三角形的內(nèi)切圓和外接圓

1、三角形的內(nèi)切I和外接-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1三角形外接圓半徑的求法及應(yīng)用 方法一：R = ab/(2h)三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商。AD是AABC的高，AE是4ABC的外接圓直徑.求證AB AC = AE AD.則NABE = 900 .證：連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E,連接BE, ; ZE = ZC, ZABE=ZADC=90 ,RtAABERtAADC, AB AE =，AD AC：.AB AC = AE AD方法二：2R=a/SinA, a為NA的對(duì)邊在銳角ABC中，外接圓半徑為R。求證：2R = AB/SinC證：

2、連接A0并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E,連接BE,AAE=AB/SinEVZC=ZE, SinC =SinEAAE=AB/SinCA2R = AB/SinC若 C 為鈍角，貝!|SinC=Sin (180-C)應(yīng)用一、已知三角形的三邊長(zhǎng)，求它的外接圓的半徑。例1已知：如圖，在ABC中，AC=13, BC=14, AB = 15,求ABC外接圓00的半徑r.分析：作出直徑AD,構(gòu)造RtaABD.只要求出ABC中BC邊上的高AE,用方法一就可以求出直徑AD.解：作AELBC,垂足為A設(shè) CE=x,VAC2-CE2=AE2=AB2-BE2 , A 132-x2=152-(14-x)2，x=5,即 CE = 5,

3、.AE = 12 R=ab/(2h)=13xl5/(2xl2)=65/8，ZABC外接圓00的半徑r為丁. o例2已知：在ABC中，AB = 13, BC = 12, AC = 5,求aABC的外接圓的半徑R.分析：通過(guò)判定三角形為直角三角形，易求得直角三角形外接圓的直徑等于斜邊。應(yīng)用二、已知三角形的二邊長(zhǎng)及其夾角（特殊角），求外接圓的半 徑。例3已知：如圖，在aABC中，AC = 2, BC = 3, ZC=60 ,求ABC外接圓。的半徑R. 分析：考慮求出角的對(duì)邊長(zhǎng)AB,然后用方法一或方法二解題.解：作直徑AD,連結(jié)BD.作AEJBC,垂足為E.則NDBA = 90 , ND=NC = 6

4、0 ,ZCAE=ZDAB= 90 - 60 =30CE=；AC = 1, AE=, AB=V7AR=AC AB/2AE=2xV7/(2xV3 )應(yīng)用三、已知三角形的一邊長(zhǎng)二角度或?qū)堑亩葦?shù)（特殊角），用方法二例4已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10V3,求它的外接圓的半徑解從A作AM_LBC于M,則AD2-MD2 = AM2求它的外接圓的半徑。因2.,.AlvI = p/3.2R =AB * AC _ 10AM =一AC2-(MD + CD)2.即 52-MD2 = 72-(MD + 3)囪35得R = 14,則4ABC外接圓面積S= Ji IV = 196 n .例5如圖3,已知拋物

5、線y = x2-4x + h的頂點(diǎn)A在直線y=-4x-l上,求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)：拋物線與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo);Aabc的外接圓的面積.解A(2, -9)；B( l, 0)； C(5, 0).從A作AMx軸交于M點(diǎn),則 BM = MC = 3. AM =9.J AB = AC =五 + 92 = 3而AB* AC 3710 3710 2k =AM9，R = 5ABC外接圓面積S= n R2=25冗三角形內(nèi)切圓半徑r的求法1 VSAABC=l/2(a+b+c)rA r=2SAABc/(a+b+c)2 RtZABC 中產(chǎn)(a+b-c)/2三角形的內(nèi)切圓和外接圓【知識(shí)要點(diǎn)】1、三角形的外接圓(1)過(guò)

6、三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓，三條邊中垂線的交點(diǎn)，叫做三角形 的外心。三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等.(2)銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，直角三角 形的外心在斜邊中點(diǎn)，外接圓半徑r=(c為斜邊長(zhǎng)).22、三角形的內(nèi)切圓(1)到三角形三條邊距離都相等的圓，叫三角形的內(nèi)切圓，三角形中，三個(gè)內(nèi)角平分線 的交點(diǎn)，叫三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心到三條邊的距離相等，內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.（2）若三角形的面積為周長(zhǎng)為a+b+c,則內(nèi)切圓半徑為:=八血，當(dāng)為直角 a+ b + c三角形的直角邊，C為斜邊時(shí)，內(nèi)切圓半徑）=或 =3+ 一a+b+c23、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1

7、）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角等于它的對(duì)角.注意：圓內(nèi)接平行四邊形為矩形；圓內(nèi)接梯形為等腰梯形.4、兩個(gè)結(jié)論：圓的外切四邊形對(duì)邊和相等；圓的外切等腰梯形的中位線等于腰長(zhǎng).【典型例題】一、填空和選擇（1）一個(gè)三角形的內(nèi)心，外心都在三角形內(nèi)，則這個(gè)三角形一定是（ A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形（2）如右圖，I是AA8C的內(nèi)心，則下列式子正確的是（）A、ZBIC=180-2ZA B、ZBIC=2ZA C、ZBIC=90 + ZA/2 D、ZBIC=90-ZA/2（3） AA3C外切于。O, E、F、G分別是。與各邊的切點(diǎn)，則AE/G的外心是AA5

8、C 的o（4）直角三角形的兩條直角邊分別為5和12,那么它的外接圓的半徑為內(nèi)切圓半徑 為一（5）等邊三角形內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑分別為幾R(shí),則廣尺=.（6）圓外切等腰梯形底角為60。，腰長(zhǎng)為10,則圓的半徑長(zhǎng)為一.（7）等邊三角形一邊長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切圓半徑等于.（8）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑的和高的比是.（9） AA3C的內(nèi)切圓。/與AB、BC、CA分別切于D、E、F點(diǎn)，且NFID=N曰D= 135。，則 AA8C 為.例2.如圖，ZABC中，I是內(nèi)心，AI交BC于D,交ABC的外接圓于E。 求證：（1） IE=EC, （2） IE2=ED EAoARDC例3.如圖，已知AA3C內(nèi)接

9、于AE切。于點(diǎn)A, BCAE,求證：A43C是等腰三角 形7例4.已知AA8C三邊長(zhǎng)為6, 8, 10,則它的內(nèi)心，外心間的距離為【經(jīng)典練習(xí)】一、選擇題1 .下列命題中，正確的有（）圓內(nèi)接平行四邊形是矩形 圓內(nèi)接菱形是正方形圓內(nèi)接梯形是等腰梯形圓內(nèi)接矩形是正方形A. 1個(gè) B.2個(gè) C- 3個(gè) D. 4個(gè)2 .在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ZA： ZB： ZC=3： 5： 6,那么ND=（）A. 80 B. 90 C. 100c D. 1203 .如果一個(gè)直角三角形的一條直角邊等于它的外接圓的半徑r,那么此三角形的面積與其外 接圓的面積之比為（）A出 B 、行C 、療D 244乃 2那乃4.如圖1

10、,四邊形ABCD內(nèi)接于00,若NBOD=110 ,則NBCD=(A. 125B. 110C. 55A05.如圖2,A.涵接于00,C. 120, 606.如圖3,正膏KD內(nèi)接于。O,A. 35 、B 40 C. 45D. 707 .如圖4OMNP。中，過(guò)點(diǎn)Q、M的圓與PQ、MN分別相交于點(diǎn)E、F,下列結(jié)論中正確的 有()NEFN=NQ=NN；NEFN+NP=180 ；EF=PN=MQ； ZM=ZFEPoA.1個(gè)B.2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)8 .如圖5,四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AD為。的直徑，若NCBE=50,則圓心角N AOC=()A. 50 B. 80 C. 100 D, 13013

11、二、填空題9 .設(shè) I 是AABC 的內(nèi)心，。是ABC 的外心，ZA=80 ,貝ljNBIC=, ZBOC=。10 .若三角形的三邊長(zhǎng)為5、12、13,則其外接圓的直徑長(zhǎng)等于，其內(nèi)切圓的直徑長(zhǎng) 為o11 .直角三角形的一邊為a,它的對(duì)角是30 ,則此三角形的外接圓的半徑是 o12 .如圖 6,切4ABC 于 D、E、F, ZC=60 , ZEIF=100 ,則NB二。B13 .如圖 7,。0 內(nèi)切于 RtZkABC, ZC=90 , D、E、F 為切點(diǎn)。若NA00120。，則 NOAC=, ZB=；若 AB=2cm,則 AC=,ABC的外接圓半徑=,內(nèi)切圓半徑=o14 .如圖 8,若弦 ADB

12、C, ZBAC=70 , ZABC=80 ,則NADC=度，ZACD=度。15 .如圖9,四邊形ABCD為。的內(nèi)接四邊形，AECD,若NABC=130 ,則NDAE=o16 .如圖10,四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AB與DC的延長(zhǎng)線交于P。已知NA=60 ,ZABC=100 ,則 NP=o【大展身手】一、選擇題1 .下列說(shuō)法正確的是（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.三角形有且只有一個(gè)外接圓C.四邊形都有一個(gè)外接圓D.圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形2 .下列命題中的假命題是（）A.三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等B.三角形的外心到三角形三邊的距離相等C.三角形的外心一定在三角形一邊的中垂線上D.三角形

13、任意兩邊的中垂線的交點(diǎn)，是這個(gè)三角形的外心3 .下列圖形一定有外接圓的是（）A.三角形 B.平行四邊形C.梯形D.菱形4 .下列說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)一點(diǎn)A的圓的圓心可以是平面上任意點(diǎn)B.過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓的圓心在一條直線上C.過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓的圓心有且只有一點(diǎn)D.過(guò)四點(diǎn)A、B、C、D的圓不存在5 .在RtZkABC中,ZC=90 , AC=6cm, BC=8cm,則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD.8cm6.等邊三角形的外接圓的半徑等于邊長(zhǎng)的（）倍.D.7 .三角形的外心具有的性質(zhì)是（A.到三邊距離相等B.到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等C.外心在三角形外D.外心在三角形內(nèi)8 .對(duì)于三角形的外心，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（A.它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等B.它與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線平分三內(nèi)角C.它到任一頂點(diǎn)的距離等于這三角形的外接圓半徑D.以它為圓心，它到三角形一頂點(diǎn)的距離為半徑作圓，必通過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)9 .在一個(gè)圓中任意引兩條直徑，順次連接它們的四個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形一定是（）A.菱形B.等腰梯形C.矩形D.正方形10.如圖所示,圓的內(nèi)接四邊形ABCD, DA、CB延長(zhǎng)線交于P, AC和BD交于Q,則圖中相似三角形有（A、1對(duì)B、2對(duì)C、 3對(duì)D、4對(duì)PAD11. NDCE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，那么一