梁 的 彎 曲 內 力

1、梁 的 彎 曲 內 力彎曲的基本概念彎曲的基本概念1受力特征：受力特征： 外力垂直于桿件的軸線；外力垂直于桿件的軸線；圖4-14對稱彎曲：對稱彎曲： 梁有一縱向對稱面，外力作用在對稱面內，梁變形后，軸線仍在該對稱梁有一縱向對稱面，外力作用在對稱面內，梁變形后，軸線仍在該對稱面內；面內；縱向對稱面對稱軸軸線qpm2變形特征：變形特征： 軸線的曲率改變；軸線的曲率改變；3梁和梁的截面梁和梁的截面： 以彎曲變形為主的桿件；常見梁的截面有：圓截面、矩形截面、工字型截面、以彎曲變形為主的桿件；常見梁的截面有：圓截面、矩形截面、工字型截面、T字型截面等，如圖字型截面等，如圖4-1；梁的簡化梁的簡化RxRy

2、圖4-3R圖圖4-2RxRy圖4-4M1支座的基本形式和支反力支座的基本形式和支反力 (1) 可動鉸支座：只限制梁的約束處在某一方向的移動，支反力與該移動趨勢方向可動鉸支座：只限制梁的約束處在某一方向的移動，支反力與該移動趨勢方向相反，見圖相反，見圖4-2；滑動軸承、徑向滾動軸承和滾軸支座均可簡化成可動鉸支座；滑動軸承、徑向滾動軸承和滾軸支座均可簡化成可動鉸支座；(2) 固定鉸支座：限制梁的約束處在二個相互垂直方向的移動，支反力為二個與移固定鉸支座：限制梁的約束處在二個相互垂直方向的移動，支反力為二個與移動趨勢方向相反的力，見圖動趨勢方向相反的力，見圖4-3；止推軸承和不動鉸支座簡化為固定鉸支

3、座；止推軸承和不動鉸支座簡化為固定鉸支座；(3) 固定支座或固定端：限制梁的約束處在二個相互垂直方向的移動和繞過約束固定支座或固定端：限制梁的約束處在二個相互垂直方向的移動和繞過約束處且與梁軸線垂直的軸轉動，反力為二個與移動趨勢方向相反的力和一個與轉動處且與梁軸線垂直的軸轉動，反力為二個與移動趨勢方向相反的力和一個與轉動趨勢相反的約束力偶；見圖趨勢相反的約束力偶；見圖4-4；長軸承和金屬切削刀架可簡化為固定支座；長軸承和金屬切削刀架可簡化為固定支座；梁的簡化梁的簡化2載荷和簡化載荷和簡化(1) 集中力：作用力分布范圍遠小于梁的寬度時；集中力：作用力分布范圍遠小于梁的寬度時；(2) 分布載荷：沿

4、梁的全長或部分長度連續(xù)分布；用載荷集度分布載荷：沿梁的全長或部分長度連續(xù)分布；用載荷集度q表示，當表示，當q為常數時稱均布載荷；為常數時稱均布載荷；(3) 集中力偶：作用在梁的縱向對稱面內；集中力偶：作用在梁的縱向對稱面內；縱向對稱面對稱軸軸線qpm梁的簡化梁的簡化圖4-6圖4-5圖4-73靜定梁的基本形式靜定梁的基本形式(2) 外伸梁：具有一個或二個外伸部分的簡支梁；見圖外伸梁：具有一個或二個外伸部分的簡支梁；見圖4-6；(3) 懸臂梁：一端固定、一端自由的梁；見圖懸臂梁：一端固定、一端自由的梁；見圖4-7；(1) 簡支梁：梁的一端是固定鉸支座，另一端是可動鉸支座；見圖簡支梁：梁的一端是固定

5、鉸支座，另一端是可動鉸支座；見圖4-5；梁的內力梁的內力-剪力和彎矩剪力和彎矩PQQPY , 0 0 ：xmmP1用截面法求內力：用截面法求內力：由平衡方程：由平衡方程：其中，其中，Q稱剪力，稱剪力，M稱彎矩；稱彎矩；PxMxPMMo 0 0，：PxmmPMQxo梁的內力梁的內力-剪力和彎矩剪力和彎矩2剪力和彎矩的符號規(guī)定和計算剪力和彎矩的符號規(guī)定和計算(+)QQ(-)QQ圖圖4-8截面左邊的截面左邊的向上的集中力向上的集中力在截面上產生數值相等的在截面上產生數值相等的正正剪力，而剪力，而向下的集中力向下的集中力在在截面上產生數值相等的截面上產生數值相等的負負剪力；處理分布力時，先將剪力；處理

6、分布力時，先將分布力簡化成集中力分布力簡化成集中力，然，然后按集中力處理；外后按集中力處理；外力偶不產生剪力力偶不產生剪力；(1) 剪力：按圖剪力：按圖4-8所示變形規(guī)定符號；或所示變形規(guī)定符號；或“左上右下左上右下”的剪力為正，反之為負；的剪力為正，反之為負；梁的內力梁的內力-剪力和彎矩剪力和彎矩2剪力和彎矩的符號規(guī)定和計算剪力和彎矩的符號規(guī)定和計算(+)(-)圖4-9MMMM(2) 彎矩：按圖彎矩：按圖4-9所示變形規(guī)定符號；或所示變形規(guī)定符號；或“左順右逆左順右逆”的彎矩為正，反之為負；的彎矩為正，反之為負；(截面左邊截面左邊的的向上的集中力向上的集中力或或順時針外力偶順時針外力偶在截面

7、上產生在截面上產生正正彎矩，而彎矩，而向下的集中力向下的集中力或或逆時針外力偶逆時針外力偶在截面上產生在截面上產生負負彎矩；外力產生彎矩的數值等于彎矩；外力產生彎矩的數值等于外力乘以外力乘以外力至外力至截面的截面的距離距離，外力偶產生彎矩的數值等于外力偶的數值；處理分布力時，先將，外力偶產生彎矩的數值等于外力偶的數值；處理分布力時，先將分分布力簡化成集中力布力簡化成集中力，然后按集中力處理；，然后按集中力處理；梁的內力梁的內力-剪力和彎矩剪力和彎矩3剪力方程和彎矩方程：剪力方程和彎矩方程：)( xQQ上列函數一般是上列函數一般是分段函數分段函數，剪力方程剪力方程在在集中力集中力作用處分段，作用

8、處分段，彎矩方程彎矩方程在集中在集中力和力和集中力偶集中力偶作用處分段；作用處分段；剪力和彎矩表達成為橫截面位置剪力和彎矩表達成為橫截面位置x的函數式，即的函數式，即4剪力圖和彎矩圖：剪力圖和彎矩圖：橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示剪力或彎矩，即可畫出剪力圖和彎矩圖；橫坐標表示橫截面的位置，縱坐標表示剪力或彎矩，即可畫出剪力圖和彎矩圖；剪力方程剪力方程 彎矩方程彎矩方程 )(xMM 載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系021 00 0dxdx)x( qdx)x(Q)x(dM)x(M)x(MMdx)x( q)x(dQ)x(Q)x(QYC：)()(xqdxxdQ)()(22x

9、qdxxMdM(x)+dM(x)M(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)dxq(x)C1推導：推導：由平衡方程：由平衡方程：略去高階微量，整理得：略去高階微量，整理得：合并二式：合并二式：從梁中任意取出一從梁中任意取出一dx微段，微段上作用分布集度為微段，微段上作用分布集度為q(x)的外力，如圖所示；的外力，如圖所示； 以上三式即為剪力、彎矩與載荷集度之間的微分關系式。以上三式即為剪力、彎矩與載荷集度之間的微分關系式。（1）（2） （3）)()(xQdxxdM載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系(1) 梁上某段梁上某段無無載荷作用，即載荷作用，即q(x)=0，則，則Q(x)=0

10、或或Q(x)=常量常量，表示剪力，表示剪力圖在這一段中是一條圖在這一段中是一條平平直線；直線；當當Q(x)=0時，則時，則M(x)=0或或M(x)=常量，表示彎矩圖在這一段中是一條平常量，表示彎矩圖在這一段中是一條平直線；直線；當當Q(x)=常量常量時，則時，則M(x)是是x的的一次函數一次函數，表示彎矩圖在這一段中是一條，表示彎矩圖在這一段中是一條斜斜直線；直線；2利用載荷集度、剪力和彎矩之間關系作圖利用載荷集度、剪力和彎矩之間關系作圖(2) 梁上某段梁上某段作用均布載荷作用均布載荷，即，即q(x)=常量，則常量，則Q(x)是是x的的一次函數一次函數，M(x)是是x的的二次函數二次函數，表示

11、剪力圖在這一段中是一條，表示剪力圖在這一段中是一條斜斜直線，彎矩圖在這一段中直線，彎矩圖在這一段中是一條是一條拋物線拋物線；當當q(x)0時，彎矩圖是一條時，彎矩圖是一條下凸下凸的拋物線；當的拋物線；當q(x)0，則，則Q(x)在這一段內在這一段內遞增遞增，反之反之則則遞減遞減； 當梁某段內當梁某段內Q(x)0，則，則M(x)在這一段內在這一段內遞增遞增，反之反之則則遞減遞減；(4) 在在dx微段中作用微段中作用集中力集中力P(假設向上假設向上)，則，則dQ(x)=P，dM(x)=0；表示過；表示過集中力作用的截面上，剪力向上突變了集中力作用的截面上，剪力向上突變了P(當當P力方向向下時，則向

12、下突變力方向向下時，則向下突變)，而而彎矩仍不變彎矩仍不變；(5) 在在dx微段中作用微段中作用集中力集中力M0(假設順時針方向假設順時針方向)，則，則dQ(x)=0，dM(x)= M0；表示過集中力偶作用的截面上，表示過集中力偶作用的截面上，剪力剪力保持保持不變不變，彎矩彎矩向上向上突變突變了了M0 (當當M0 是逆時針方向時，則向下突變是逆時針方向時，則向下突變)；載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系2利用載荷集度、剪力和彎矩之間關系作圖利用載荷集度、剪力和彎矩之間關系作圖 0Cdx)x(q)x(Qx 1Cdx)x(q)x(Qxx 0Ddx)x(Q)x(Mx 1Ddx)x(Q)x(Mxx(6) 將前二式積分得：將前二式積分得：其中積分常數是：其中積分常數是：C=Q(0)；或或其中積分常數是：其中積分常數是：C=Q(x1)；和和其中積分常數是：其中積分常數是：D=M(0)；或或其中積分常數是：其中積分常數是：D=M(x1)；即即任意截面上的剪力任意截面上的剪力等于等于q圖上圖上0到到x (或或x1到到x)面積的代數和面積的代數和加加積分常數積分常數；任意截面上的彎矩任意截面上的彎矩等于等于Q圖上圖上0到到x (或或x1到到x)面積的代數和面積的代數和加加積分常數積分常數；載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系2利用載荷集度