關(guān)于公交車調(diào)度的數(shù)學(xué)模型

1、公交車調(diào)度關(guān)于公交車調(diào)度的數(shù)學(xué)模型摘要：本文根據(jù)典型的一個(gè)工作日兩個(gè)運(yùn)行方向各站上下車的乘客 數(shù)量統(tǒng)計(jì)，首先探討了如何利用平滑法來(lái)確定一個(gè)有價(jià)值并且效率高的車 輛運(yùn)行時(shí)刻表，使其滿足乘客的舒適性和公交公司低成本的服務(wù)；接著， 又利用最優(yōu)化的基本思想，對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的討論，得到了最小配 車輛的數(shù)量，然后針對(duì)滿意度的評(píng)價(jià)水平問(wèn)題，建立了幾個(gè)良好刻畫(huà)公司 以及乘客滿意度的滿意度函數(shù)并求出了乘客與公交公司雙方的滿意度。最 后，我們對(duì)新提出的模型進(jìn)行了模型的評(píng)價(jià)和模型改進(jìn)方向的討論，并對(duì) 如何采集公交車客運(yùn)量的數(shù)據(jù)，提出了幾個(gè)中肯的建議，完成了對(duì)關(guān)于公 交車調(diào)度問(wèn)題的較為詳細(xì)而合理的討論。（一）問(wèn)

2、題重述公共交通是城市交通的重要組成部分，作好公交車的調(diào)度對(duì)于完善城 市交通環(huán)境、改進(jìn)市民出行狀況、提高公交公司的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益，都具 有重要意義。下面考慮一條公交線路上公交車的調(diào)度問(wèn)題，其數(shù)據(jù)來(lái)自我 國(guó)一座特大城市某條公交線路的客流調(diào)查和運(yùn)營(yíng)資料。該條公交線路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4頁(yè)給出的 是典型的一個(gè)工作日兩個(gè)運(yùn)行方向各站上下車的乘客數(shù)量統(tǒng)計(jì)。公交公司 配給該線路同一型號(hào)的大客車，每輛標(biāo)準(zhǔn)載客100人，據(jù)統(tǒng)計(jì)客車在該 線路上運(yùn)行的平均速度為20公里/小時(shí)。運(yùn)營(yíng)調(diào)度要求，乘客候車時(shí)間一 般不要超過(guò)10分鐘，早高峰時(shí)一般不要超過(guò)5分鐘，車輛滿載率不應(yīng)超 過(guò)120%, 一般也

3、不要低于50%。試根據(jù)這些資料和要求，為該線路設(shè)計(jì)一個(gè)便于操作的全天(工作日) 的公交車調(diào)度方案，包括兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車時(shí)刻表；一共需要多少輛車； 這個(gè)方案以怎樣的程度照顧到了乘客和公交公司雙方的利益；等等。如何將這個(gè)調(diào)度問(wèn)題抽象成一個(gè)明確、完整的數(shù)學(xué)模型，指出求解模型的 方法；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，如果要設(shè)計(jì)更好的調(diào)度方案，應(yīng)如何采集運(yùn) 營(yíng)數(shù)據(jù)。(二)定義與符號(hào)說(shuō)明1、 T( I ) 第 I 個(gè) 時(shí) 段(1=1, 218 )2、 A( J ) 第 J 個(gè) 公 交 車 站g、215 )3、 P(I)在第I個(gè)時(shí)段的配車量4、 L(I)在第I個(gè)時(shí)段的客流量5、 G(I)在第I個(gè)時(shí)段的滿載率6、 S(I

4、)在第I個(gè)時(shí)段的乘客候車時(shí)間期望值7、 v客車在該線路上運(yùn)行的平均速度8、 AL(J)-第J-1個(gè)公交車站到第J個(gè)公交車站之間的距離9、 AT（I）第I個(gè)時(shí)段相鄰兩輛車發(fā)車間隔時(shí)間10、 L收、發(fā)車站之間的距離（三）模型的假設(shè)基本假設(shè)：1、乘客在各個(gè)時(shí)段到達(dá)公交車站的時(shí)間均服從均勻分布2、乘客上車的時(shí)間可以忽略不計(jì)。3、公共汽車在每個(gè)時(shí)段發(fā)車的時(shí)間間隔相同4、公共汽車始終以大小為V的速率勻速前進(jìn)5、公交車和乘客的到來(lái)都是隨機(jī)現(xiàn)象。被調(diào)查的線路上的客 流量不會(huì)受到其它線路上客流量的影響。6、如果產(chǎn)生擁擠現(xiàn)象，那么僅可能是在車站發(fā)生。（四）模型的分析1、數(shù)據(jù)的特征分析為了加深對(duì)數(shù)據(jù)變化情況的了解，

5、我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了插值，并繪出“公交 車上行客流量數(shù)據(jù)總圖”（圖一），由圖中我們可以直觀地看到：1）對(duì)于不同的車站A（ J ） （J=1、214）,在T（3）時(shí)段（7：008：00） 處，均達(dá)到客流量的最高峰。2）對(duì)于不同的車站A（J） （J=l、214）,在T（13）時(shí)段（17：00、18：00） 處，均達(dá)到客流量的次高峰3）在其余時(shí)段，客流量分布較為平緩。,頁(yè)腳圖一2.模型的初步分析由于編制車輛運(yùn)行時(shí)刻表的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的時(shí)刻表一般是采用經(jīng)驗(yàn)法。即參考路線的客流量情況和路線計(jì)劃配車數(shù)，確定運(yùn)行時(shí)間，周轉(zhuǎn)時(shí)間及 間隔。以下是應(yīng)用于計(jì)算的理論公式：運(yùn)行時(shí)間二（運(yùn)行線路長(zhǎng)度/車速）*60*2周轉(zhuǎn)時(shí)間

6、二運(yùn)行時(shí)間+規(guī)定站停站時(shí)間（二0）行車時(shí)間二小時(shí)/小時(shí)通過(guò)的車次配車數(shù)二一次周轉(zhuǎn)時(shí)間/行車間隔發(fā)車間隔二周轉(zhuǎn)時(shí)間/配車數(shù)通過(guò)以上的計(jì)算公式計(jì)算出各個(gè)參數(shù)，然后考慮早晚高峰，首末班車的發(fā)車時(shí)間，路上行車的實(shí)際情況等若干因素，并結(jié)合以往豐富的經(jīng)驗(yàn)確 定行之有效的運(yùn)行時(shí)刻表(五)模型的建立與求解模型1:平滑法模型采用確定公交調(diào)動(dòng)中發(fā)車間隔的方法來(lái)尋求最優(yōu)的發(fā)車間隔時(shí)間， 進(jìn)而求得整條線路的最小配車數(shù)，編制出一套較為實(shí)用的車輛運(yùn)行時(shí)刻 表。(1)發(fā)車間隔的具體計(jì)算方法討論確定發(fā)車間隔的原則是：正確處理好車輛的供給和乘客的需求關(guān)系：既要保證有足夠 的服務(wù)質(zhì)量，又要保證配車數(shù)最小。應(yīng)用于計(jì)算的具體公式：P

7、i=Di/(ki*C)=Di/Ni(*1)Pi=Hi/(ki*C)=Hi/Ni(*2)Pi=maxQi/(E(G(i)*C*L),Hi/C)=maxQi/(Ni*L),Hi/C)(*3)其中：Pi: i時(shí)段的配車數(shù)(車次),頁(yè)腳Di： i時(shí)段的日最高流通量Hi： i時(shí)段的小時(shí)最高流通量C：車的最大容量E(G(i)： i時(shí)段的期望滿載率Ni： i時(shí)段的期望占用量(人)Qi： i時(shí)段的乘客周轉(zhuǎn)量(人km )步驟1：我們從題目所給的典型工作日兩個(gè)運(yùn)行方向各站上下車的乘客數(shù) 量統(tǒng)計(jì)表轉(zhuǎn)化為便利于我們計(jì)算的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)表。(我們?nèi)《◣讉€(gè)時(shí)間段 作為分析樣本，結(jié)果見(jiàn)下表)注：表1中的斷面客流量Li算公式：(上

8、行)Li=max Ri, 0(下行)Li=max(Ri,0)Ri=R(i-l)+ui-di；Ri=R(i+l)+ui-diRi第i個(gè)站的斷面客流量R(i-1)第i-1個(gè)站的斷面客流量Ui第I個(gè)站點(diǎn)的上客量di第i個(gè)站點(diǎn)的下客量基礎(chǔ)客流量數(shù)據(jù)表（下行）站 距 (km)站名06：00、0 7:0007:00 08:0008：00、09 ：0009:00 1 0:00A07952328270615561.56A28682414281416031A39952985314817770. 44A410392752322318221.2A510062462287716470. 97A698923172537

9、14442. 29A79031740201411081.3A8893153818309752A9930149518179740. 73A10866117715097741All844105014257370. 5A1275272214355451.62A13/周轉(zhuǎn)量（人公 里）12628. 5726627. 5430514. 1117445.41平均斷面通過(guò) 量（人）866.21828. 32092. 91196. 5車容量（人）120120120120期望滿載率96%99. 5%99. 8%98. 75%期望占用量（人）115.4119. 7119. 7119. 5表2步驟2：確定時(shí)段配車數(shù)

10、Pi（車次），間隔Hd（min）（上行數(shù)據(jù)）時(shí)間段方法1方法2方法3PiHd (mi n)PiHd(mi n)PiHd(mi n)06:0007:006. 00106. 00105. 8410.2707:0008:0023.922. 5242.524. 522.4508:0009：0041.091.43421.4342. 121.4310:001:0021.612. 73222.7322. 512. 66表3步驟3：確定相鄰時(shí)間段的間隔從表面觀察數(shù)據(jù)可知，兩個(gè)相鄰時(shí)間段之間有一定的聯(lián)系，我們的目標(biāo)就 是要找出相鄰時(shí)間段（如5： 006：是與6： 00，： 00）之間的轉(zhuǎn)換段的 發(fā)車時(shí)間?；舅?/p>

11、路：對(duì)于相鄰的兩個(gè)時(shí)間段來(lái)說(shuō)，前一時(shí)間段發(fā)的車是有可能運(yùn)載后一時(shí) 間段的乘客，這是因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)間段為一個(gè)小時(shí)，在這么長(zhǎng)的時(shí)間里，如 果發(fā)車時(shí)間跟時(shí)間段的上限值接近（如5： 006： 00中6： 00就是上限值, 發(fā)車時(shí)間若為5： 50則它就很接近6： 00）則該趟車還未走完上行或下行 的路線就已經(jīng)進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間段?；驹恚捍_定兩相鄰時(shí)間段的發(fā)車數(shù)和發(fā)車時(shí)間的相互影響，平均間隔法是一 種最簡(jiǎn)單但又粗略的方法，它計(jì)算出來(lái)的結(jié)果有可能導(dǎo)致在一條運(yùn)行路線 上出現(xiàn)過(guò)分擁擠或者車輛利用率不足的現(xiàn)象。下面采用的是平滑法。使用 平滑法將運(yùn)用到步驟2中的計(jì)算結(jié)果。根據(jù)步驟2計(jì)算的時(shí)段配車數(shù)，先 確定在前一時(shí)段第

12、一輛車的發(fā)車時(shí)間，而在相鄰時(shí)段之間的轉(zhuǎn)換段綜合考 慮前后兩種配車數(shù)，設(shè)置平均期望占用量而不是平均間隔。例如，在7:00"8:00, 8:009:00兩個(gè)時(shí)間段(假設(shè):第一輛車為7： 00 發(fā)車)，根據(jù)表3,兩個(gè)時(shí)段的配車數(shù)和發(fā)車間隔分別為23. 92車次，2. 5 min； 42車次，1.43 min.前一段時(shí)間所須要的配車數(shù)的0.92車次被留在 7:57之后，與下一時(shí)段的0.08車次結(jié)合。因此，0.92車次的期望占用量 為116.8人，0.08車次的期望占用量為120. 35,后一時(shí)間每分鐘需求的 配車數(shù)(斜率為42/60),相應(yīng)的0.08車次要運(yùn)行0.08/ (42/60) =1

13、.15 mino所以，求得后一時(shí)間段第一輛車發(fā)車時(shí)間為8:02。幾種不同的間隔確定方法：方法1：采用公式(*2)：Pi=Hi/(ki*C)=Hi/Ni方法2：采用公式(*3),同時(shí)增加了限制時(shí)間段通過(guò)量大于Pi*C的線路 長(zhǎng)度：Pi=max Qi/(E(G(i)*C*L) ,Hi/C) = maxQi/(Ni*L),Hi/C方法3：綜合運(yùn)用法：該方法的特點(diǎn)是將不同的方法運(yùn)用于不同的時(shí)間段以確定時(shí)段配 車數(shù)。它最大的好處就是能夠根據(jù)實(shí)際情況作靈活的動(dòng)態(tài)調(diào)度。比如可以 根據(jù)高峰期和平峰期到來(lái)的時(shí)間段及流動(dòng)數(shù)量的多少來(lái)選擇不同的方法 確定理想的配車數(shù)。模型2：根據(jù)基本假設(shè)廣4,我們著手建立關(guān)于總配車

14、量A=£(Pi+ +Pi-) (I=ri8) 的優(yōu)化模型1)確定決策變量易見(jiàn)，Pi可作為模型的決策變量，但注意到：Pi + = 60 / A T + ( i ) (*5)Pi -= 60 / A T - ( i)(*6)其中，AT+(i)為上行線路i時(shí)段的發(fā)車間隔時(shí)間(單位：分鐘)(i)為下行線路i時(shí)段的發(fā)車間隔時(shí)間(單位：分鐘) 所以：可以等價(jià)地將AT( i )作為決策變量。2)確定目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題(1)的目的是為了尋找在滿足乘客和公交公司雙方的一定利 益的情況下，總配車量A=£(Pi+ +1氣-)的最小值，將(*5)、(*6)式代入, 可得總配車量A為：A= E 60 /

15、T+ ( i ) + 60 / T-( i ) (i=C18)3)確定約束條件1首先，乘客候車時(shí)間一般不要超過(guò)10分鐘，早高峰時(shí)一般不要 超過(guò)5分鐘。由假設(shè)條件4,乘客的到來(lái)滿足均勻分布，則在第I個(gè)時(shí)段的流通的乘客候車時(shí)間期望值ES(i)滿足：ES =(t-(k-l) T )dt/ A T = AT( i )/2所以我們有：AT(1)+/2<10(i£U+)T( 1)一/2<10(ieu-)AT(1)+/2<5(i£V+)AT( 1)一/2<5(iev-)其中，集合U+為上行早高峰期的時(shí)段集合、U-為下行早高峰期的時(shí) 段集合V+為上行非早高峰期的時(shí)段

16、集合、V-為下行非早高峰期的時(shí)段 集合為了獲得對(duì)早高峰期的明確時(shí)間圍，我們將客流量的數(shù)據(jù)進(jìn)行了 線性插值處理，并將14個(gè)車站作為14個(gè)樣本，利用聚類分析的方法 可以得出如下早高峰期定義：上行早高峰期為6:00"9:00下行早高峰期為7:0010:002 其次，車輛滿載率G( i )不應(yīng)超過(guò)120隊(duì)一般也不要低于50%,G( i )至 1.2(*7)E(G( i ) 工 0.5(*8)又因?yàn)樵诿總€(gè)時(shí)段都應(yīng)該盡量滿足乘客的最大客流量，所以G( i )*C* 60/ A T( i )Hi(*9)我們將（*9）代入（*8）、（*7）再區(qū)分上下行可以得出相應(yīng)的約束條件如下:Hi+ /C*60

17、/ ( T +i )互 1.2Hi-/C*60 / ( A T -i )三 1.2E(Hi+/C*60/ (AT+()叁 0.5E(Hi-/C*60/ ( A T-()工 0.54）優(yōu)化模型的建立通過(guò)1） 3）的分析，我們建立優(yōu)化模型（*）如下式:min A=E60 / AT+( i ) + 60 / r(i ) ,頁(yè)腳stA T( i ) + /2 三 10(i£U+)(ieu-)(i£V+)(iev-)(i=ri8)(i=ri8)(i=l18)T(i) /2W10AT(i) +/2W 5T(i) -/2W5Hi + /C*60 /( T +(i)三 1.2Hi - /C

18、*60 /(A T -(i)三 1.2E( Hi + /C*60/( T+ (i )蕓 0.5E( Hi-/C*60/ ( A T- ( i )蕓 0. 5（i=l'18）4）優(yōu)化模型的求解方法1：由于（1）中含有決策變量以及其期望值，屬于非線性概率規(guī)劃疇，不利于顯式求解，可以利用時(shí)間步長(zhǎng)法進(jìn)行模擬，進(jìn)而獲得最優(yōu)值方法2：將（*）中的約束條件E( Hi + /C*60/ (AT+( i )工 0.5st(i£U+)B( i )-叁 1/20eu)B(i(i£V+)B( i )-l/10(i=P18)ev-)1/0.5 W C*60*B +i )/ Hi + W 1/

19、1.2E( Hi -/C*60/ ( A T- ( i )蕓 0. 5(i=lv18)修改為：Hi+ /C*60/(AT + (i)工0.5(1=1"18)Hi- /C*60/(AT - (i)蕓0.5(i=l18) 并且令 B( i )=1 / T ( i )則原規(guī)劃(*)可以化為如下線性規(guī)劃(*):min A= E 60 * B+ ( i ) + 60 *B- ( i ) B( i )+ 工 1/20(i)+ 蕓 1/101/0.5 W C*60 *B - ( i )/ Hi - W 1/1.2利用數(shù)學(xué)規(guī)劃軟件Lindo可以獲得其解模型31我們?cè)谶@一小節(jié)將討論：我們的方案以怎樣的

20、程度照顧到了乘 客和公交公司雙方的利益。為了評(píng)價(jià)不同方案對(duì)乘客和公交公司雙方的利益的照顧水平， 我們將著手建立乘客和公交公司的滿意度函數(shù)。1)乘客滿意度函數(shù)Y1容易看出：乘客滿意度函數(shù)Y1為整個(gè)時(shí)段的乘客候車時(shí)間的期 望值E(T)與公交汽車上的乘車擁擠度(w)的函數(shù)。令 Yl=a*E(T) + (l-a)*w, (0<a<l)；則函數(shù)Y1具有以下三個(gè)性質(zhì)：1 E(T)=0 則 Yl=l ； E(T)=10 則 Y1 =0. 1(其中，E(T)=0則Yl=0. 1為我們根據(jù)實(shí)際情況作出的假定) w=0 則 Yl=l ； w=l 則 Y1=03 Y1分別為E(T)、w的凸函數(shù)(不妨假設(shè)

21、Y1分別為E(T)、w 的二次凸函數(shù))由口、2、3可知，YlE(T)以及Ylw的圖象以及函數(shù)方程如下所示:其方程為 Yl=l-O. 009*E(T)2其方程為:Y1二l-w為取 a=0.7綜合可得：Y1 =0. 7* 1-0. 009 E (T)2 +0. 3 (1-2)2)公交公司的滿意度函數(shù)公交公司的滿意度函數(shù)Y2為滿載率的期望值E(G)的函數(shù)，且函數(shù)Y2具有以下三個(gè)性質(zhì)：1 E(G)=O 則 Y2=0；E(G)=L2 則 Y2=l2 Y2為E(G)的凸函數(shù)(不妨假設(shè)Y1為E(G)的嘉函數(shù))由1、2可知Y1E(T)的圖象以及函數(shù)方程如下所示：方程：Y2=(5/6*EG)P. 53)總結(jié)：由

22、模型(1)、(2)確定出E(T)、E(G)、w,則由1)、2)中的滿意度函數(shù) 即可以求出乘客和公交公司雙方的滿意程度 模型4：為了在獲得最小配車數(shù)量的同時(shí)，兼顧了乘客以及公交公司雙方的滿 意程度將模型2和模型3想結(jié)合，可以得到如下的多目標(biāo)規(guī)劃模型：min £60 * B+( i ) + 60 *B-( i ) , -Yl,-Y2) (i=ri8)stB( i )三 1/20(i£U+)B( i )-蕓 1/20eu-)B( i )+ 蕓 1/10(i£V+)B(i)-工 1/10(iev-) 1/0.5 W C*60*B + ( i )/ Hi + W 1/1.2

23、 (i=l'18) 1/0.5 W C*60 *B - ( i )/ Hi - W 1/1.2 (i=l、18) 其中：Yl=0. 7*l-0. 009E(T)-2+0. 3(1-v2)Y2=(5/6*EG)0.5(6)模型的檢驗(yàn)與結(jié)果模型1：時(shí)間段Hd發(fā)車間隔時(shí) 間（上行） （min）P時(shí)段配車 數(shù)（上行） （次）Hd 發(fā)車間隔時(shí) 間（下行） （min）P 時(shí)段配車數(shù) （下行） （次）5:006:00106916： 007002. 5246. 797:008:001.43422.6238:009:002. 7222. 3279：00'10：004.6134. 11510：00

24、vll006. 796. 7911：00'12005. 5117. 5812:0013006108.6713：00'14006. 797. 5814:0015001067. 5815：00'16007. 585. 51116:0017003. 5173. 31817：00'18002.6231.93118:0019007. 5832019:0020001546. 7920：00"210020310621：0022002038.6722:00 2300/1203(說(shuō)明：在一個(gè)時(shí)間段，公司發(fā)車的總次數(shù)為P,它們以均勻的發(fā)車時(shí)間間隔Hd均勻發(fā)車，比如說(shuō)：在12： 00'13： 00這個(gè)時(shí)間段，它從12： 00開(kāi)始發(fā)車，每隔10分鐘發(fā)一輛車。)計(jì)算結(jié)果：上行的發(fā)車數(shù)量為42輛，下行的發(fā)車數(shù)量為31輛對(duì)上、下行的發(fā)車時(shí)刻以及顧客的流量進(jìn)行均衡調(diào)度，由下式A min= (42+31)*(14. 58/20)*60)/60=53. 2即得最小配車數(shù)量A min為54輛模型2:計(jì)算結(jié)果：上行的發(fā)車數(shù)量為44輛，下行的發(fā)車數(shù)量為32輛對(duì)上、下行的發(fā)車時(shí)刻以及顧客的流量進(jìn)行均衡調(diào)度，由下式A »in= (44+32) *(14. 58/20) *60)/60=55. 4即得最小配車數(shù)量A min為56輛乘客平均等待時(shí)間 E(