排列組合和二項(xiàng)式定理第15課二項(xiàng)式定理

1、課 題：10 4二項(xiàng)式定理(四)教學(xué)目的：1 .掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，2 .能靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題.教學(xué)重點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題教學(xué)難點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題授課類型：新授課.課時(shí)安排：1課時(shí).教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 .教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .二項(xiàng)式定理及其特例：(1) (a b)n Can C：anb C；an rbr | C：bn(n N ),(1 x)n 1 C1xC；xxn.2 .二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr 1 C：an rbr .3 .求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)

2、通項(xiàng)公式討論對 r的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性4二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角)(a 3”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是1,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等 于它肩上兩個(gè)數(shù)的和.5.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：(a b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是 C, Cn, C2 ,，C； . C；可以看成以r為自變量的函數(shù) f(r),定義域是0,1,2, ”|,n,例當(dāng)n 6時(shí), 其圖象是7個(gè)孤立的點(diǎn)(如圖)(1)對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等(.Cm Cn m).直線r 0是圖象的對稱軸.2(2)增減性與最大值： 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng) C：取得最大值；當(dāng)n

3、是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)Cn2 , Cn2取得最大值.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和： (1 x)n 1 C；x J C：xr xn,令 x 1,則 2n C0 C： Cn m C； I Cn .二、講解范例：例1.設(shè) 1 x 1 x21 x3 HI 1 x n a0 ax a?*2 Q anxn,當(dāng) a0 a1 a2an 254 時(shí)，求 n 的值.解：令x 1得：ao a1 a2 an 222 23 2n言J254,.2 128, n 7,點(diǎn)評：對于 f (x)a0(xa)na1(x a)n 1an,令 xa 1,即x a 1可得各項(xiàng)系數(shù)的和a0 a1 a2an的值；令x a1,即x a 1 ,可得奇數(shù)項(xiàng)系

4、數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系 .例 2.求證：Cn 2C2 3c3 I nCn n 2nl.證(法一)倒序相加：設(shè) S Cn 2C2 3C3 J nCn 1,111又S nC： (n 1)Cn 1 (n 2)C； 2 | 2C2 Cn . nCnCn由 + 得：2S n C： C： C2 Cn ,S 1n 2n n 2n 1 ,即 Cn 2C： 3C3 | nC； n 2n 1(法二)：左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為rCn!r r!(n r)!n (n 1)!(r 1)!(n r)!nC：；,2n 12 n 22例3.已知：(x3 3x2)n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992. cn 2C： 3C

5、3HI nC； n C3/ CIII Cn1(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；解：令x 1 ,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為 又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n, 22n 2n 992, n 5.(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).(13)n2。(1) n 5,展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng),2222.飛 C；(x3)3(3x2)2 90x6, T4 C；(x2(3x2)3 270xy ,(2)設(shè)展開式中第r21 項(xiàng)系數(shù)最大,則 Tr 1 C；(x3)5 r(3x2)r10 4r3r C5x3rC； 3rle5 13rc53rle51r 9, r 4,即展開式中第5項(xiàng)系數(shù)最大,2T5C5V)(3

6、x2)426405x 至例 4.已知 Sn 2n C：2n 1 C；2n 2求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn 4n分析：由二項(xiàng)式定理的逆用化簡 的多項(xiàng)式.Cnn1 2 1(n N ),1能被64整除.Sn ,再把Sn4n1變形，化為含有因數(shù) 64n 1 n 12 n 2n 1n_n. Sn 2 Cn2Cn2 Cn2 1 (2 1)3 ,n* Sn 4n 1 3 4n 1 , 丁 n 為偶數(shù)，.設(shè) n 2k (k N ), 2kk 0 4n 1 3 8k 1 (8 1) 8k 1C108k c18k 1 I C： 18 1 8k 1(C108k C88klm Ck)82 (),當(dāng)k=1時(shí)，Sn 4n 1

7、 0顯然能被64整除,當(dāng)k 2時(shí)，（）式能被64整除，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn 4n 1能被64整除*三、課堂練習(xí)1 .JX 1 x 1 5展開式中X4的系數(shù)為,各項(xiàng)系數(shù)之和為 2多項(xiàng)式 f(x) C：(x 1) C2(x 1)2 C3(x 1)3 I C：(x 1)n(n 6)的展開式中，x6的系數(shù)為1 n3 .若一項(xiàng)式（3x2 一3）n （n N ）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則 n的最小值2x為（）A.4B.5C.6D.84 .某企業(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后 10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年 平均增長率最低應(yīng)（）A.低于5%B. 在5%6%之間C.在6%8%之間 D. 在8%以上5.在（1

8、 x）n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)之和為于（）p,偶數(shù)項(xiàng)之和為q,則（1 *2/等A.0 B. pq C.2222P q D. p q/,2,3,46 .求和： 一aC0 Cn a-C： c3 III1 a 1 a 1 a 1 a7 .求證：當(dāng)n N且n 2時(shí)，3n 2n 1 n 28.求iox的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)答案：1.45, 02. 0.提示：f x xn 1 n 6 .3. B4. C5. D6.37.(略)8. T3 1 15360x四、小結(jié)：二項(xiàng)式定理體現(xiàn)了二項(xiàng)式的正整數(shù)哥的展開式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng) 式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，涉及到二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)和系數(shù)的綜合問題，只需 運(yùn)用通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對條件進(jìn)行逐個(gè)節(jié)破，對于與組合數(shù)有關(guān)的 和的問題，賦值法是常用且重要的方法，同時(shí)注意二項(xiàng)式定理的逆用.五、課后作業(yè)：1 .已知(a2 1)”展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于16 2x51x5的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2 1)n展開式的系數(shù)的最大的項(xiàng)等于54,求a的值(a R).答案：a ,32.設(shè)159x 3 2x1413a0 x 1a1 x 1a13 x 1求： a0 a1III a14013 答案： 39 19683； 33/ 9963.3.求值：2C0 C9 2C9C9 2C9 C95 2C6C7 2C9 C9.答案：28 256.296一4.