá)到最小值。當(dāng)時，式右端作為的函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上所述，有例8：（1）在拋物線上求一點，使它到直線的距離最短；（2）在橢圓上求一點，使它到直線的距離最短。解：（1）設(shè)P為拋物線上一點，則點P的坐標(biāo)為，P到直線的距離。當(dāng)時，有最小值；此時點P的坐標(biāo)為（1，1）。（2）設(shè)橢圓，則點M到直線l的距離。有最小值，最小值為此時，。小結(jié)：對于（2）若不引入?yún)?shù)，直接設(shè)橢圓上點的坐標(biāo)為，其到直線的距離，再與聯(lián)立求的最小值，將很難完成，因此（2）

12、只適用于理科。例9：已知雙曲線，在直線上任取一點P，經(jīng)過點P且以已知雙曲線的焦點為焦點作橢圓，求作出所有橢圓中長軸最短的橢圓方程。解法一 雙曲線的焦點（1，0）、（1，0），設(shè)橢圓長軸長為，短軸長為，則。橢圓方程為直線l的方程為代入消去，其判別式即，解法二 設(shè)依條件所作的橢圓為，若使橢圓長軸最短，只需最小，（如圖所示），由平面幾何知，點P為點F1關(guān)于直線l的對稱點所連直線與直線l的交點。已知橢圓的焦點為。設(shè)關(guān)于直線?！緦ｍ椨?xùn)練】：一、選擇題：1、設(shè)點經(jīng)過平移后，M的新坐標(biāo)為：ABCD2、拋物線的焦點坐標(biāo)為：ABCD3、方程表示的曲線是：A兩條相交直線B兩條平行直線C橢圓D雙曲線4、雙曲線方程，

13、它的中心到準(zhǔn)線的距離是：ABC4D85、通過橢圓的一個焦點且與它長軸垂直的弦長等于：A8BC4D26、設(shè)傾斜角為的直線通過拋物線的焦點且與拋物線相交于M、N兩點，則線段MN的長等于：A16BC8D7、雙曲線右支上一點P到直線的距離為，則點P的坐標(biāo)是：ABCD8、曲線恰 有3個不同的交點，則AB0CD不存在滿足上述條件的a二、填空題：9、雙曲線的焦點坐標(biāo)是。10、以拋物線的焦點為頂點，而以其頂點為焦點的拋物線方程是。11、橢圓與拋物線的公共點的個數(shù)是。12、AB是拋物線的一條過焦點的弦，若，則AB的中點到直線的距離是。13、過雙曲線的左焦點F1，引直線交雙曲線左支于M、N，F(xiàn)2為雙曲線右焦點，若

14、的周長為40，則弦。14、拋物線與橢圓在軸上方交于A、B兩點，設(shè)橢圓左頂點為M，那么。三、解答題：15、已知雙曲線的兩條漸近線方程為，一條準(zhǔn)線方程為，求此雙曲線方程。16、設(shè)拋物線截直線所得的弦長。（1）求k的值；（2）以AB為底邊，以x軸上點P為頂點，組成的面積為39時，求點P的 坐標(biāo)。17、已知橢圓C的方程，若過C的右焦點F的直線l與C交于，兩點，且滿足，求直線l的方程。18、已知曲線C：，問是否存在實數(shù)，使得C與l交于A、B兩點，并且以AB為直徑的圓恰過原點。【答案】：一、選擇題：1、B2、D提示：方程化為在中焦點為，在原坐標(biāo)系中焦點為，所以選D。3、A提示：方程化為，表示兩條相交直線，所以選A。4、C提示：平移變換得，準(zhǔn)線方程為，所以選C。5、C提示：平移變換在新坐標(biāo)系下的方程為，焦點為，代入求得，弦長為4。6、C提示：，焦點為（1，0），直線MN方程為，與拋物線聯(lián)立，求得弦長，所以選C。7、由選擇支A在雙曲線上，且到直線的距離為，所以選A。8、B提示：當(dāng)時，表示兩條相交直線與圓恰 有3個交點，所以選B。二、填空題：9、（3，1），（1，1）10、11、3個12、提示：由拋物線定義，AB中點到準(zhǔn)線的