圓章節(jié)考點(diǎn)情況總結(jié)分析

1、圓章節(jié)知識(shí)點(diǎn)一、圓的概念1 .平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。其中，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑，以點(diǎn) 為圓心的圓記作“ e ”，讀作“圓2 .確定圓的基本條件：（1）、圓心：定位置，具有唯一性，（2）、半徑：定大小。3 .半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓，兩個(gè)等圓能夠完全重合。4 .連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做 弦，經(jīng)過圓心的弦叫做 直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫 做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，弧用符號(hào)" ”表示，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓， 大于半圓的弧稱為 優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為 劣弧。在同圓或等圓 中, 能過重合的兩條弧叫做 等弧。理解：弧在圓上，

2、弦在圓及圓上：弧為曲線形，弦為直線形。5 .不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓且唯一一個(gè)。6 .三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓， 經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的 外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。與三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)面積最大的圓，圓心是三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，他到三條邊的距離相等：內(nèi)心到三頂點(diǎn)的連線平分這三個(gè)角。（補(bǔ)充）圓的集合概念1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2 、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)

3、的點(diǎn)的集合；3 、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2 、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4 、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；5 、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系決定的。點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)C在圓內(nèi)d1r點(diǎn)在圓點(diǎn)B

4、在圓d2rAdr點(diǎn)在圓外點(diǎn)A在圓外d3rOBdC圓的對(duì)稱性條過圓心的直線都是他的對(duì)稱軸中心對(duì)稱圖形。drdrdrrd=rrdddR1r外切個(gè)交點(diǎn)dRr相交有兩個(gè)交點(diǎn)Rdr個(gè)交點(diǎn)dRrdRrdddrRrRRr圖2圖1質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。圓既是軸對(duì)稱圖形相交，相切圓是軸對(duì)稱圖形，他有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸d,那么R rr,圓心O到直線l的距離為d,那么R和r,圓心距為圖5五、垂徑定理(非常重要)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1： (1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平

5、分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即:AB是直徑 AB CD CE DE弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。中，. AB / CD弧 AC 弧 BD解題技巧：在圓中，解有關(guān)弦的問題時(shí)， 常常需要做“垂直于弦的直徑”作為輔助線。六、圓心角定理頂點(diǎn)在圓心的角叫做 圓心角。圓心角的度數(shù)與他所對(duì)的弧的度數(shù)相等。圓心角定理：在 同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中,只要知道其中

6、的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論，即： AOB DOE ; AB DE ;OC OF ;弧BA弧BD七、圓周角定理頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角(或弧的度數(shù))的一半。即：: AOB和 ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角AOB 2 ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在。中，. C、 D都是所對(duì)的圓周角 C D推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在。中，.AB是直徑或. C 90 C 90AB 是直徑推

7、論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OB， ABC是直角三角形或 C 90注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半 的逆定理。注：忽略一條弦所對(duì)的弧有兩條，所對(duì)的圓周角邊有兩種不同的角。八、圓內(nèi)接四邊形一般的，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形,這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓。圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。推論：圓內(nèi)接四邊形任何一個(gè)外角都等于他的內(nèi)對(duì)角。即：在。中， .四邊形 ABCD是內(nèi)接四邊形C BAD 180 B D 180DAE C

8、九、切線的性質(zhì)與判定定理 直線和圓有唯一公共點(diǎn)(即直線和圓相切)時(shí)，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn) 叫做切點(diǎn)。(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線;兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：: MN OA且MN過半徑OA外端MN是。O的切線(2)性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。連接圓心與切點(diǎn)間的線段是解圓的切線問題時(shí)常用的輔助線，通常敘述為:“見切點(diǎn)連半徑得

9、垂直解決與圓的切線有關(guān)的問題時(shí)，常需要補(bǔ)充的線是作過切點(diǎn)的半徑。九、切線長(zhǎng)定理在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng) 定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等， 圓心和圓外這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。即：: PA、PB是的兩條切線 PA PBPO平分 BPA(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，弦 AB、CD相交于點(diǎn)P, PA PB PC PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在。中，直徑 AB CD , CE2 AE BE(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引

10、圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在。中，PA是切線，PB是割線_ 2PA PC PB(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖)即：在。中，PB、PE是割線 PC PB PD PE十二、兩圓公共弦定理兩圓相切時(shí)，連心線必過切點(diǎn)，這一性質(zhì)是由圓的對(duì)稱性決定,兩個(gè)圓組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)過兩圓圓心的直線。圓公共弦定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。即：。1、o。2相交于A、B兩點(diǎn)。2垂直平分AB注：兩圓相交時(shí)，依照兩圓圓心和公共弦的位置，可分為兩種情況:兩圓圓

11、心在公共弦同側(cè)，兩圓圓心在公共弦異側(cè)。十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式:(1)公切線長(zhǎng)：Rt 0102c 中，AB2 CO12 d°Q22 CO22 ;A(2)外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算各邊相等，各角也相等的多邊形叫做 正多邊形。把一個(gè)圓分成相等的弧，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形,這個(gè)圓叫做正多邊形的外接圓。經(jīng)過各分點(diǎn)做圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的內(nèi)切圓。正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心。正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正

12、多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正多邊形內(nèi)切圓半徑叫做正多邊形的 邊心距。正n邊形的半徑 R與邊心距r把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。關(guān)系式：中心角 n=3600; &<an=2Rsin; nn邊心距 rn Rcos180-; R2 r2 (1an)2;周長(zhǎng) Cn nan; n21_1面積 S= anrn ?n=_ Cn?rn. 22(1)正三角形在O O中4 ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在 Rt BOD中進(jìn)行:OD:BD:OB 1:后 2；(2)正四邊形 同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAE中進(jìn)行，OE : AE :OA 1:1: 72 ：(3)正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAB中進(jìn)行，AB:OB:OA 1 - 3:2.A卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：(1)弧長(zhǎng)公式： L_R.180(2)n R2扇形面積公式：S -R