二節(jié)定積分在幾何上應(yīng)用-精選 ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的運(yùn)用定積分在幾何上的運(yùn)用一、直角坐標(biāo)系情形求面積一、直角坐標(biāo)系情形求面積二、極坐標(biāo)系情形求面積二、極坐標(biāo)系情形求面積三、小結(jié)三、小結(jié)xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12一、直角坐標(biāo)系情形一、直角坐標(biāo)系情形xxxx x 前往例例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積

2、分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 前往例例 2 2 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 前往于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 闡明：留意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的方式闡明：留意各積

3、分區(qū)間上被積函數(shù)的方式問題：?jiǎn)栴}：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x前往例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy前往假設(shè)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程假設(shè)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上

4、上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).前往例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對(duì)稱性知總面積等于由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 前往 設(shè)設(shè)由由曲曲線線)( r及及射射線線 、 圍圍成成一一曲曲邊邊扇扇形形，求求其其面面積積這這里里，)( 在在, 上上連連續(xù)續(xù)，且且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA 二、極坐標(biāo)系情形

5、二、極坐標(biāo)系情形)( r前往例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.解解由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A前往例例 6 6 求求心心形形線線)cos1( ar所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0前往求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程方式求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程方

6、式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.留意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化留意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算積分運(yùn)算三、小結(jié)三、小結(jié)前往思索題思索題 設(shè)設(shè)曲曲線線)(xfy 過過原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn))3 , 2(，且且)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，并并具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)作作兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求求曲曲線線方方程程.前往思索題解答思索題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)x前往yxyx