專題四因式分解與方程競賽

1、專 題 四 因 式 分 解 與 方 程一、基本知識和方法1.因式分解將一個多項式寫成一個或幾個多項式相乘的形式，稱為因式分解1。習慣上，我們要求因式分解的結果中的多項式為 既約多項式。既約多項式也稱為 不可約多項式，不能分解為次數(shù)更低的多項式的乘積。如果一個多項式能夠分解為次數(shù)更低的多項式的乘積，那么這個多項式稱為可約多項式這里忽略系數(shù)含有公因子的整系數(shù)多項式。習慣上，這類多項式的因式分解要求提取系數(shù)的公因數(shù)。即約多項式的判定依賴于多項式所在的數(shù)集。在較小的數(shù)集上既約的多項式，在較大的數(shù)集上可能是可約的。例如，多項式X2 2在整數(shù)上是既約的，但是在實數(shù)上可以分解為x J2 x J2 ；多項式x

2、2 2在整數(shù)與實數(shù)上都是既約的，但是在復數(shù)上可以分解為x i J2 x 啦。有理系數(shù)多項式可以通過提取適當?shù)挠欣頂?shù)轉化為整系數(shù)多項式。在有理數(shù)上分解因式，本質上與 在整數(shù)上分解因式是一樣的。在上一節(jié)，我們提到了多項式在運算上與整數(shù)的相似之處。多項式的因式分解與整數(shù)的質因數(shù)分解也是非常相似的。多項式中既約多項式的地位與整數(shù)中質數(shù)的地位是相似的，多項式的因式分解與整數(shù)的質因數(shù)分解也非常相似。更進一步，整數(shù)的質因數(shù)分解是唯一的；類似地，在相差一個數(shù)的倍數(shù)的意義下，多項式的因式分解也是唯一的 。上述事實被稱為 因式分解唯一定理。利用這一定理，我們可以處 理一些不太容易處理的問題。考慮多項式 x6 1的

3、因式分解。先利用立方差公式，然后利用平方差公式，可得：但是如果先利用平方差公式，然后利用立方差與立方和公式，可得：為什么兩種方式分解出來的結果不一樣呢？如果掌握了因式分解唯一定理，我們就可以確信：x4 x2 1多項式乘法顯然可以驗證這一等式，我們也可以通過拆添項”的技巧來達到同樣的目標:F面我們來看一個更復雜的例子，考慮多項式15 、.x 1的因式分解。一方面，我們有:另一方面,我們還可以得出：又一次地,我們得出了兩個不同的結果。不過根據(jù)前面的知識與經驗，我們可以確信,10 x1296x 1 x x x利用多項式的除法，我們可以算出:1 x8這樣我們最終殊途同歸:15x 1 xio得出最后的結

4、果,87543( 口xxxxxxl 是這是1978年全國數(shù)學聯(lián)賽的一道賽題，后來又被一位教授用作對研究生的考題 一方面需要因式分解唯一定理這一知識，另一方面還需要證明多項式 既約的2,這是不太容易的。因式分解的理論就介紹到這里，下面我們來重點介紹因式分解的方法。除了在中學課本中介紹的方法之外，因式分解有一個非常重要的方法一一十字相乘法；其中，又以含有字母系數(shù)的十字相乘法最易被忽視，而這一方法在初等數(shù)學問題中有非常廣泛與重要的應用。整數(shù)系數(shù)的二次三項式的十字相乘，在求解一元二次方程中使用頻率非常高，這里我們就不贅述了下面，我們從二元二次六項式開始?？紤]多項式x2 2xy 3y2 3xy 2的因式

5、分解，基本的方法分為三個步驟:首先選取主元 x,將多項式整理為關于x降募排列的形式:22x 2y 3 x 3y y 2 ,2然后分解常數(shù)項"：x 2y 3 x 3y 2 y 1 ,最后利用十字相乘進行分解，得:x 3y 2 xy 1 ，即 x 3y 2 x y 1這一方法同樣適用于三元齊二次多項式。例如:2 c -22x 6xy 9y 5xz 15yz 6z首先關于x降募排列：x26y 5z x 9y2 15yz 6z2 ,然后分解常數(shù)項”：x26y 5z x 3 3y 2z y z ,最后十字相乘:x 3y 2z x 3y 3z即使多項式的次數(shù)超過二次，但是只要有一個字母的最高次數(shù)

6、恰好為二次，這一方法就很有可能成功。下面我們再來看兩個較復雜的例子?？紤]多項式a可以利用愛森斯坦(曰senstein )判別法來證明這一多項式是既約多項式；另外，這一多項式是 分圓多項式，而分 圓多項式在有理數(shù)范圍內都是既約的。bab2a2cac23abcb2cbc2的因式分解。這個三元多項式并不是齊二次的，但是其中每一個字母的次數(shù)都不超過二次，因此可以選擇a作為主元進行降募排列，然后分解：人“22再看一個胡子： ax by ay bx ay ax by ay bx ay 。這是一個更復雜的四元四次多項式，但是將其中的a與b看作是字母系數(shù)，將這個多項式整理為關于 x與y的齊二次多項式，十字相乘

7、的方法仍然奏效：2.因式定理因式分解與方程有著非常緊密的聯(lián)系。利用因式分解來解一元二次方程是使用頻率非常高的解法。反過來，利用方程也可以幫助因式分解。事實上，我們有：因式定理：設 f(x)是一個多項式，x 是方程f(x) 0的一個解，那么多項式f(x)有因式(x )0卜面，我們用兩種方法來證明這一定理。nax ao ,其中 nZ , an,K a,ao都是預先設 f (x)aixi anxn an 1xn 1 Li 0給定的數(shù)，則 f( )annani n1Lai a。因為f( ) 0,所以根據(jù)公式 an bn aban1 an 2bLabn2 bn1,對于每一個 i 1.n ,aixiaii

8、ai (x)(xi 1xi2. x i 2 i1)?即 xaixi ai i ,因此 x f(x),即f (x)有因式(x ) 。我們用多項式的帶余除法給出另一種證明設多項式f (x)除以x 的商式為g(x),余式為r(x),即f(x) x g(x) r(x),則多項式r(x) 的次數(shù)低于除式x 的次數(shù)，即r(x)實際上是一個數(shù)，設為uo因此f(x) x g(x) u ,在上式中代入x ，得f( ) g( ) u u,因此有 f(x) x g(x) f (),而 f( ) 0,所以 f(x) x g(x), 即f (x)有因式(x )。根據(jù)這一證明，我們可以得到因式定理的一個推廣：余數(shù)定理多項

9、式f(x)除以x所得的余數(shù)等于f()。當我們需要計算一元多項式中，一個多項式除以一個一次多項式的余式時，余數(shù)定理提供了可能更為快捷的計算方法。因式定理用于多項式的因式分解，有兩個比較重要的應用：一個是進行高次多項式一一特別是三次多項式 一一的因式分解，另一個是對 稱多項式的因式分解。下面我們通過幾個例子，主要介紹利用因式定 理因式分解一元三次方程。多項式x2 2x 1在整數(shù)范圍內是既約的，但是在實數(shù)范圍內可以 分解。一種方式是利用因式定理，先求解一元二次方程x2 2x 1。的兩 根分別為Xi 1 & , x 1 22 ,因此x2 2x 1 x 1尬x 1尤；另一種方式就是利用配方與平方

10、差公式：x2 2x 1 x 1 2 2 x 1 & x 1 近。當多項式的次數(shù)增加到三次時，配方的方法就無法奏效了。例如 多項式x3 7x 6,我們無法進行配方以利用平方差公式，但是此時因式 定理仍然可以幫助我們。觀察到當x 1時，多項式的值為零，因此x 1 是這個多項式的一個因式，即x3 7x 6 x 1 x2 x 6 x 1 x 2 x 3 o在這里，觀察到x 1是這個多項式的一根弁不完全依靠運氣。事實上，我們有：定理(多項式的有理根)設有理數(shù)q工 其中l(wèi) Z、k Z、l,k 1;k n多項式 f (x)aixi anxn an1xn1 L ax a。，其中 n Z , an,K

11、a,ao都是整數(shù)。i 0如果f (q) 0 ,那么l ao且k|an。這一定理說的是，如果一個整系數(shù)多項式有有理根，那么將這個有理數(shù)寫成既約分數(shù)的形式后，分子一定整除常數(shù)項，分母一定整除多 項式最高次項的系數(shù)。對多項式x3 7x 6應用這一定理，可以得出：使這個多項式的值 為零的有理數(shù)，其分母一定整除最高次項系數(shù) 1,其分子一定整除常數(shù) 項。即這些有理數(shù)一定都是整數(shù)，弁且都是 6的因數(shù)，因此可能的數(shù) 只有1、2、 3與6。根據(jù)這一定理，任意給定一個整系數(shù)多項式，可以列出這個多項式所 有可能的有理根，然后依次進行驗證。一旦確定一根，根據(jù)因式定理， 就可以確定一個一次因式。繼而利用多項式除法確定另

12、一個因式，然 后繼續(xù)分解這個因式即可。試有理根的這個方法，能夠解決相當數(shù)量的一元整系數(shù)高次多項式 的因式分解問題。但是，當多項式沒有有理根時，這一方法就無能為 力了。例如上一節(jié)給出的多項式x4 x2 1 o這個多項式的有理根只可能是1或1,分別代入驗證，可以確認都不是多項式的根。結論就是這 個多項式沒有有理根，因此在有理數(shù)范圍內也沒有一次因式。事實上,x4 x2 1 x2 x 1 x2 x 1 ,在整數(shù)范圍內，它恰有兩個二次因式。 當多項式的系數(shù)與常數(shù)項中含有無理數(shù)時，上面所說的試有理根的方 法就不存在了。但是只要我們能夠找到多項式的無理根，一樣可以利 用因式定理來分解因式。例如多項式x3 3

13、x 8a/5 ,觀察到當x F時,多項式的值為零，因此x 而 x3 3x 875 ,利用多項式的除法可得x3 3x 8石 x 75 x2 V5x 8 ,其中，二次三項式 x2 Mx 8的判別式小于零，在實數(shù)上是既約的。在這個例子中，運用 拆添項”的技巧，也不是不能直接進行因式分解：但是觀察出多項式 x3 3x 8底有一根75應該比找到上述的 拆添項”容 易一些。下面我們來看一個復雜一點的例子，考慮多項式x33 " x24 5幣 x 7現(xiàn)在，需要有歐拉一般的直覺，才能找到正確的拆添項”；似乎需要比歐拉更敏銳的直覺，才能找到多項式的一根，以便因式定理能夠發(fā)揮作用。在這里，試有理根的方法通

14、過另一種方式發(fā)揮作用，提供一 些找到無理根的可能。注意到多項式的系數(shù)與常數(shù)項，都具有m n"的形式，其中m,n Z。我們將這類數(shù)全體構成的集合記為Z", Z內具有與整數(shù)類似的性質。類比對整系數(shù)多項式試有理根的方法，我們先將常數(shù)項7 "在Z 47上分解:7 " "（77 1）,這樣我們得到7 H在Z"中共有八個因數(shù):1、"、77 1 與7萬。依次試算，當x 1 6時，多項式的值為零，因此有x337 x24 5/7 x 7 77 ,利用多項式除法可以算出x33 ;7 x245.7 x 7 、7一元二次方程x24x 、70的兩解為

15、xi,22 47x314 .22因此 x33 -.7 x24 5、7 x 7 7x 1萬x 4 一,224 .14.223.韋達定理韋達定理是描述一元方程根與系數(shù)關系的定理?？紤]一元二次方程ax2 bx c 0,設這個方程有兩個實數(shù)根與，那么根據(jù)因式定理，可以得出ax2 bx c a x將等式右邊乘開，比較兩邊系數(shù)，可得baca這個關系就是一元二次方程韋達定理的內容3。進一步地，考慮一元三次方程3.2ax bxcxd 0,設這個方程有三個實數(shù)根根據(jù)因式定理可以得出ax事實上，當一元二次方程沒有實數(shù)解時，韋達定理對于兩個復數(shù)根仍然成立。 bx2 cx d a x比較兩邊系數(shù)，可得baca這就是一

16、元三次方程的韋達定理。類似地，可以得到一元n次方程的韋達定理。利用韋達定理，我們可以簡化一些問題的計算。例如，已知方程3x2 5x 4k 0的一根是2,求k的值與另一根。我們可以先將2帶回方程中，解出k ,然后再求解一元二次方程得到另一根。但是利用韋達定理，我們可以直接得出另一根為1 ,繼而得3出k 1,計算簡便許多。2又例如，已知與是一元二次方程2x2x 5 0的兩根，求3如果先求解方程得出, 號1,再代入3 3中，計算將非常麻煩。但是利用韋達定理，我們有333 3313 5 1,22 231 萬韋達定理的逆定理也是成立的：定理（韋達定理逆定理）當實數(shù) 與 滿足 p且 q時，與 是 方程 x

17、2 px q 0的兩根。將 P與q代入方程x2 px q 0中，有x2x 0,分解因式x x 0,因此 與 是方程x2 px q 0的兩根。相對于韋達定理，其逆定理更常用。例如，已知實數(shù)a、b與c滿足a b c ab bc ca 3, 我們可以得到 a b 3 c, ab 3 abcc2 3c 3,因此，a與b是一元二次方程x2 3 cx c2 3c 3 0的兩根，因此這個方程的判別式必然大于零。然而， 所以 0,即c 1,繼而可以求得a b c 1、典型例題: 例1.此題背景參見閱讀材料一一分圓多項式 （2006復旦保送推優(yōu)）下列各式能否在實屬范圍內分解因式？若能，請做出分解；若不能，請說明

18、 理由.,2，32，432(1) x 1(2) x x 1 (3) x x x 1(4) x x x1a例2.已知x六，求，x 4x x 9的值2.3bcda c d a b d a b c a例3.（2008浙江）設 a,b,c,d為非負頭數(shù)，滿足 b c d,t a b b c cd d a則=。cd ad a b bc例4. (2003北京市高一競賽題)已知正整數(shù)x, y滿足xy x y 71, xa1b1c一則.（用k1,k2表示結果） 1a1b1cx y z 0, y xy2 880,求x2 y2的值。例5.解方程4/x 7 ?x 8 3。例6.已知a,b, c R ,求方程3/xa

19、 3/xb Vxc0的實數(shù)解例7.求值:3K 3TIT.,3 33,3例8.當實數(shù)a取何值時，關于 x的方程x6.方程組 xyz z 0,的有理數(shù)解（x, y,z）的個數(shù)為xy yz xz y 0a 7 x29a 5 x 3a2 2a 10（1）沒有實數(shù)解;（2）有且僅有一個實數(shù)解;（3）有且僅有兩個實數(shù)解;例 9.已知 x3 ax2 bx c（4）有三個實數(shù)解。0的三個根分別為 a, b,c,并且a, b,c是不全為零的有理數(shù)， 求a,b, c的直333、rc8(xyz )73,222yz zx),例10 .解方程組 2(xyz )3(xyxyz 1.習題 1.解方程 7x9 xx 4 13

20、2. （06年上海交大）設 k32.20,解萬程 x 2kx k x 9k 27 0 .3.（復旦）在實數(shù)范圍內求方程V10 x 4/7x 3 .222 cx y a 24,已知方程組11恰有兩組解，求實數(shù) a的取值范圍.x y、一 . 一、一 35.（2007 浙7T）設 a,b,c為萬程 xkx k2 0 的根（k1 k2 1）,xy 2x y 17 .解方程組 yz 2z 3y 8zx 4z 3x 8xy z8 .求所有滿足方程組xz yyz x閱讀材料：分圓多項式。x yx z的三元實數(shù)組（x, y,z）.y z在復數(shù)域內，方程 xn 1的根稱為n次單位根，其中n Z設n為一個n次單位

21、根，則有 n r cos isin 。根據(jù)棣莫弗公式，有 nn rn cosn isinn ,即 rn cosn isinn 1,因此r 1且n -一定是 2的整數(shù)倍。2k設n 2k ,其中k Z ,則 ，n2k2k一因此有 n cos i sin,其中 k Z。nn容易看出，由上式表示的不同的n的值只有n個，即復數(shù)域上，恰有 n個n次單位根。設k22kn cosk isink5,其中k 0,1,.,n 1, n恰為輻角在0,2 ）中的n個n次單位根，它們 nn,一，12的輻角都是 的整數(shù)倍。在復平面上，它們構成單位圓的內接正n邊形。nn個n次單位根關于乘法構成n元循環(huán)群。其中，有一些單位根是

22、這個循環(huán)群的一個生成元，但是3另一些不是。例如，x 1的復根有三個，分別為1,i232，1習慣上，3也記為 。可以驗證,1. -31-32一 i - i 一32222工 £1£13。,22221因此，3是三次單位根循環(huán)群的生成元。20同理可以驗證，3也是三次單位根循環(huán)群的生成元，但是3不kn中的k表不上標，而不是乘萬。又例如，x4 1的復根有四個，分別為其中,.1i1,1,.2i.3i.4i1,1,因此1 .3 .4與4都是四次單位根循環(huán)群的生成元；但是,1211,11,1,因此24不是四次單位根循環(huán)群的生成元,04也不是。n次單位根循環(huán)群的生成元稱為本原n次單位根根中,形式上，如果記 nnkn是本原n次單位根當且僅當k,n 1。例如，在四次單位1,42,42,2,41,所以42與44不是本原四次單位根,134與4是本原四次單位根。0 1,4,44,直觀上，n次單位根是本原 n次單位根，當且僅當它不是任意低于n次單位根。還是以四次單位根