浙大版概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題集和試卷

1、浙大版概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題集和試卷第一講1.2, ？ ,N1. 由盛有號碼為的球的箱子中有放回的摸了n 次 , 依次記其號碼,求這些號碼按嚴格上升次序排列的概率.(2) 對任意湊在一起的40 人 , 求他們中沒有兩人生日相同的概率.2r(2r,n)3. 從 n 雙不同的鞋子中任取只, 求下列事件的概率:r(1) (1) 沒有成雙的鞋子; (2) 只有一雙鞋子; (3) 恰有二雙鞋子; (4) 有雙鞋子 . 4. 從 52 張的一副撲克牌中, 任取 5 張 , 求下列事件的概率:(1)(1) 取得以A為打頭的順次同花色5張；(3) (2) 有 4 張同花色;(4) (3) 5 張同花色;(5)

2、(4) 3 張同點數(shù)且另2 張也同點數(shù).思考題 :1 .( 分房、占位問題) 把 n 個球隨機地放入N 個不同的格子中，每個球落入各格子內(nèi)的概率相同(設(shè)格子足夠大，可以容納任意多個球)。1. I. 若這 n 個球是可以區(qū)分的，求(1) 指定的 n 個格子各有一球的概率;(2)有n 個格子各有一球的概率;若這 n 個球是不可以區(qū)分的，求(1) 某一指定的盒子中恰有k 個球的概率;(2)恰好有m個空盒的概率。2. 取數(shù)問題 ) 從 1-9 這九個數(shù)中有放回地依次取出五個數(shù)，求下列各事件的概率 : (1) (1) 五個數(shù)全不同;(2)1 恰好出現(xiàn)二次;(3) 總和為 10.第二講1. 在一張打方格的

3、紙上投一枚直徑為1 的硬幣 , 問方格要多小時才能使硬幣與線不相交的概率小于0.01?2. 在某城市中共發(fā)行三種報紙: 甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報(記為A)的有45%訂乙報(記為B)的有35%訂內(nèi)報(記為C)的有30%同時訂 甲、乙兩報(記為D)的有10%同時訂甲、丙兩報(記為E)的有8%同時訂乙、丙 兩報(記為F)的有5%同時訂三中報紙(記為G)的有3%.試表示下列事件，并求下 述百分比:(1) 只訂甲報的;(2) 只訂甲、乙兩報的;(3) 只訂一種報紙的;(4) 正好訂兩種報紙的;(5) 至少訂一種報紙的;(6) 不訂任何報紙的.3. 在線段 0,1 上任意投三個點, 求 0

4、到這三點的三條線段能構(gòu)成三角形的概率 . 4. 設(shè) A, B, C, D 是四個事件, 似用它們表示下列事件:(1) (1)四個事件至少發(fā)生一個;(2) (2)四個事件恰好發(fā)生兩個;(3) (3) A,B 都發(fā)生而C, D 不發(fā)生 ;(4) (4) 這四個事件都不發(fā)生;(5) (5)這四個事件至多發(fā)生一個;(6) (6)這四個事件至少發(fā)生兩個;(7) (7)這四個事件至多發(fā)生兩個.m(m,n)n5. 考試時共有張考簽, 有個同學參加考試. 若被抽過的考簽立即放回求在考試結(jié)束后, 至少有一張考簽沒有被抽到的概率.k(k,n)6. 在 ?3例 5中 , 求恰好有個人拿到自己的槍的概率.給定 , 求

5、及 .p,P(A),q,P(B),r,P(A,B)P(AB)P(AB)7.思考題l(l,a)1.(蒲豐投針問題續(xù))向畫滿間隔為a的平行線的桌面上任投一直徑為的半圓形紙片, 求事件“紙片與某直線相交”的概率 ;第三講nm1. 件產(chǎn)品中有件廢品, 任取兩件, 求 :(1) (1) 在所取兩件中至少有一件是廢品的條件下, 另一件也是廢品的概率;(2) (2) 在所取兩件中至少有一件不是廢品的條件下, 另一件是廢品的概率.a(a,3)2. 袋中有只白球, b 只黑球 , 甲乙丙三人依次從袋中取出一球(取后不放回 ). 試用全概率公式分別求甲乙丙各取得白球的概率.3. 敵機被擊中部位分成三部分: 在第一

6、部分被擊中一彈, 或第二部分被擊中兩彈 , 或第三部分被擊中三彈時, 敵機才能被擊落. 其命中率與各部分面積成正比假如這三部分面積之比為0.1, 0.2, 0.7. 若已中兩彈, 求敵機被擊落的概率.4. 甲乙兩人從裝有九個球, 其中三個是紅球的盒子中, 依次摸一個球, 并且規(guī)定摸到紅球的將受罰.(1) (1) 如果甲先摸, 他不受罰的概率有多大?(2) (2) 如果甲先摸并且沒有受罰, 求乙也不受罰的的概率.(3) (3)如果甲先摸并且受罰, 求乙不受罰的的概率.(4) (4)乙先摸是否對甲有利?(5) (5) 如果甲先摸, 并且已知乙沒有受罰, 求甲也不受罰的概率.A,B,AB,A,B5.

7、 設(shè)事件 A, B, C 相互獨立, 求證 : 也相互獨立.思考題1. 甲、乙兩人輪流擲一均勻的骰子。甲先擲，以后每當某人擲出1 點時則交給對方擲，否An則此人繼續(xù)擲。試求事件=第n次由甲擲的概率.2( 賭徒輸光問題) 兩個賭徒甲、乙進行一系列賭博。在每一局中甲獲勝的概率為p,乙獲勝的概率為q, p+q=1,每一局后，負者要付一元給勝者。如果起始時甲有資本a元，乙有資本b元，a+b=c,兩個賭徒直到甲輸光或乙輸光為止，求甲輸光的概率.第四講1) 對同一目標進行三次獨立射擊, 要害各次射擊命中率依次為0.4, 0.5 和0.7. 求 : (1) (1) 三次射擊中恰好一次擊中目標的概率;2) )

8、 (2) 至少一次擊中目標的概率.2. 在一電器中, 某元件隨機開、關(guān), 每萬分之一秒按下面規(guī)律改變它的狀態(tài):(1,)(1) (1) 如果當前狀態(tài)是開的, 那么萬分之一秒后, 它仍然處于開狀態(tài)的概率為, 變?yōu)殚]狀態(tài)的概率為;(1,)(2) (2) 如果當前狀態(tài)是閉的, 那么萬分之一秒后, 它仍然處于閉狀態(tài)的概率為, 變?yōu)殚_狀態(tài)的概率為.,0,1,0,1nn 假設(shè) , 并且用表示該元件萬分之秒后處于閉狀態(tài)的概率. 請給 ,n 出的遞推公式.pkmAAA3.在伯努里概型中,若出現(xiàn)的概率為,求在出現(xiàn)次以前出現(xiàn)次的概率( 可以不連續(xù)出現(xiàn)).4. 甲乙丙三人進行某項比賽, 設(shè)三人勝每局的概率相等. 比賽

9、規(guī)定先勝三局者為整場比賽的優(yōu)勝者. 若甲勝了第一、三局, 乙勝了第二局, 問丙成了整場比賽優(yōu)勝者的概率是多少？ 5. 一個人的血型為 O A B AB型的概率分別為0.46、0.40、 0.11 和 0.03. 現(xiàn)任選五人, 求下列事件的概率:(1) (1) 兩人為 O 型 , 其他三人分別為其他三種血型;(2)(2) 三人為。型，兩人為A型；(3) (3) 沒有一人為AB型.第一講,1. 1. 設(shè)為重復獨立伯努里試驗中開始后第一個連續(xù)成功或連續(xù)失敗的次數(shù),求的分布.2. 2. 直線上一質(zhì)點在時刻0 從原點出發(fā), 每經(jīng)過一個單位時間分別概率或向左或向右移S,nnn 動一格 , 每次移動是相互獨

10、立的. 以表示在時刻質(zhì)點向右移動的次數(shù),以表示S,nnn 時刻質(zhì)點的位置, 分別求與的分布列.3. 3. 每月電費帳單是由電力公司派人上門抄表給用戶的. 如果平均有1%的帳單與實際不符 , 那么在 500 張帳單中至少有10 張不符的概率是多少?4. 4. 某車間有12 臺車床獨立工作, 每臺開車時間占總工作時間的2/3, 開車時每臺需用電力 1 單位 , 問 :(1) (1) 若供給車間9 單位電力, 則因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率等于多少?(2) (2) 至少供給車間多少電力, 才能使因電力不足而耽誤生產(chǎn)的概率小于1%?5. 5. 螺絲釘?shù)膹U品率為0.01. 問一盒中應裝多少螺絲釘才能保證每

11、盒有100只以上好螺絲釘?shù)母怕什恍∮?0%?6. 6. 某疫苗所含細菌數(shù)服從泊松分布, 每一毫升中平均含有一個細菌, 把這 種疫苗放入5 只試管中, 每管 2 毫升 , 求 :(1) (1) 5 只試管中都有細菌的概率;(2) (2) 至少有 3 只試管含有細菌的概率.第二講1.1. 在半徑為R,球心為。的球內(nèi)任取一點P,(1)(1)求=OP勺分布函數(shù)；P(,R,R/2)(2) (2) 求 .2. 2. 確定下列函數(shù)中的常數(shù)A, 使它們?yōu)槊芏群瘮?shù):2,Ax,1,x,2,pxAxx(),2,3,|x| 其他 0,.p(x),Ae;,(1) (2),3. 3. 某城市每天用電量不超過100 萬度

12、, 以表示每天耗電量( 即用電量/100), 其密度為2p(x),12x(1,x)(0,x,1). 問每天供電量為80 萬度時 , 不夠需要的概率為多少?供電量為90 萬度呢 ?,3 假設(shè)一塊放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)發(fā)射出的粒子數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布 . 而每個1,pp, 發(fā)射出的粒子被記錄下來的概率均為, 就是說有的概率被計數(shù)器遺漏. 如果個粒子, 粒子數(shù)的分布。是否被記錄是相互獨立的, 試求記錄下的,N(5,4)P(,a),0.90;P(|,5|,a),0.01a4. 4.設(shè) , 求 , 使 (1)(2) .,U0,55. 5. 若 , 求方程有實根的概率.第三講(,)F(x,y)1. 1.

13、試用的分布函數(shù)表示下列概率,(1)P(a,b,y);,(2)P(,a,y);(3)P(,， ,).(,)2 設(shè)二維隨機向量的密度函數(shù)為,2(x ， y),x0,y0,Ae,p(x,y), 其它 .0,F(x,y),(1) (1) 確定常數(shù)A;(2) 求分布函數(shù);(3) 求的邊際密度;(4) 計算概率P(,2,0,1)P(,， ,2);P(,);(5) 計算概率(6) .,P(,1),P(,1),p,0P(,0),3. 3.設(shè)隨機變量與相互獨立, 且 , 又P(,0),1,p, 定義 :,0, ，為奇數(shù),1,， , 為偶數(shù) .,p 問取什么值能使獨立?第四講222(,)x ， y,r1. 1.

14、設(shè)服從圓上的均勻分布,(1) (1) 求各自的密度;,(2) (2) 判斷與是否相互獨立.(,)p(x,y)p(x,y),2. 2.設(shè)的密度函數(shù)為, 求證與相互獨立的充分必要條件為可p(x,y),g(x),h(y)g(x),h(y) 分離變量, 即 . 此時與邊際密度有何關(guān)系?,3. 3. 利用上題的充分必要條件判斷與的獨立性, 若它們的密度函數(shù)為:4xy,0,x,1,0,y,1,p(x,y),0, 其他 .,(1)8xy,0,x,y,1,p(x,y),0, 其他 .,(2)第五講,1. 四張小紙片分別寫有數(shù)字0, 1, 1, 2. 有放回地取兩次, 每次取一張,以分別記兩次取得的數(shù)字 , 求

15、各自的分布以及的分布,122. 2. 設(shè)是獨立隨機變量, 分別服從參數(shù)為及的泊松分布, 試直接證:, ， ,12(1) 服從參數(shù)為+的泊松分布;,kkn,k12,P(,k|， ,n),C()(),k,0,1,？ ,n.n, ， , ， ,1212(2),/2,/2,tan,3. 3.若服從上的均勻分布, 求的密度.0,1,， ,4. 4. 設(shè)獨立同分布，且都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù) . ,N(0,1),/,5.設(shè)獨立同分布, 且都服從分布，求的分布密度.第六講(0,a)1. 在線段上隨機投擲兩點, 求兩點間距離的密度函數(shù).U, ， ,V,/,2. 設(shè)相互獨立，且都服從參數(shù)為1 的指數(shù)分布

16、，求與的聯(lián)合密度 ,U, ， ,V,/, 與的密度 . 并分別求出(,)3.設(shè)的聯(lián)合密度為:4xy,0,x,1,0,y,1,p(x,y),0, 其他 ., 22(,) 求的聯(lián)合密度.22(,),， ,N(0,0,r).4.設(shè)服從二元正態(tài)分布求與相互獨立的充分必要條 12件.第一講nn1. 1. 某人有把鑰匙, 只有一把能打開家門. 當他隨意使用這把鑰匙時, 求打開家門時已被使用過的鑰匙數(shù)的數(shù)學期望. 假設(shè) :(1) (1) 每次使用過的鑰匙不再放回;(2) (2) 每次使用過的鑰匙與其它鑰匙混在一起.E,2. 2. 設(shè)隨機變量分別具有下列密度, 求 :xx,0,1,pxxx(1)(),2,1,

17、2,0, 其他.,2,2,x,x,cos,/2,/2;px(2)(),0, 其他,3. 3. 設(shè)分子的速度的分布密度有馬克斯韋爾分布律給出:22,4xx,xexp(,),0,23px(),aa,x0,0.,m分子的質(zhì)量為,求分子的平均速度和平均動能.第二講p,in1. 1. 設(shè)事件A在第次試驗中出現(xiàn)的概率為,是在次獨立試驗中A出現(xiàn)的 次數(shù) ,E, 求 .nn2. 某人有把鑰匙, 只有一把能打開家門. 當他隨意使用這把鑰匙時, 求打開家門時已被使用過的鑰匙數(shù)的方差. 假設(shè) :(1) (1) 每次使用過的鑰匙不再放回;(2) (2) 每次使用過的鑰匙與其它鑰匙混在一起.(3) 某公司計劃開發(fā)一種新

18、產(chǎn)品市場, 并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量. 他們估計出售該產(chǎn)品一件可,mn 獲利元 , 而每積壓該產(chǎn)品一件導致元的損失。另外，該產(chǎn)品的銷售量預測服從參數(shù)的指數(shù)分布。問若要獲得最大利潤，應安排生產(chǎn)多少件產(chǎn)品,2a,b,Var,(b,a)/4.4. 4. 設(shè)只取值于, 求證(,)5. 5. 設(shè)二維隨機向量的分布密度為2,x,y,0,x,1,0,y,1,p(x,y),0, 其他 .,求協(xié)方差矩陣.思考題E,1.設(shè)袋中裝有m只顏色各不相同的球.有返回地摸取n次，摸到種顏色的球. 求.第三講U,a, ， b,V,c, ， d,a,b,c,dU,Va,c1. 1. 設(shè)為常數(shù), 同號 , 求證的相關(guān)系數(shù)等于, 的

19、相關(guān)系數(shù)., ？ ,122n2. 2. 設(shè)隨機變量的數(shù)學期望都為0, 方差都為1, 兩兩間的相關(guān)系數(shù)都為, ，？，, ，？，,1nn ， 12n, 求與之間的相關(guān)系數(shù).,3. 3. 設(shè)都是只取兩個值的隨機變量, 求證 : 如果它們不相關(guān), 則它們獨立 . 思考題Emax(,),(1,r)/,.(,)N(0,0,1,1,r)1. 1.設(shè) , 求證 :E,E,0,Var,Var,1,Cov(,),2. 2.設(shè) . 證明 :222Emax(,),1 ， 1, .第四講1. 1. 求下列分布的特征函數(shù):k,1P(,k),pq,k,1,2,？ ,q,1,p;(1),a,a,(2)服從上的均勻分布;,(3

20、) 服從參數(shù)為的指數(shù)分布.,(t)2. 2. 設(shè)是特征函數(shù), 求證下列函數(shù)也是特征函數(shù):sinatn ， (1),(t)(n,Z);(2),(t)(a,0).at3. 3. 證明下列函數(shù)是特征函數(shù), 并找出相應的分布.t).tsint222,1(1)cost;(2)();(3)(1思考題t,01. 1. 試舉例說明在逆極限定理中, 在處連續(xù)這一條件不能少.,2. 2. 當獨立時, 則有第一講1. 1. 下列分布函數(shù)列是否弱收斂于分布函數(shù)?0,x,1/n,(1)F(x),n1,x,1/n.,0,x,n,(2)F(x),(x， n)/2n,n,x,n,n,1,x,n.,11,0.50.5nn,2.

21、 2.設(shè)為獨立同分布隨機變量序列, 的分布列為,nk,/2,nkn,k1. 求證的分布收斂于-1,1 上的均勻分布.第二講1. 1. 設(shè)某車間有200臺同型機床，工作時每臺車床60%的時間在開動, 每臺開動時耗電1 千瓦 . 問應供給該車間多少千瓦電力才能有0.999 的把握保證正常生產(chǎn), 2.2. 一家火災保險公司承保160 幢房屋 , 最高保險金額有所不同, 數(shù)值如下表所示10 20 30 50 100 最大保險金額(萬元 )80 35 25 15 5 投保房屋數(shù)假設(shè) : (1) 每幢房屋每年一次理陪概率為0.04, 大于一次理陪概率為0;(2) 各幢房屋是否發(fā)生火災相互獨立;(3) 如果

22、理陪發(fā)生, 理陪量從0 到最高保險金額間的均勻分布.記 N 為一年中理陪次數(shù), S 為理陪總量,a. 計算 N 的數(shù)學期望和方差;b. b.計算S的數(shù)學期望和方差；,c. c.確定相對保證附加系數(shù),即(每份保單保費收入-平均理陪量)/平均理陪量,以確保保險公司的保費收入大于理陪總量的概率等于0.99.,n3. 3. 設(shè)為獨立同分布, 其分布列為泊松分布. 記nn,(,E,)/Var,nkkk,11kkn,， ,n 計算的特征函數(shù), 并求時的極限, 從而驗證林德貝格-勒維定理在這種情況成立.2E,0,E,1,P,1,1/2,nnnnn4. 4.設(shè)各自獨立同分布, 也相互獨立 . .1nS,nkk

23、,1kN(0,1).n 求證 : 的分布函數(shù)弱收斂于 思考題 1. 利用中心極限定理證明:knn,ne,1/2,n,.,0kk! 第三講,(x,a),e,x,a,p(x),0,x,a.,min,？ ,n1nn1. 設(shè)獨立同分布, 密度為 , 令 , 求證 :P,an.PPP,.nnnn3. 3.求證 : (1) 若 , 則PPP,.nnnn (2) 若 , 則n1/n,(,),nkn,k14. 4. 設(shè)獨立同分布, 都服從 0,1 上的均勻分布, 令 ,求證 :,c,cn 并求出常數(shù).思考題f(x)1. ( 蒙特卡羅方法) 設(shè)是定義在0,1 上的連續(xù)函數(shù), 且取值于 0,1. 現(xiàn)在平面的正方形

24、f(A)(x,y):0,x,1,0,y,1nA, 上做隨機投點試驗, 記為所投點落在區(qū)域f(x,y):0,x,1,0,y,f(x)n 內(nèi)的頻率. 試說明當投點次數(shù)充分多時, 可充分接近1f(x)dx.,0 積分值 概率論試卷( 一 )一、填充題( 每空格 3 分 )AB,1. 若 , 則 P(A?B)P(B).2.設(shè)士服從參數(shù)為人的普阿松分布，P(七=1)=P(七=3),則入=.2,? ,i1n3.設(shè),N(0,1),i=1,2,n;相互獨立.則,(n)分布.4.設(shè)士,“互不相關(guān)，貝U Var(2己-4)=.5.參數(shù) 人=1的指數(shù)分布的特征函數(shù)是 .二、是非題 ( 每小題 3 分 )( 先回答對

25、或錯再簡述理由 )1.設(shè)(己，“)為連續(xù)型隨機向量，如果聯(lián)合密度等于各自邊際密度的乘積，則七,4相互獨立.2.隨機變量 七,“相互獨立的充分必要條件是E(己“)二E己？En1,i22,n,n1i,13. 設(shè) 為獨立同分布隨機變量序列,N(a,),=, 則也服從N(a,). P,ft()ft(),nnnn4. 設(shè)隨機變量與己的特征函數(shù)分別為與f (t).若?f(t),(n?), 則 .,x,ex,0,00,x, 三、(16分)設(shè)士，”相互獨立，均服從p(x)=.求U=E +“與V=E /(己+“)的聯(lián)合密度；(2)判斷U與V是否獨立；(3)求V的密度函數(shù).它服從怎樣的分布，,22123412,/

26、), ,),1232 四、(16 分)已知(,N(1,0;.,(1)寫出的特征函數(shù)與密度；(2)求E,Vas;,11(3) 求Cov(); (4)與“相互獨立嗎，為什么，五、(10分)某商店某種食品一塊從上柜到銷售出去時間(天)服從參數(shù)為入=1/3的指數(shù)分布.若一塊這種食品六天內(nèi)賣不出去，就要另行處理，不能再賣.該店每天新上柜這種食品100塊，求(六天后)平均每天另行處理的這種食品的數(shù)量.kkkk, , ()21, , ()21,22,22kkk 六、(8 分)設(shè)相互獨立,P, P,n1d,0,kk,2,012n,1kkP, k=1,2,.求證：.Pd,nn 七、(15 分)(1)設(shè)，求證：.

27、dp,c,cnn (2)設(shè)(常數(shù))，求證.np(x),nd22,0.,(1, nx)2, ? ,nn 的密度為，n=1,求證:八、(8 分)設(shè)概率論試卷(二)一、填充題(每空格3分)1.古典概型是具有條件驗模型.(0,1;1,4,0.5)，則 E,4分別服從. 2. 設(shè)(C),N,ftft(),(),121212123.設(shè)的特征函數(shù)分別為，相互獨立.則()的特征 函數(shù)為4.從1,2,3,4,5 五個數(shù)字中任取三個，所得號碼中最大的為己，則己的分布 列為二、是非題( 每小題 3 分 )( 先回答對與錯，再簡述理由 )201xx,0, 其它，(1)設(shè)隨機變量己的密度函數(shù)為p(x)=,則“=1-2己

28、的密度為1,y,10,y,1,2,0, 其它 ,q(y)=.(2)Var 己=1,Var 4=4,則 Var(2 己 十刀尸8., (3)(t)=sint 是某隨機變量的特征函數(shù).WFx()ft()FxFx()(),nnn (4) 設(shè)分布函數(shù)與F(x) 對應的特征函數(shù)分別為與f(t) ，若則ft()n?f (t).(n?).pp,12 三、 (12 分 )甲乙兩廠獨立生產(chǎn)同類產(chǎn)品，生產(chǎn)一級品的概率各為. 某店分別有甲乙兩廠的該類產(chǎn)品3 件與 7 件 .(1) 求它們都是一級品的概率;(2) 在這 10 件中任取一件，求它是一級品的概率;(3) 在這 10 件中任取一件，發(fā)現(xiàn)是一級品，求它是甲廠

29、生產(chǎn)的概率.k, 14四、(10分)隨機變量 己的分布列為P(E=2k)=3 /,k=0,1,2,.(1)求EE ;(2)求己的特征函數(shù).,xx12,exx,0012,0, 其它 ,xx,1212 五、 (17 分 )() 的聯(lián)合密度為p()=., ， ,/,/112212212 求 :(1) 與的聯(lián)合密度;(2) 的密度 ;,/2,/211ee (3)E(); (4)Var().2, ? ,1n六、(12分)設(shè)相互獨立，都服從正態(tài)分布N().(1)寫出其聯(lián)合分布的密度函數(shù)n,i2,n1i,(2) 求證：服從正態(tài)分布N(n);,)? ,1n(3)求證：對任意正交變換U,4=UE (其中 ”()

30、各分量也相互獨立，同方差.七、(15分)(1)正確敘述并證明林德貝格一勒維中心極限定理.,1)(2)某種電子元件使用壽命服從入=0.1(單位(小時)的指數(shù)分布.一個元件損壞后第二個接著使用.求100個這類元件總計使用時間超過900小時的概率.,n八、(10分)設(shè)為相互獨立的隨機變量序列，成立中心極限定理 .則它服 從大數(shù)定律n2var()/,n,kk,1的充分必要條件是=o(1),試證明之.囹概率論試卷(三)一、填充題(每空格3分)(1)若 P(A)=0.5, P(A?B)=0.8, 則當 A與 B相互獨立時，P(B尸, P(A- B).r, (2) 設(shè) Var=4, Var=9, 相關(guān)系數(shù)=

31、1/4,貝U Var(2+5)=.,(3) 設(shè),B(n,p),則的特征函數(shù)為.2,nnn (4) 獨立同分布，E=a,Var=,則林彳惠貝格一勒維中心極限定理是說、是非題(每小題3分)(先回答“？”或"X”，再簡述理由),),121212 (2),ft()ft(),121212 (3)特征函數(shù)若Var(Var+Var ,則與不獨立,(1)設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為F(x),則對任意常數(shù)a, P(=a)=0.設(shè)隨機變量，的特征函數(shù)分別為,.若隨機向量(,)的ft()ft(),1212 f(t,t尸，則，相互獨立.ft(),Fnnn (4)設(shè)隨機變量，的分布函數(shù)分別為(x)與F(x),特征函

32、數(shù)分別為與f(t).Wft()FxFx()(),nn若？f(t), (n?), 則.222,k,k, 三、(10 分)隨機變量，N(a,). (1) 求證+b,N(ka+b,) , (k?0);2, (2) 求的密度函數(shù).01,xxyx,32x/,0, 其它，四、(17 分)()的聯(lián)合密度為 p(x,y尸,(1) 求邊際密度；(2)求E,E及COV().，五、(8分)某人每月收入服從600,1200上的均勻分布.當月收入超過800元 時應交個人收入調(diào)節(jié)稅.問此人平均每年有幾個月要交該項稅款，k, 1,3六、(8分)隨機變量的分布列為 P(=k)=2/,k=0,1,2,.,(1)求E; (2)求

33、的特征函數(shù).dP,(,cnnnn七、(10分)設(shè)為兩列隨機變量，0).求證d,/,cnn . ,n八、(20分)設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，都服從 U-1,1. 求證:n3/n,kk,1 (1)依分布U斂于 N(0,1);nn2n/()/()3,kk,kk11 (2)依分布U斂于 N(0,1).浙江大學2003 - 2004學年第一學期期末考試概率論課程試卷開課學院:任課教師 :姓名 : 專業(yè) : 學號 :考試時間 :分鐘 題序 一 二 三 四 五 六 七 總分得分評卷人簽名一、 (15 分 ) 給出下列定義1( 1( 概率的公理化定義PA(,),P(A), 答 : 為樣本空間，為事件域。概

34、率是定義在上的實值集函數(shù):,并且滿足下列條件:A,P(A),0(1)( 非負性 )對任一 ;P(,),1(2)( 規(guī)范性 );A,A, ？ ,A, ？ 12n,(3)( 可列可加性)若是中兩兩互不相容的事件，則,P(A),P(A),nnnn11,。 (5分 )2( 2( 隨機變量,(,)(,P)RB 答 : 設(shè)是定義在概率空間上的單值實函數(shù)，且對于上的任一波雷爾集有,1,(B),:,(,),B,(,) 就稱為隨機變量。(5分 )3( 弱 ) 大數(shù)定律,ab(,P)nnn 大 : 設(shè)是定義在概率空間上的隨機變量列，如果存在常數(shù) 列和使得P1n,b,0(n,),kn,1kan,n 則稱服從(弱 )

35、大數(shù)定律。(5分 )n 二、 (14 分 )投擲次均勻硬幣，求出現(xiàn)正反面次數(shù)相等的概率。nn 解 若為奇數(shù) , 顯然 , 出現(xiàn)正反面次數(shù)不可能相等, 故所求概率為0; 若為偶數(shù) , “出現(xiàn)n/2n 正反面次數(shù)相等”等價于“出現(xiàn)正反面次數(shù)各次”， 投擲次均勻硬幣，可以看作伯努,0,n 為奇數(shù) ,2 分 ,1n/2n,n/2,nC()nC2,n 為偶數(shù) .12 分 ,n,2 里概型，故這時概率為: 。故所求為: 。,p(x)p(x),p(,x) 三、 (15 分 )設(shè)隨機變量具有對稱的分布密度函數(shù)，即，記它的分布F(x)a,0 函數(shù)為。證明對任意的，有a1F(,a),1,F(a),p(x)dx,0

36、2(1);P(|,|,a),2F(a),1(2);P(|,|,a),2(1,F(a)(3)。p(x),p(,x) 解 (1) 由于 , 故010,a,ap(x)dx,p(x)dx,p(x)dxp(x)dx,p(x)dx,0,aa2， 因而, ， , ， ,aaF(,a),p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,1,F(a),a，,a00a1F(,a),p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,p(x)dx,a02，即證 (1) 式 ;(7分 )P(|,|,a),P(,a,a),F(a),F(,a),2F(a),1(2)由 (1) 式，即得(2)式 ;(4分 )P(|,|,a),

37、1,P(|,|,a),1,(2F(a),1),2(1,F(a)(3)(2) 式，即得(3) 式。(4分),inAA 四、 (14 分 )設(shè)為次獨立試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，若已知第次試驗時事件出現(xiàn)的p(i,1,2, ？ ,n)E,D,i 概率為，求。1,若第i次試驗A發(fā)生,i0, 若第i次試驗A不發(fā)生.i,1,2,? ,n,解記，n,i,i1 則由題意，。(6分 )22E,p,E,piiii 顯然 : ，由期望，方差性質(zhì):nn,E,E,p,ii,1,1iinnn2Var,Var,(p,p),p(1,p).,iiiii,1,1,1iii(8分 ),a,， b,c, ， d11 五、 (14 分 )已

38、知隨機變量與的相關(guān)系數(shù)為，求與的相關(guān)系a,b,c,da,c 數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為0。解 由于,Cov(,),Cov(a， b,c， d)11,Cov(a,c)， Cov(b,c) ， Cov(a,d) ， Cov(b,d),acCov(,), (6分 )22Var,Var(a, ， b),aVar,Var,Var(c, ， d),cVar,.(4分 )11, 注意到與的相關(guān)系數(shù)為，故,1,ac 異號 ,Cov(,)ac11,11|ac1a,c同號 .VarVar,12(4分 )221,(x,2xy ， y)(,)pxy,e(,)U,， ,2, 六、 (14 分 )設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，記

39、， V,UV ，求與的聯(lián)合密度，并證明它們之間相互獨立。x,(u ， v)/2,u,x ， y,1/21/2,J,1/2,v,x,y.y,(u,v)/2.1/2,1/2,解 作變 換，得，其雅可比行列式為，(4分 )(U,V) 則的聯(lián)合概率密度函數(shù)為22,1(u ， v)2(u ， v)(u,v)(u,v)1,p(u,v),exp,(,， ,44422,12,22， 222,exp(,u)exp(,v).44,22 (8分 )UV為可分離變量，故與相互獨立。(2 分),n,1,n 七、 （14 分 ）設(shè)是相互獨立的隨機變量序列，都服從參數(shù)為的指數(shù)分 布。記n,E(,),kk,1k,nnVar,

40、k,1k,nn 通過計算的特征函數(shù)證明服從中心極限定理。,n,1,n 證 : 由于是相互獨立的隨機變量序列，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，故it,1,(),(1,).t2,1E,1/,Var,1/,其特征函數(shù)為(411E,111,1nnnVar,k,k1it,it,1,n(t),(1,),e,1,nitn,n,itn,(,(t),(1,),e,1n,nn故的特征函數(shù)為:(4根據(jù)級數(shù)展開，可得itn,n,itn,(t),(1,),e,1nn2nnt22,itt1itt12,1, ， o(),1, ， o(),e,nn2nnnn,由逆極限定理，證畢。(4概率論試卷（ 五 ）一、填充題（ 每空格 3 分

41、）（1） 概率論的公理化定義中，概率是, (2) 設(shè) (),N(0,1;1,4,1/2) ，則 COV()=., (3) 設(shè)營業(yè)員在單位時間接待顧客數(shù)服從參數(shù)為的普阿松分布，則該營業(yè)員在接待兩位顧客之間的“等待時間”服從 分布 .,/n (4) 設(shè) , 則 t=,t(n) 分布 .二、是非題(每小體3分)(先回答“？”或"X”，再簡述理由).(1)若一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則5次重復獨立試驗中事件 A至少發(fā)生兩次223Cpp()1,5 的概率為.,？ 12n (2) 設(shè)相互獨立，則它們兩兩不相關(guān).2,t) (3)f(t)=1/(1 是某隨機變量的特征函數(shù)., (4) 設(shè) ,N

42、(0,1), ,N(1,4) ，相關(guān)系數(shù)=1/2，則 (),N(0,1;1,4,1/2).1,|xe,2 三、 (18 分 ) 隨機變量的密度函數(shù)為p(x)=, ,x.2, ， /21, (1) 求的密度;(2) 求的密度;, (3) 求 E; (4) 求 Var;Var, (5) 求概率 P(<).四、 (10 分 )5 張卡片上各寫號碼1,2,3,4,5. 有放回地抽出3張卡片，求其上號碼總和的數(shù)學期望和方差, 五、 (12 分 )設(shè)隨機向量() 的聯(lián)合密度為1122exp,(xrxyy, ， 222(),r21,xy,r21 p(x,y)=), .,，(1) 求證與相互獨立;, (

43、2) 判斷各自服從什么分布(密度，名稱),6、 (8 分 ) 某計算機系統(tǒng)有60 個終端，每個終端有40%的時間在試用; 若各終 端使用與否是相互獨立的，求同時有多于40 個終端在使用的概率. 已知 :x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.0 2.5 3.0(x) 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.977 0.994 0.99922ft()| 七、 (8 分 ) 設(shè) f(t) 是特征函數(shù)，求證與|f(t) 也是特征函數(shù).,()xa,e,xa,0,min,？ ,xa,nnn1, 八、 (8 分 ) 設(shè)獨立同分布，密度為p(x)= ， .

44、P,an 求證 :.,n 九、 (12 分 )設(shè)和是一列隨機變量，求證:dPPd,c,cnnnn (1)如果，則;(2) 如果， (c 為常數(shù) )，則 . 概率論試卷(六 )一、填充題( 每空格 3 分 ),(1)設(shè)事件 ABC 則 P(A)+P(B)1+P(C)., ， b, (2) 若 Cov() 存在，則對任意常數(shù)a,b ， Cov(a)=.n1,i2,n,n1,1i (3) 設(shè) 為獨立同分布隨機變量序列，,N(a, ),.則 ,., (4) 關(guān)于的方差和數(shù)學期望之間的關(guān)系式切貝曉夫不等式是指(5) 在 1500 件產(chǎn)品中設(shè)有100 件次品，任取10 件，則抽到次品數(shù)的數(shù)學期望為二、是非

45、題(每小題3分)(先回答“？”或"X”，再簡述理由). 則他射擊次數(shù)(1) 某人射擊，每次中標的概率為p. 連續(xù)射擊，擊不中即停，限射5 次, 服從參數(shù)為p 的幾何分布.,121212 (2)Var(-)=Var+Var 的充分必要條件是與互不相關(guān).,ff1211 (3) 設(shè) , 的特征函數(shù)分別為(t) 與 (t) ，且它們聯(lián)合分布的特征函數(shù)ttftft,)()(),12112212 f(，則 , 相互獨立.wFx(),Fx(),nnn (4) 設(shè)隨機變量, 的分布函數(shù)分別為與F(x) ，若 F(x) ，則P,n .,12 三、 (21 分 )設(shè) , 相互獨立，都服從參數(shù)為1 的指數(shù)分布.,1122 (1) 寫出 (,) 的聯(lián)合密度和聯(lián)合分布函數(shù);(2) 計算 P(+<1);,/2,/2,11,12ee (3) 求刀=max(,)的密度;(4) 計算 E; (5)計算 Var();,12n四、(7分)設(shè)，的數(shù)學期望都為0,方差都為1,兩兩間相關(guān)系數(shù)都為 P .2nn,j,