自學(xué)考試專題：線性代數(shù)(經(jīng)管類)復(fù)習(xí)材料

1、04184線性代數(shù)(經(jīng)管類) 關(guān)于：稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；線性無關(guān)；任意一個維向量都可以用線性表示. 行列式的計(jì)算： 若都是方陣（不必同階）,則 上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積. 關(guān)于副對角線： 逆矩陣的求法: 方陣的冪的性質(zhì)： 設(shè)，對階矩陣規(guī)定：為的一個多項(xiàng)式. 設(shè)的列向量為,的列向量為，的列向量為, 用對角矩陣左乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對角矩陣右乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘,與分塊對角陣相乘類似,即： 矩陣方程的解法：設(shè)法化成 當(dāng)時(shí), 和同

2、解（列向量個數(shù)相同）,則： 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： 線性無關(guān)； 是的解； . 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交. 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān). 原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān). 兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關(guān)向量組中每一個向量都不能由

3、其余個向量線性表示. 維列向量組線性相關(guān)； 維列向量組線性無關(guān). . 若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法惟一. 矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù). 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系. 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價(jià) 和可以相互線性表示. 記作：矩陣等價(jià) 經(jīng)過有限次初等變換化為. 記作： 矩陣與等價(jià)作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣與作為向量組等價(jià)矩陣與等價(jià). 向量組可由向量組線性表示. 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則

4、. 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià)； 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià). 向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價(jià),且這兩個組所含向量的個數(shù)相等. 若兩個線性無關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個數(shù)相等. 若是矩陣,則,若，的行向量線性無關(guān)；若，的列向量線性無關(guān),即：線性無關(guān).線性方程組的矩陣式 向量式 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：線性方程組解的性質(zhì)： 設(shè)為矩陣,若,則,從而一定有解. 當(dāng)時(shí),一定不是唯一解.,則該向量組線性相關(guān). 是的上限. 矩陣的秩的性質(zhì)： 且在矩陣乘法中有左消去律: 標(biāo)準(zhǔn)正交基 個維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1. .是單位向量 . 內(nèi)積的

5、性質(zhì)： 正定性： 對稱性： 雙線性： 施密特 線性無關(guān), 單位化： 正交矩陣 . 是正交矩陣的充要條件：的個行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 正交矩陣的性質(zhì)： ； ； 是正交陣,則（或）也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣； 正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣 .的特征多項(xiàng)式 .的特征方程 . 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素. 若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量. 若,則一定可分解為=、,從而的特征值為：, . 若的全部特征值，是多項(xiàng)式,則: 的全部特征值為； 當(dāng)可逆時(shí),的全部特征值為, 的全部特征值為. 與相似 （為可逆陣） 記為：

6、相似于對角陣的充要條件：恰有個線性無關(guān)的特征向量. 這時(shí),為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值. 可對角化的充要條件： 為的重?cái)?shù). 若階矩陣有個互異的特征值,則與對角陣相似.與正交相似 （為正交矩陣） 相似矩陣的性質(zhì)： 若均可逆 （為整數(shù)） ,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. 從而同時(shí)可逆或不可逆 數(shù)量矩陣只與自己相似. 對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量； 與對角矩陣合同； 不同特征值的特征向量必定正交； 重特征值必定有個線性無關(guān)的特征向量； 必可用正交矩陣相似對角化（一定有個線性無關(guān)的特征向量,可能有

7、重的特征值,重?cái)?shù)=）.可以相似對角化 與對角陣相似. 記為： （稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)型） 若為可對角化矩陣,則其非零特征值的個數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算）. 設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：. 若, ,則：. 若,則,.二次型 為對稱矩陣 與合同 . 記作： （） 兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù). 兩個矩陣合同的充分條件是： 兩個矩陣合同的必要條件是： 經(jīng)過化為標(biāo)準(zhǔn)型. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個數(shù)是由 惟一確定的. 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)為1，-1或0時(shí),則為規(guī)范形 . 實(shí)對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個數(shù). 任一實(shí)對稱矩陣與惟一對角陣合同. 用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: 求出的特征值、特征向量； 對個特征向量單位化、正交化； 構(gòu)造（正交矩陣）,； 作變換,新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.正定二次型 不全為零，.正定矩陣 正定二次型對應(yīng)的矩陣. 合同變換不改變二次型