線性系統(tǒng)的綜合

1、q 本節(jié)討論的主要問題： 基本概念: 狀態(tài)反饋、輸出反饋 基本性質(zhì): 反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性/能觀性q 本節(jié)的講授順序?yàn)? 狀態(tài)反饋的描述式狀態(tài)反饋的描述式 輸出反饋的描述式輸出反饋的描述式 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性q 由于線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型以及能控性判據(jù)的類同性,因此本節(jié)討論的概念和方法也可推廣到線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和輸出反饋系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問題。重點(diǎn)喔！圖6-1 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖其中K為rn維的實(shí)矩陣,稱為狀態(tài)反饋矩陣;v為r維的輸入向量,亦稱為伺服輸入。 將狀態(tài)反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程,q 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下: 設(shè)開環(huán)

2、系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和狀態(tài)反饋律分別記為ABCK xxuyxuxv()ABKBC xxvyxu=-Kx+v D=0則可得如下狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型: 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為K(A-BK,B,C),其傳遞函數(shù)陣為:WK(s)=C(sI-A+BK)-1B與狀態(tài)反饋有何不同?圖6-2多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋至參考輸入結(jié)構(gòu)q 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下: 開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和輸出反饋律分別為ABCH xxuyxuyv其中H為rm維的實(shí)矩陣,稱為輸出反饋矩陣。 將輸出反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程,()ABHCBC xxvyxu=-Hy+vy=Cx 則可得如下輸出反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀

3、態(tài)空間模型: 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為H(A-BHC,B,C),其傳遞函數(shù)陣為:WH(s)=C(sI-A+BHC)-1Bq 由狀態(tài)反饋和輸出反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可知,輸出反饋其實(shí)可以視為當(dāng)K=HC時(shí)的狀態(tài)反饋。 因此,在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí),輸出反饋可看作狀態(tài)反饋的一種特例。 反之,則不然。 由此也可知,狀態(tài)反饋可以達(dá)到比輸出反饋更好的控制品質(zhì),更佳的性能。Understand?6.2.3反饋控制對能控性與能觀測性的影響反饋控制對能控性與能觀測性的影響q 對于由狀態(tài)反饋和輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng),其狀態(tài)能控/能觀性是進(jìn)行反饋律設(shè)計(jì)和閉環(huán)系統(tǒng)分析時(shí)所關(guān)注的問題。 下面分別討論兩種閉環(huán)系統(tǒng)的 狀

4、態(tài)能控性狀態(tài)能控性 狀態(tài)能觀性狀態(tài)能觀性1. 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性q 由狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù)狀態(tài)能控性模態(tài)判據(jù)(定理定理3-3),被控系統(tǒng)(A,B,C)采用狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的能控性可由條件rankI-A+BK B=n 來判定,而0r-r -r-II ABK BI A BI A BKI上式即表明狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。q 由于輸出反饋可視為狀態(tài)反饋在K=HC時(shí)的特例,故輸出反饋亦不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。2. 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性q 對被控系統(tǒng)(A,B,C)有如下結(jié)論: 采用輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)后狀態(tài)

5、能觀性不變,即 輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性。q 根據(jù)對偶性原理和輸出反饋不改變狀態(tài)能控性的結(jié)論,可對上述結(jié)論證明如下:證明過程圖解證明過程圖解輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)的狀態(tài)能觀性對偶原理經(jīng)輸出反饋H(A,C,B)的狀態(tài)能控性對偶原理(A,B,C)的狀態(tài)能觀性對偶系統(tǒng) 的狀態(tài)能控性),BCBHCAH(需證明的結(jié)論?證明過程證明過程: 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)的狀態(tài)能觀性等價(jià)于其對偶系統(tǒng) (A-CHB,C,B)的狀態(tài)能控性;H 而該對偶系統(tǒng)可以視為是系統(tǒng)(A,C,B)經(jīng)輸出反饋陣為H構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng); 由于輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性,因此閉環(huán)

6、系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)的狀態(tài)能觀性等價(jià)于系統(tǒng)(A,C,B)的狀態(tài)能控性; 又由對偶性原理有,系統(tǒng)(A,C,B)的狀態(tài)能控性等價(jià)于其對偶系統(tǒng)(A,B,C)的狀態(tài)能觀性。 因此,證明得閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)的狀態(tài)能觀性等價(jià)于系統(tǒng)(A,B,C)的狀態(tài)能觀性。 故輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性。q 對于采用狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)K(A-BK,B,C),狀態(tài)反饋可能改變狀態(tài)能觀性。 該結(jié)論可先由下面的例子來說明,在后述的極點(diǎn)配置部分再詳細(xì)討論。q 例6-1 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為12031112 xxuyx并設(shè)狀態(tài)反饋陣K=3 1和輸出反饋H=2。試分析該系

7、統(tǒng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)和輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控/能觀性。q 解解 1： 因?yàn)殚_環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為nCACnABB24721rankrank21120rankrank120()001ABKB xxvxv其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為所以狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控但不能觀的,即狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。3. 經(jīng)輸出反饋u=-Hy+v后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為02rank() rank21012rankrank1()12BABK BnCnC ABK 120()131ABHCB xxvxv其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為所以輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控又能觀的。02r

8、ank()rank21-312rankrank2()3-4BABHC BnCnC ABHCq 由于線性定常系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,因此考慮到問題的可解性,對期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問題:1) 對于n階系統(tǒng),可以而且必須給出n個(gè)期望的極點(diǎn);2) 期望的極點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù);3) 期望的極點(diǎn)必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)等的要求。 p2 p1 p3 本節(jié)主要討論兩方面的問題：其一，閉環(huán)極點(diǎn)可任意配置的條件；其二，如何設(shè)計(jì)反饋增益陣使閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望極點(diǎn)處。為簡單起見，僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。 6.3.1 采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) 1.采用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充

9、分必要條件 定理6-3 采用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必要條件是被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控。 )(oCB,A, 證明 先證必要性。由定理6-1知，若 不能控，則其不能控極點(diǎn)及其對應(yīng)的不能控模態(tài)不能通過狀態(tài)反饋改變。證畢。 )(oCB,A, 再證充分性。以下充分性證明過程實(shí)際上給出了單輸入單輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)反饋增益矩陣的規(guī)范算法。 (1)若被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控，且設(shè)其特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)分別為 )(oCB,A,CxBuAxxynnnnasasasssf111odet)(AI（6-16） nnnnnnnnasasasbsbsbsbssG111122111o)()(BAIC（6-17） 可通過如下變換

10、（設(shè) 為能控標(biāo)準(zhǔn)型變換矩陣） Px = Px（6-18） 將 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 ，即 )(oCB,A,_o)(C,B,AxCuBxAxy（6-19） 式中， 121c1c121c1c1000,100001000010bbbbaaaannnnnCTCBTBATTA（6-20） (2)針對能控標(biāo)準(zhǔn)型 引入狀態(tài)反饋 _o)(C,B,AuvKx（6-21） 式中， ，可求得對 的閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式仍為能控標(biāo)準(zhǔn)型，即 123nkkkkKx_K()A- BK,B,C()vyxABxBCxK（6-22） 式中， 112231010000100001()()()()nnnnakakakakA- BK（6

11、-23） 則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項(xiàng)式和傳遞函數(shù)分別為 _K()A- BK,B,C1K1121( )det()()()()nnnnnpsssaksak sakIABK（6-24） 121121K11121( )()()()()nnnnnnnnnbsb sbsbGsssak sak sakC IABBK（6-25） 式（6-24）、（6-25）表明， 的n階特征多項(xiàng)式的n個(gè)系數(shù)可通過 _K()A- BK,B,C123,nk kkk即 的特征值可任選。A- BK獨(dú)立設(shè)置，K( )det()det()ksssIABIABKK故若被控系統(tǒng) 能控，則其狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)可任意配置。 )(oCB,A,又(4)

12、將式（6-18）代入式（6-21）得 -uvvv-1K x =K P x =K x（6-28） 則原被控系統(tǒng) 即對應(yīng)于狀態(tài)x引入狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望極點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益矩陣為 )(oCB,A,-1K = K P（6-29） 6.3.2 系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的算法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的算法方法一 標(biāo)準(zhǔn)算法 該算法適用系統(tǒng)維數(shù)n等于或大于4，控制矩陣中非零元素比較多的情況，所有的矩陣計(jì)算都可由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。具體可按下面步驟完成。1考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。2利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式111det()nnnnsIAsIAsa sasa12,na aa確定

13、出 3確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么P P =I I。此時(shí)無需再寫出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣P P 可給出，即PQW1nQB ABAB其中Q為能控性矩陣，即1212311101001000nnnnaaaaaWa5此時(shí)的狀態(tài)反饋增益矩陣 為1112211nnnnKaaaaaaaaP 4利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可寫出期望的特征多項(xiàng)式為11211)nnnnnssssa sasa（12,na aa確定出 方法二 解聯(lián)立方程 如果是低階系統(tǒng)（n3 ），則將線性反饋增益矩陣K直接代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，可能更為簡便。例如，若n

14、 = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為123Kkkk進(jìn)而將此 代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 使其等于 即sIABK123()()()sss123()()()sIABKsss由于該特征方程的兩端均為 的多項(xiàng)式，故可通過使其兩端的 同次冪系數(shù)相等，來確定 ，K1,K2,K3的值。如果n = 2或者n = 3，這種方法非常簡便（對于n =4,5,6,，這種方法可能非常繁瑣）。還有其他方法可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，比如著名的阿克曼公式算法、梅內(nèi)默多克算法等，這里不作介紹，如有興趣可以查閱相關(guān)文獻(xiàn)。由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)運(yùn)動和特性的，因此對實(shí)際控制系統(tǒng)，它可能不能直接測量，更甚者是抽象的數(shù)學(xué)變量，實(shí)

15、際中不存在物理量與之直接對應(yīng)。若狀態(tài)變量不能直接測量，則在狀態(tài)反饋中需要引入所謂的狀態(tài)觀測器來估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值，再用此估計(jì)值來構(gòu)成狀態(tài)反饋律。這將在下節(jié)中詳述。 【例6-2】考慮如下線性定常系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋控制 ，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s = -2j4和s = -10。試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。0100001,01561AB 解：首先需檢驗(yàn)該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：20010161631QB AB A B所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點(diǎn)。xAxBu方法1：該系統(tǒng)的特征方程為：因此期望的特征方程為可得3232123

16、10|011566510ssIAssssssa sa sa1236,5,1aaa323*2*123(24)(24)(10)14602000sjsjsssssa sa sa因此*12314,60,200aaa 200 1 605 146 199558K 因此 方法2：設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為123Kkkk并使|sIABK和期望的特征多項(xiàng)式相等，可得1231233232132000100|000010 0015611001156(6)(5)11460200ssIABKskkkssskksksk sk sksss 321614,560,1200kkk123199,55,8kkk199558K AB

17、Cxxuyx使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的n個(gè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)也就是成立nisBKAii,.,2 , 1,)(*vxu Hq 下面,先通過一輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)變化,考察輸出反饋能否像狀態(tài)反饋那樣對能控系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置,然后給出相關(guān)結(jié)論。它在輸出反饋下u=-hy下的閉環(huán)系統(tǒng)為其閉環(huán)特征多項(xiàng)式為s2+h。xxx01100010yu0100110uhy xxx 從而當(dāng)h的值變化時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)從2重的開環(huán)極點(diǎn)s=0配置到或,而不能任意配置。 而不能任意配置。 shsj h 或Huxv()ABHBxxu 使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程是鎮(zhèn)定的,其中H為狀態(tài)反饋矩陣,v為參考輸入。22121110

18、AAAAPPAcc011BBPBc21CCCPCc其中, 為完全能控子系統(tǒng); 為完全不能控子系統(tǒng)。1111(,)cAB C 222(,0,)ncAC11112111222222| | |0sIAAsIAsIAsIAsIAsIA(3) 由于原系統(tǒng)(A,B,C)與結(jié)構(gòu)分解后的系統(tǒng) 在穩(wěn)定性和能控性上等價(jià),假設(shè)K為系統(tǒng)的任意狀態(tài)反饋矩陣,對 引入狀態(tài)反饋陣 ,可得閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為( ,) A B C21KKKPKc1112111112121122222000AAAB KAB KBABKKKAA 11111222|()| |()| |sIABKsIAB KsIA 可以發(fā)現(xiàn): 引入狀態(tài)反饋陣 后,只

19、能通過選擇 來使得 的特征值具有負(fù)實(shí)部,從而使能控子系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定。 但 的選擇并不能影響不能控子系統(tǒng)的 特征值分布。 因此,當(dāng)且僅當(dāng)漸近穩(wěn)定時(shí)(的特征值均具有負(fù)實(shí)部),整個(gè)系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。 從而定理得證。 12KKK1K1111()AB K cKnc111222| | |(618)sIAsIAsIA111211122,00cccAABAP APBP BA其中, 為完全能控部分, 為完全不能控部分但漸近穩(wěn)定。),(111BA22(,0)A110cKKP1111KBA 1Kuxx10011011101021032211001012110rankranknABB1011010100 ,00

20、1010101ccPP1110010121 ,0100100cccAP APBP B112100101210100100 xxuxx1111010(,),1201AB 1111*KBAA22211211222112111111*21110012101kkkkkkkkKBAA1K4104222112111kkkkK2003*A410040101100010041004011cPKK301130200BKA() xABHC xBv111213141222423334442400000000000AAAABAABABAAACCC( ,)A B CH11121314122242243334441112

21、1213141422222424333444000000000000000000AAAABAABABHCHCCAAAAAB HCAAB HCAB HCAB HCAAA 1122223344|()| | |()| | |sIABHCsIAsIAB HCsIAsIA 1122223344()AAB HCAA 、2222(,)AB C005201011200101301ABC，32( ) |35f ssIAsss11122200520005210112001102101301013hhhhhhABHC322121( ) |()|(3)(12)( 25)HfssIsh shh sh ABHC12, 3

22、, 2/52121hhhh12)(23ssssfH 6.5.1補(bǔ)償器解耦6.5.2狀態(tài)反饋解耦耦合是生產(chǎn)過程控制系統(tǒng)普遍存在的一種現(xiàn)象。在一個(gè)MIMO系統(tǒng)中，每一個(gè)輸入都受多個(gè)輸出的影響，每個(gè)輸出受多個(gè)輸入的控制，當(dāng)一個(gè)控制量的變化必然會波及其它量的變化，這種現(xiàn)象稱為耦合。解耦，就是消除系統(tǒng)間耦合關(guān)聯(lián)作用。如果一個(gè)輸入量只受一個(gè)輸出量影響，即一個(gè)輸出僅受一個(gè)輸入控制，這樣的系統(tǒng)稱為無耦合系統(tǒng)。特別是過程控制中，解耦控制有著重要的意義。目前許多在航天、發(fā)電、化工等方面的控制系統(tǒng)難于投入運(yùn)行，不少是因耦合的原因造成，因此解耦問題的研究十分重要。 設(shè)多變量線性定常系統(tǒng) 的輸入向量維數(shù)與輸出向量維數(shù)相

23、等,其狀態(tài)空間表達(dá)式為 )(oCB,A,CxBuAxxy式中， 均為m維列向量； 為n維列向量;A,B,C分別為 實(shí)數(shù)矩陣,且設(shè) 。與式（5-74）對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣為 y,uxnmmnnn,nm)()()()()()()()()()()(2122221112111sGsGsGsGsGsGsGsGsGssmmmmmmBAICG(6-36) 式中, 為m階嚴(yán)格真有理函數(shù)方陣; 為 的第i行第j列元素,表示第i個(gè)輸出量與第j個(gè)輸入量之間的傳遞函數(shù)。若系統(tǒng)初始為零狀態(tài),則其輸入輸出關(guān)系為 )(sG)(sGij)(sG)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2

24、2112222121212121111susGsusGsusGsysusGsusGsusGsysusGsusGsusGsymmmmmmmmmm (6-37) 由式(6-37)可見, 一般情況下,多變量系統(tǒng)的每一輸入分量對多個(gè)(或所有)輸出分量均有控制作用,即每一輸出分量受多個(gè)(或所有)輸入分量的控制。這種第j個(gè)輸入量控制第i個(gè)輸出量( )的關(guān)系稱為輸入輸出間的耦合作用,這種耦合使多變量系統(tǒng)的控制通常十分困難,例如, 就難以找到合適的輸入量,達(dá)到控制某一輸出分量而不影響其它輸出分量的要求。因此,有必要引入合適的控制律,使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦,即實(shí)現(xiàn)每個(gè)輸出分量僅受一個(gè)對應(yīng)輸入分量

25、控制,每個(gè)輸入分量也僅能控制對應(yīng)的一個(gè)輸出分量。 ji 顯然, 解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣必為對角線形的非奇異矩陣,由此解耦系統(tǒng)的定義出發(fā),使多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦的基本思路是通過引入控制裝置使系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣對角化,而具體實(shí)現(xiàn)方法主要有前饋補(bǔ)償器解耦、輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合解耦等。 采用前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦的方法如圖6-3所示,在待解耦系統(tǒng)前串聯(lián)一個(gè)前饋補(bǔ)償器,使串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)陣成為對角形的有理函數(shù)矩陣。 圖6-3 前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦 圖6-3中,待解耦系統(tǒng)和前饋補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣分別為 和 ,則串接補(bǔ)償器后整個(gè)系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)陣為 )(osG)(csG (6-38) )()()(cosssGG

26、令 (6-39) )()()()(2211ssssmm 顯然,只要待解耦系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣 滿秩,即 的逆 存在,則可采用如式(6-40)所示的前饋補(bǔ)償器使系統(tǒng)獲得解耦,即 )(osG)(osG)(1osG)()()(1ocsssGG (6-40) 式中, 為串接補(bǔ)償器后解耦系統(tǒng)的對角形傳遞函數(shù)陣,如式(6-39)所示。 )(s 串接前饋補(bǔ)償器解耦的原理雖然簡單,但其增加了系統(tǒng)的維數(shù),且其實(shí)現(xiàn)受到 是否存在及 物理上是否可實(shí)現(xiàn)的限制。 )(1osG)(csG 采用輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合方式以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)輸入輸出間解耦控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6-5所示。 圖6-5 采用輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合實(shí)現(xiàn)解耦 圖6

27、-5中, 待解耦系統(tǒng) 狀態(tài)空間表達(dá)式及傳遞函數(shù)陣分別如式(6-35)及式(6-36)所示;狀態(tài)反饋增益陣K為 實(shí)常數(shù)陣;輸入變換陣F為 實(shí)常數(shù)非奇異陣;v為m維參考輸入信號列向量。 )(oCB,A,nmmm 由圖6-5可見,為實(shí)現(xiàn)閉環(huán)解耦控制,對 采用的控制律為 )(oCB,A,uFvKx得圖6-5所示閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式及傳遞函數(shù)矩陣,即 KF()xABK xBFvyCx1( )()KFssGC IABKBF因此,待解耦系統(tǒng) 采用所示控制律實(shí)現(xiàn)閉環(huán)解耦問題在頻域中可簡單描述如下:尋找適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣K和輸入變換陣F,使閉環(huán)系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)陣為對角形矩陣。 )(oCB,A,KF 定

28、義 是0(n-1)之間滿足下式 id0BACidi(6-44)的最小整數(shù)。式中, 為 輸出矩陣C的第i行向量, 故相應(yīng)的 的下標(biāo)i表示行數(shù) 。若對 ,均有 ,則令 。 根據(jù) ,定義 維矩陣 iC)(oCB,A,id), 2 , 1(mi1, 1, 0nl0BAliC1 ndiidmmBACBACBACBmdmdd2121 (6-45) 定理6-8 系統(tǒng) 采用式(6-41) 所示輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合控制律可解耦的充要條件是式(6-45)所示矩陣 非奇異。 )(oCB,A,B 定理6-9 當(dāng)系統(tǒng) 可以式(6-41) 所示輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合控制律解耦時(shí), 若取輸入變換陣F及狀態(tài)反饋增益陣K

29、為 )(oCB,A,121122111211111221mmmdddmddddddmmC A BC A BFBC A BC A BC AC A BC AKC A BC A(6-46) 則所得閉環(huán)系統(tǒng) ()xABK xBFvyCx (6-47) 是積分型解耦系統(tǒng),其傳遞函數(shù)陣為 12(1)(1)1(1)( )()mddKFdsssssGC IABKBF(6-48) 6.6 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器q 前面已指出,對狀態(tài)能控的線性定常系統(tǒng),可以通過線性狀態(tài)反饋來進(jìn)行任意極點(diǎn)配置,以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點(diǎn)及性能品質(zhì)指標(biāo)。 但是,由于描述內(nèi)部運(yùn)動特性的狀態(tài)變量有時(shí)并不是能直接測量的,更甚者有時(shí)并沒有實(shí)

30、際物理量與之直接相對應(yīng)而為一種抽象的數(shù)學(xué)變量。 在這些情況下,以狀態(tài)變量作為反饋?zhàn)兞縼順?gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶來了具體工程實(shí)現(xiàn)上的困難。 為此,人們提出了狀態(tài)變量的重構(gòu)或觀測估計(jì)問題?q 所謂的狀態(tài)變量的重構(gòu)或觀測估計(jì)問題,即設(shè)法另外構(gòu)造一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的動態(tài)系統(tǒng), 它以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為它的輸入, 而它的狀態(tài)變量的值能漸近逼近原系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值或者其某種線性組合, 則這種漸近逼近的狀態(tài)變量的值即為原系統(tǒng)的狀態(tài)變量的估計(jì)值, 并可用于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)中代替原狀態(tài)變量作為反饋量來構(gòu)成狀態(tài)反饋律。 這種重構(gòu)或估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)變量值的裝置稱為狀態(tài)觀測器,它可以是由電子、電氣等裝置構(gòu)成的物理系統(tǒng),亦可以是由

31、計(jì)算機(jī)和計(jì)算模型及軟件來實(shí)現(xiàn)的軟系統(tǒng)。 狀態(tài)觀測器指不考慮噪聲干擾下狀態(tài)值的觀測或估計(jì)問題,即所有測量值都準(zhǔn)確無差且原系統(tǒng)內(nèi)外部無噪聲干擾。 對于存在噪聲干擾時(shí)的狀態(tài)觀測或估計(jì)問題,則可用卡爾曼濾波器理論來分析討論(最優(yōu)估計(jì))。q 本節(jié)主要討論狀態(tài)觀測器理論。 重點(diǎn)掌握: 狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)、 誤差分析、 設(shè)計(jì)方法,以及 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的分析。 討論的主要問題：1. 基本概念: 狀態(tài)觀測器2. 基本方法: 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)方法、誤差分析方法、帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)分析方法。 講授的順序?yàn)? 全維狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)方法全維狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)方法 降維狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)方法降維狀態(tài)觀測

32、器及其設(shè)計(jì)方法q 由于線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型以及能觀性判據(jù)的類同性,因此本節(jié)討論的概念和方法也可推廣到線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)觀測問題。6.6.1 全維狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)方法全維狀態(tài)觀測器及其設(shè)計(jì)方法q 下面分別介紹 開環(huán)狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)觀測器 漸近狀態(tài)觀測器漸近狀態(tài)觀測器1. 開環(huán)狀態(tài)觀測器q 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為(A,B,C),即為ABC xxuyx在這里設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A、輸入矩陣B和輸出矩陣C都已知。 這里的問題是： 若狀態(tài)變量x(t)不能完全直接測量到,如何構(gòu)造一個(gè)系統(tǒng)隨時(shí)隨時(shí)估計(jì)該狀態(tài)變量x(t)。 對此問題一個(gè)直觀想法是： 利用仿真技術(shù)來構(gòu)造一個(gè)和被控系統(tǒng)有同

33、樣動力學(xué)性質(zhì)(即有同樣的系數(shù)矩陣A,B和C)的如下系統(tǒng)來重構(gòu)被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量:ABC xxuyx其中 為被控系統(tǒng)狀態(tài)變量x(t)的估計(jì)值。 xq 該狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)稱為開環(huán)狀態(tài)觀測器, B A C u + B A C x x x y開環(huán)狀態(tài)觀測器 y x + + + x 圖6-8 開環(huán)狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖 其結(jié)構(gòu)如下圖所示。 簡記為( , ,),A B Cq 比較系統(tǒng)(A,B,C)和 的狀態(tài)變量,有( , ,)A B CxxxxA( )( )( )( )ttAtt xxxx( )( )(0)(0)Atttexxxx則狀態(tài)估計(jì)誤差 的解為xxq 顯然,當(dāng) 時(shí),則有 ,( )( )ttxx(0)(0)

34、xx 即估計(jì)值與真實(shí)值完全相等。 但是,一般情況下是很難做到這一點(diǎn)的。這是因?yàn)?2. 若矩陣A的某特征值位于s平面的虛軸或右半開平面上(實(shí)部0),則矩陣指數(shù)函數(shù)eAt中包含有不隨時(shí)間t趨于無窮而趨于零的元素。1. 有些被控系統(tǒng)難以得到初始狀態(tài)變量x(0),即不能保證 ;(0)(0)xxv 此時(shí)若 或出現(xiàn)對被控系統(tǒng)狀態(tài)x(t)或狀態(tài)觀測器狀態(tài) 的擾動,則將導(dǎo)致狀態(tài)估計(jì)誤差 將不趨于零而為趨于無窮或產(chǎn)生等幅振蕩。(0)(0)xx( ) tx( )( )ttxx 所以,由于上述狀態(tài)觀測器不能保證其估計(jì)誤差收斂到零,易受噪聲和干擾影響,其應(yīng)用范圍受到較大的限制。q 仔細(xì)分析便會發(fā)現(xiàn),該觀測器只利用了被

35、控系統(tǒng)輸入信息u(t),而未利用輸出信息y(t),其相當(dāng)于處于開環(huán)狀態(tài),未利用輸出y(t)的觀測誤差或?qū)顟B(tài)觀測值進(jìn)行校正。 為了和下面討論的狀態(tài)觀測器區(qū)分開來,通常把該觀測器稱為開環(huán)狀態(tài)觀測器。 即,由觀測器得到的 只是x(t)的一種開環(huán)估計(jì)值。( ) tx2. 漸近狀態(tài)觀測器q 前面討論的開環(huán)狀態(tài)觀測器未利用被控系統(tǒng)的可直接測量得到的輸出變量來對狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正,所得到的估計(jì)值不佳, 可以預(yù)見,若利用輸出變量對狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正,即反饋校正,則狀態(tài)估計(jì)效果將有本質(zhì)性的改善。 下面將討論該類狀態(tài)觀測器系統(tǒng)的特性及設(shè)計(jì)方法。 其估計(jì)誤差 將會因?yàn)榫仃嘇具有在s平面右半閉平面的特征值,導(dǎo)致不趨

36、于零而趨于無窮或產(chǎn)生等幅振蕩。)( )(ttxxq 如果對任意矩陣A的情況都能設(shè)計(jì)出相應(yīng)的狀態(tài)觀測器,對于任意的被控系統(tǒng)的初始狀態(tài)都能滿足下列條件:0)( )(Limtttxx即狀態(tài)估計(jì)值可以漸近逼近被估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài), 則稱該狀態(tài)估計(jì)器為漸近狀態(tài)觀測器。q 根據(jù)上述利用輸出變量對狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行修正的思想和狀態(tài)估計(jì)誤差須漸近趨于零的狀態(tài)觀測器的條件,可得如下狀態(tài)觀測器:()ABGC xxuyyyx其中G稱為狀態(tài)觀測器的反饋矩陣。 該狀態(tài)估計(jì)器稱為全維狀態(tài)觀測器,簡稱為狀態(tài)觀測器,其結(jié)構(gòu)如下圖所示。q 下面分析狀態(tài)估計(jì)誤差是否能趨于零。 B A C G y B A C x y閉環(huán)狀態(tài)觀測器 x u

37、 - + + + + + - x x x圖6-9 漸近狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖q 先定義如下狀態(tài)估計(jì)誤差:( - )( - )-( - )( - )-( - )( -)( - )AGAGA GCxx xx xy yx xx xx x其中A-GC稱為狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣。 -xx x則有 上述誤差方程的解為 根據(jù)上述誤差方程,被控系統(tǒng)(A,B,C)的漸近狀態(tài)觀測器,亦可簡記為 。(, ,)AGC B C)0( )0()0()(xxxxtGCAtGCAeetq 顯然,當(dāng)狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣A-GC的所有特征值位于s平面的左半開平面,即具有負(fù)實(shí)部, 因此,狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為求反饋矩陣G,使A-GC

38、的所有特征值具有負(fù)實(shí)部及所期望的衰減速度, 即狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)是否可任意配置問題。 對此有如下定理。q 定理定理 漸近狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)可以任意配置,即通過矩陣G任意配置A-GC的特征值的充要條件為矩陣對(A,C)能觀。 則無論 等于x(0)否,狀態(tài)估計(jì)誤差 將隨時(shí)間t趨于無窮而衰減至零,觀測器為漸近穩(wěn)定的。(0)x( ) txq 證明證明 證明過程的思路為：證明過程的思路為：A-GC的極點(diǎn)可由G任意配置兩者極點(diǎn)相等A-CG的極點(diǎn)可由G任意配置經(jīng)狀態(tài)反饋G系統(tǒng)(A,C)的極點(diǎn)可由G任意配置對偶原理(A,C)狀態(tài)能觀需證明的結(jié)論?系統(tǒng)(A,C)狀態(tài)能控極點(diǎn)配置的充要條件證明過程為：證明過程為： 由

39、于A-GC的特征值與A-CG的特征值完全相同,則A-GC的特征值可由G任意配置等價(jià)于A-CG的特征值可由G任意配置,即 等價(jià)于系統(tǒng)(A,C)可通過狀態(tài)反饋陣G進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。 而,(A,C)的極點(diǎn)可任意配置的充分必要條件為矩陣對(A,C)能控,由對偶性原理知,即為矩陣對(A,C)能觀。 因此,A-GC的特征值可任意配置的充要條件為矩陣對(A,C)能觀。 可見,只要被控系統(tǒng)狀態(tài)能觀,則一定存在可任意極點(diǎn)配置的漸近狀態(tài)觀測器。q 與狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置問題類似,對狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)配置問題,對期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問題:1. 對于n階系統(tǒng),可以而且必須給出n個(gè)期望的極點(diǎn)。2. 期望極點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)

40、或成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。3. 為使基于狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)有更好的暫態(tài)過渡過程,狀態(tài)觀測部分應(yīng)比原被控系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的控制部分有更快的時(shí)間常數(shù)(衰減更快), 即狀態(tài)觀測部分的極點(diǎn)比其它部分的極點(diǎn)應(yīng)當(dāng)更遠(yuǎn)離虛軸。q 由上述分析過程,類似于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置技術(shù),有如下狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法。q 方法一方法一 方法一的思想方法一的思想: 利用對偶性原理,將狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置,然后利用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置技術(shù)求狀態(tài)觀測器的反饋陣G。 其具體方法是,將能觀矩陣對(A,C)轉(zhuǎn)換成對偶的能控矩陣對(A,C),再利用極點(diǎn)配置求狀態(tài)反饋陣G,使A-CG的極點(diǎn)配置在指定的期望位置上。 相應(yīng)

41、地,G即為被控系統(tǒng)(A, B,C)的狀態(tài)觀測器(A-GC,B,C)的反饋矩陣。 計(jì)算過程可圖解如下:能觀性矩陣對(A,C)能控性矩陣對(A,C)由狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置技術(shù)計(jì)算G配置A-CG的極點(diǎn)由對偶原理計(jì)算由反饋矩陣G配置狀態(tài)觀測器的A-GC的極點(diǎn)由對偶原理計(jì)算q 方法二方法二 方法二的思想方法二的思想: 先通過非奇異線性變換 ,將狀態(tài)完全能觀的被控系統(tǒng)(A,C)變換成能觀規(guī)范II形 ,即有 2oTxx( , )A C 112221200010001000010001nnoonoaaATATaaCCT其中ai*和ai(i=1,2,n)分別為期望的狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)所決定的特征多項(xiàng)式的系數(shù)和原被控系

42、統(tǒng)的特征多項(xiàng)式的系數(shù)。 對能觀規(guī)范II形 進(jìn)行極點(diǎn)配置,求得相應(yīng)的能觀規(guī)范II形的觀測器的反饋陣 如下G( , )A C 1*11*1*aaaaaaGnnnn 因此,原系統(tǒng)(A,B,C)的相應(yīng)狀態(tài)觀測器的反饋陣G為 上述結(jié)論的證明與定理6-1的充分性的證明類似,這里不再贅述。2oGT Gq 例6-8 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為100231110201001 xxuyx試設(shè)計(jì)一狀態(tài)觀測器,使其極點(diǎn)配置為-3,-4,-6。q 解 (1) 方法一方法一：1. 先利用對偶性方法,求得原系統(tǒng)的如下對偶系統(tǒng): 112,100,010210031),(CBA2. 將上述能控狀態(tài)空間模型化為能控規(guī)范II形

43、的變換矩陣為其中11212110011306106cTTT AT A006/1100121BABABT3. 求對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。 由于被控系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式和期望極點(diǎn)的特征多項(xiàng)式分別為f(s)=|sI-A|=s3-3s+2f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60則對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K為1*12332211210015850121306106202512ccKKTaaaaaa T即所求狀態(tài)觀測器的反饋陣G=K=20 25 12則相應(yīng)狀態(tài)觀測器為100220311125 ()020112001 xxuyyyx(2) 方法二方法二。1. 先將原系統(tǒng)化成能觀規(guī)范II

44、形。能觀規(guī)范II形的變換矩陣To2為 2211111110306006oTRARA R其中11120011/600020000622011CCARCA 2. 因此能觀規(guī)范II形的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣為則原被控系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣G為1250581*12*23*3aaaaaaG211158201030502560061212oGT G可見,用方法二求得的G矩陣與方法一完全相同。 210 xxyI中,狀態(tài)變量向量x2即為輸出變量y,故該系統(tǒng)只要僅對x1設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器即可, 對對x2就沒有必要再設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器就沒有必要再設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器。120(661)Ixyx21212121222112112

45、1xxyuxxxxCCBBAAAA其中矩陣C2為mm維的可逆方陣;狀態(tài)變量向量x1和x2分別為n-m維和m維的。121120CCCIP21112122211211210 xxyuxxxxIBBAAAA則在狀態(tài)變換 下,狀態(tài)空間模型可變換為P xx1( ) t x2( ) t x 在求得狀態(tài)變量 的狀態(tài)估計(jì)值后,作上述線性變換的逆變換,則可求得原狀態(tài)變量x(t)的估計(jì)值。1( ) t x 經(jīng)上述變換后,狀態(tài)變量 所滿足的狀態(tài)方程為1( ) t xuyxuxxx11211112121111BAABAAq 下面介紹降維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法。( ,) A B C其中z是降維狀態(tài)觀測器的n-m維狀態(tài)變量

46、; 1( ) t xyzxuyzzLHGF1 是該降維狀態(tài)觀測器的輸出變量,即變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)變量 的估計(jì)值;1 ( ) tx1( ) t x矩陣F,G,H和L為適宜維數(shù)的待定常數(shù)矩陣。 B A C G y H F 線性變換P x 降維狀態(tài)觀測器 x u + + + + + + - z L z 1 xx 圖6-10 降維狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖0Lim11xxt1(667)LFGHLxzyzyuyyxzL1 將上式及y= 代入式(6-67),可得2x 和 由狀態(tài)觀測器方程(6-66),有22212211xuxxxxuxyxxLHGLFLHGLF1(666)FGHL zzyuxzy 將式(6-65)

47、減去上式,可得狀態(tài)估計(jì)誤差 所滿足的動態(tài)方程11xx2x uxxxuxxuxxxx2222121122221212211BLHFLALGALFBAALHGLF111111221121122221121111222212AABFLAGLAFLHLBALAFAGLAFLBHLBxxxxuxxxuxxxu1111121(665)AABxxyu 則狀態(tài)觀測誤差 所滿足的狀態(tài)方程(6-71)可記為11xx2111ALAFFLALAG221221BLBH1111xxxxF 若取111121111222212(671)ALAFAGLAFLBHLBxxxxxu 由式(6-72)可知,類似于前面所討論的全維狀態(tài)

48、觀測器,當(dāng)矩陣對 是狀態(tài)完全能觀的,則通過矩陣L的選擇可任意配置矩陣F的特征值,即能使F的特征值都具有負(fù)實(shí)部。1121(,)AA1( ) tx 1 ( ) tx 因此矩陣L的選擇方法與全維狀態(tài)觀測器中的反饋矩陣G的選取方法完全一致,亦有相應(yīng)的方法一和方法二。11211111(672)(675)FALAFxxxx( ) tx yyzxL 則原系統(tǒng)的狀態(tài)變量向量x(t)的估計(jì)值為 yyzxxLPP于是所設(shè)計(jì)的原系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器為 yyzxuyzzLPHGF試設(shè)計(jì)一降維狀態(tài)觀測器,使其極點(diǎn)配置為-3,-4。q 解 (1) 將系統(tǒng)作結(jié)構(gòu)分解。 由于rank C=1,且C陣的最后一個(gè)元素不為零,所以不必再重新排列狀態(tài)變量,只要按虛線所示方式將系統(tǒng)分解即可。xyuxx 111 011131413121211444相應(yīng)地111010001012112CCCIP1110100011P112120(663)IPC CC(3) 由式(6-66)可知,降維狀態(tài)觀測器的特征多項(xiàng)式為ABC、 和100011511120140011CPCBPBAPPA112111122221