《不等式和絕對值不等式》教案人教A版選修

1、不等式和絕對值不等式教案1(人教A版選修4-5)2010屆高三數(shù)學一輪復習精品教案不等式 (附高考預測)一、本章知識結構：二、重點知識回顧1、不等式的性質是證明不等式和解不等式的基礎。 不等式的基本性質有：1)對稱性：abba;2)傳遞性：若ab,be,貝U ac；3)可加性：aba+cb+c;4)可乘性：ab, 當c0時，acbc; 當c0時，acbc不等式運算性質：(1)同向相加：若ab,cd,則a+cb+d；(2) 異向相減：，.(3)正數(shù)同向相乘：若ab0,cd0,則acbd。(4) 乘方法則：若ab0,nN+貝U;(5) 開方法則：若ab0,nN+貝U;(6) 倒數(shù)法則：若ab0,a

2、b,貝V。2、基本不等式 (或均值不等式) ；利用完全平方式的性質，可得a2+b22ab(a,bR),該不等式可推廣為a2+b22|ab|;或變形為|ab|0時，a+b或abw.3、不等式的證明：（1） 不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法， 反證法，換元法，放縮法；（2） 在不等式證明過程中，應注重與不等式的運算性質聯(lián) 合使用；（3） 證明不等式的過程中，放大或縮小應適度。4、不等式的解法： 解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式 過程中應使每一步的變形都要恒等。一元二次不等式（組）是解不等式的基礎，一元二次不等式 是解不等式的基本題型。一元二次不等式與相應的函數(shù)，方

3、程的聯(lián)系1求一般的一元二次不等式或的解集，要結合的根及二次 函數(shù)圖象確定解集2對于一元二次方程，設，它的解按照可分為三種情 況相應地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關系也分為三種情 況因此，我們分三種情況討論對應的一元二次不等式的解 集，列表如下：含參數(shù)的不等式應適當分類討論。5、不等式的應用相當廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研 究函數(shù)單調性等。在解決問題過程中，應當善于發(fā)現(xiàn)具體問 題背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初 等數(shù)學方法之一。 研究不等式結合函數(shù)思想，數(shù)形結合思想，等價變換思想等。6、線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟 解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即

4、借助直線（線性 目標函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線）與平面區(qū)域（可行 域）有交點時，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解。 它的步驟如下：（1）設出未知數(shù)，確定目標函數(shù)。（2）確定線性約束條件，并在直角坐標系中畫出對應的平面 區(qū)域，即可行域。（3） 由目標函數(shù)z=ax+by變形為y= x+,所以，求z的最值可看成是求直線y= x+在y軸上截距的最值（其中a、b是常數(shù)，z隨x，y的變化而變化）。（4） 作平行線：將直線ax+by=0平移（即作ax+by=0的 平行線），使直線與可行域有交點，且觀察在可行域中使最 大（或最?。r所經(jīng)過的點，求出該點的坐標。（5） 求出最優(yōu)解：將（4）中求出的坐標

5、代入目標函數(shù)，從 而求出z的最大（或最?。┲?。7、絕對值不等式（1）1 x |v a（a0）的解集為：x| avx v a;I x|a（a0）的解集為：x|xa或xva。（2）三、考點剖析 考點一：不等關系與不等式 【內(nèi)容解讀】通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中 存在著大量的不等關系，了解不等（組）的現(xiàn)實背景；了解 不等式的有關概念及其分類， 掌握不等式的性質及其應用。養(yǎng)成推理必有依據(jù)的良好習慣，不要想當然，不要錯漏不等 式性質使用的條件，如，中，注意后面大于0的條件，出題 者往往就在這里出一些似是而非的題目來迷惑考生 【命題規(guī)律】高考中，對本節(jié)內(nèi)容的考查，主要放在不等式 的性質上，題型

6、多為選擇題或填空題，屬容易題。例1、（2008廣東文）設，若，貝V下列不等式中正確的是 （）AB.C.D.解：由知, ,所以,故選C.點評：本題考查絕對值的概念和絕對值的性質，如果用特殊 值法也能求解。例2、（2007上海理科）已知為非零實數(shù)，且，貝下列命題成 立的是（ ）A、B、C、D、解：取a= 3,b =2,由（A） （B） （D）都錯，故（C） 點評：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應試時要時刻牢 記有這么一種方法。這晨a，b沒有說明符號，注意不要錯 用性質?？键c二：一元二次不等式及其解法 【內(nèi)容解讀】會從實際情況中抽象出一元二次不等式的模型， 了解一元二次不等式與函數(shù)方程的聯(lián)系；會解

7、一元二次不等 式，會由一元二次不等式的解求原不等式；用同解變形解不 等式，分類解不等式；對解含參的不等式，對參數(shù)進行討論；注意數(shù)形結合，會通過函數(shù)圖象來解不等式（1）用圖象法解一元二次不等式 教材中在研究一元二次不等式的解法時，是結合二次函數(shù)的 圖象，利用對應的一元二次方程的解得出的，所以我們學習 一元二次不等式的解法時，應從二次函數(shù)圖象出發(fā)加以理解（2）弄清一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式三者之 間的關系二次函數(shù)是研究自變量x與函數(shù)值y之間的對應關系，一元 二次方程的解就是自變量為何值時，函數(shù)值的這一情況；而 一元二次不等式的解集是自變量變化過程中，何時函數(shù)值 （） 或（）的情況一元二

8、次方程的解對研究二次函數(shù)的函數(shù)值 的變化是十分重要的，因為方程的兩根是函數(shù)值由正變負或 由負變?yōu)檎姆纸琰c，也是不等式解的區(qū)間的端點學習過 程中，只有搞清三者之間的聯(lián)系，才能正確認識與理解一元二次不等式的解法【命題規(guī)律】高考命題中，對一元二次不等式解法的考查， 若以選擇題、填空題出現(xiàn)，則會對不等式直接求解，或經(jīng)常 地與集合、充要條件相結合，難度不大。若以解答題出現(xiàn)， 一般會與參數(shù)有關，或對參數(shù)分類討論，或求參數(shù)范圍，難 度以中檔題為主。例3、（2007湖南）不等式的解集是（）ABCD解：原不等式可化為x2 x0,即卩x （x 1）0,所以xV0或 乂乂1,選（D）.點評： 這是一道很簡單的一元

9、二次不等式的試題，只要知道 它的解法即可例4、（2007福建）是的什么條件（）A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要解：由|x|V2，得：一2 Vx V 2,由得：一2VxV 3,2V xV 2成立，則2V xV 3一定成立，反之則不一定成立，所以，選（A）。點評：本題是不等式與充分必要條件結合的綜合考查題,先 解出不等式的解集來,再由充分必要條件的判斷方法可得。 例5、（2008江西文）不等式的解集為.解：原不等式變?yōu)?由指數(shù)函數(shù)的增減性,得：，所以填：。點評：不等式與指數(shù)函數(shù)交匯、不等式與對數(shù)函數(shù)交匯、不 等式與數(shù)列交匯是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，應加強訓練。例6、已知集合，若

10、，求實數(shù)的取值范圍解：設，它的圖象是一條開口向上的拋物線（1）若，滿足條件，此時，即，解得；（2）若，設拋物線 與軸交點的橫坐標為，且，欲使，應有，結合二次函數(shù)的圖象，得即解得綜上可知的取值范圍是點評：本題是一元二次不等式與集合結合的綜合題，考查含 參數(shù)一元二次不等式的解法，注意分類討論思想的應用，分 類時做到不遺漏?？键c三：簡單的線性規(guī)劃【內(nèi)容解讀】了解二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域和 線性規(guī)劃的意義；了解線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行 解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解 法，并能應用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題，以 提高解決實際問題的能力生產(chǎn)實際中有許多問題

11、都可以歸納為線性規(guī)劃問題在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，能使完成的任務 量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務，問怎樣安排， 能使完成這項任務耗費的人力、物力資源最小【命題規(guī)律】線性規(guī)劃問題時多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)， 題型以容易題、中檔題為主，考查平面區(qū)域的面積、最優(yōu)解 的問題；隨著課改的深入，近年來，以解答題的形式來考查 的試題也時有出現(xiàn)，考查學生解決實際問題的能力。例7、（2008安徽文）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當 從2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積 為（ ）AB1CD5解：如圖知區(qū)域的面積是OA

12、B去掉一個小直角三角形。（陰影部分面積比1大，比小，故選C,不需要算出來） 點評：給出不等式組， 畫出平面區(qū)域， 求平面區(qū)域的面積的 問題是經(jīng)?？疾榈脑囶}之一，如果區(qū)域是不規(guī)節(jié)圖形，將它 分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可。例8、（2008廣東理）若變量x,y滿足，則z=3x+2y的最大值 是（ ）A90B. 80 C. 70 D. 40解:做出可行域如圖所示.目標函數(shù)化為：y =，令z=0,畫y=，及其平行線，如右圖，當它經(jīng)過兩直線的交點時， 取得取大值。 解方程組,得.所以,故答C.點評： 求最優(yōu)解， 畫出可行域，將目標函數(shù)化為斜截式，再 令z=0,畫它的平行線，看y軸上的截距的最值，就是最

13、 優(yōu)解。例9、（2007山東）本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺 做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元， 甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘， 規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公 司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分 配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大， 最大收益是多少萬元？ 解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘 和分鐘，總收益為元，由題意得 目標函數(shù)為二元一次不等式組等價于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖： 作直線，即平移直線，從圖中可知，當直線過點時，目標函

14、數(shù)取得最大值聯(lián)立解得點的坐標為 （元）答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元點評： 用線性規(guī)劃的方法解決實際問題能提高學生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應該是高考的 熱點題型之一。考點四：基本不等關系 【內(nèi)容解讀】了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式 解決簡單的最值問題，理解用綜合法、分析法、比較法證明 不等式。利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題： （1）當都為正數(shù)，且為定值時，有（定值），當且僅當時， 等號成立，此時有最小值；（2）當都為正數(shù)，且為定值時，有（定值），當且僅當時， 等號成立，此時有最

15、大值創(chuàng)設基本不等式使用的條件， 合理拆分項或配湊因式是經(jīng)常 用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條 件（兩數(shù)都為正）；二要考慮必須使和或積為定值；三要考 慮等號成立的條件（當且僅當a=b時，等號成立），它具有 一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設計為一個難點 【命題規(guī)律】高考命題重點考查均值不等式和證明不等式的 常用方法，單純不等式的命題，主要出現(xiàn)在選擇題或填空題，般難度不太大。例10、（2 0 0 7上海理）已知，且，則的最大值是.解：，當且僅當x=4y=時取等號.點評：本題考查基本不等式求最值的問題，注意變形后使用 基本不等式。例1 1、（2008浙江文）已知（）（A）（B）

16、 （C） （D）解：由，且，。點評：本小題主要考查不等式的重要不等式知識的運用。例1 2、（2008江蘇）已知，則的最小值.解：由得，代入得，當且僅當=3時取=.點評：本小題考查二元基本不等式的運用.題目有有三個未知數(shù)，通過已知代數(shù)式，對所求式子消去一個未知數(shù)，用基 本不等式求解?？键c五：絕對值不等式【內(nèi)容解讀】掌握絕對值不等式丨x |v a,|x|a（ a0） 的解法，了解絕對值不等式與其它內(nèi)容的綜合。【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容多以選擇、填空題為主，有時與充分 必要條件相結合來考查，難度不大。例1 3、（2008湖南文）|x-1| v 2是x v 3的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件件解：

17、由|x 1| v 2得一lv xV3,在一lv x V3的數(shù)都有x V3,但當x V3時，不一定有一lv x V3,女口x=5,所以選（A）.點評：本題考查絕對值不等式的解法，充分條件必要條件的 解法，可以用特殊值法來驗證，充分性與必要性的成立。例l 4、（2008四川文）不等式的解集為（）（A）（B）（C）（D）解：T二即，,二故選A;點評：此題重點考察絕對值不等式的解法；準確進行不等式 的轉化去掉絕對值符號為解題的關鍵，可用公式法，平方法， 特值驗證淘汰法;考點六：不等式的綜合應用【內(nèi)容解讀】用不等式的性質、基本不等式、一元二次不等 式等內(nèi)容解決一些實際問題，如求最值，證明不等式等?！久}

18、規(guī)律】不等式的綜合應用多以應用題為主，屬解答題， 有一定的難度。C.充分必要條件D .即不充分也不必要條例1 5、（2 0 0 8江蘇模擬）如圖，某單位用木料制作如圖 所示的框架,框架的下部是邊長分別為（單位:米）的矩形,上 部是斜邊長為的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米.（I）求的關系式，并求的取值范圍；（H）問分別為多少時用料最??？解：（I）由題意得：4分（H）設框架用料長度為，則當且僅當滿足答：當 米，米時，用料最少.點評：本題考查利用基本不等式解決實際問題，是面積固定， 求周長最省料的模型，解題時，列出一個面積的等式，代入 周長所表示的代數(shù)式中，消去一個未知數(shù)，這是常用的

19、解題 方法。例1 6、（2008江蘇模擬） 某化工企業(yè)2007年底投入100萬元，購入一套污水處理設備該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護 費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年 增加2萬元（1）求該企業(yè)使用該設備年的年平均污水處理費用 （萬元）；（2）問為使該企業(yè)的年平均污水處理費用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備？解：（1）即（）；（2）由均值不等式得：（萬元）當且僅當，即時取到等號答：該企業(yè)10年后需要重新更換新設備點評：本題又是基本不等式的一個應用，第一問求出函數(shù)關 系式是關鍵，第二問難度不大?？键c七：不等式的證明【內(nèi)

20、容解讀】證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各 種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特 點.比較法的一般步驟是：作差（商）f變形f判斷符號（值）.【命題規(guī)律】不等式的證明多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中等 偏難的試題。例1 7、已知a, b都是正數(shù)，并且a ? b，求證：a5 + b5a2b3 + a3b2證明：（a5 + b5 ） ? （a2b3 + a3b2） = （ a5 ? a3b2） + （b5 ?a2b3 ）= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) =

21、(a2 ? b2 ) (a3 ? b3)= (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)Ta, b都是正數(shù)，二a + b, a2 + ab + b2 0又v a ? b，二(a ? b)2 0.(a + b)(a ? b)2( a2 + ab +b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b2點評：作差相減法是證明不等式的常用方法之一，通過作差 比較差的結果的符號是大于0還是小于0，另外，作商也是 經(jīng)常使用的方法。例18、已知，求證 證明：只需證：即證：成立 原不等式成立.點評：用分析法證明不等式也是常用的證明方法，通過分析 法，能夠找到證明的思路。例19、(2 0 0 7湖

22、北理科)已知m n為正整數(shù).(I)用數(shù)學歸納法證明：當x-1時，(1+x)m1+mx(H)對于n6,已知，求證，m=1,1,2,n；(山)求出滿足等式3n+4m+.+( n+2)m=( n+3)n的所有正整 數(shù)n.解：(I)證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學歸納法證明：當x-1，且xM0時，mr2,(1+x)m1+mx. O1(i)當m=2時，左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x，因為*豐0,所以x20，即左邊右邊，不等式成立；(ii)假設當m=k(k2)時，不等式成立，即(1+x) k1+kx,則當m=k+1時，因為x-1,所以1+x0.又因為XM0,k2,所以kx20

23、.于是在不等式(1+x)k1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以(1+x)k+11+(k+1)x,即當m= k+1時，不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.(n)證：當而由(I),(山)解：假設存在正整數(shù)成立，即有()+=1.又由(n)可得()+與式矛盾，故當n6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；當n=1時，3m 4，等式不成立；當n=2時，32+42=52,等式成立；當n=3時，33+43+53=63,等式成立；當n=4時，34+44+54+64為偶數(shù)， 而74為奇數(shù)， 故34+44+54+64 74,等式不成立；當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.點評：本題考查數(shù)學歸納法、不等式的基本、反證法等內(nèi)容， 難度較大。四、方法總結與2010年高考預測（一）方法總結1熟練掌握不等式的基本性質，常見不等式（如一元二次不等式，絕對值不等式等）的解法，不等式