應(yīng)用平面向量基本定理解題題型歸納

1、平面向量基本定理常用題型歸納何樹衡劉建一平面向量基本定理：如果 e；,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且僅有一對實數(shù) 兒,心使得2 =兒自 十九21平面向量基本定理是正交分解和坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它為“數(shù)”和“形”搭起了橋梁，在向量知識體系中處于核心地位.筆者對近十年高考有關(guān)平面向量基本定理題目作了系統(tǒng)研究，認(rèn)為大致分為以下題型：一、基本題型隨處可見1.1 直接利用九，九2唯一性求解例1:在直角坐標(biāo)平面上，已知 。是原點，OA= (2,Y),OB = (-2,-2),若xOA + yOB =3AB ,求實數(shù)x,y的值解：xOA + yOB = x(2,M) +

2、y(-2-2) = (2x -2y,-4x-2y)2x-2y = -12，x = -3口門 4 c % c，即x為一3, y為3.-4x-2y=6j =31.2 構(gòu)建三角形，利用正余弦定理求解例2：如圖，平面內(nèi)有三個向量OA,Ob,OC ,其中OA與OB夾角為120。，oA與oc 的夾角為 30o, OA =OB|=1,OC=2V3 ,若OC = kOA+nOb(九,Rw R),則解：過C作CD/ OB交OA的延長線于 D,在RtAODC,OC OD CD |一|一=-_DC =2, OD =4,即九=4, 口=2 sin 60* sin 90 0 sin 30 011二、共線問題僅考常新/&

3、quot;C、2.1感受平面內(nèi)論在解題中簡而快捷。O一-D常用結(jié)論：點O是直線l外一點，點A, B是直線l上任意兩點，求證:直線上任意一點P,存在實數(shù)t,使得OP關(guān)于基咚AQA,OB的分析式為OP =（1t）OA tOB/P反之，若OP=（1-t）OA+tOB則A, P, B三點共線一、1B（特別地令t=l, opJoaJob稱為向量中點公式） 222例 3:在 ABC中，AN =1 NC , P是 BN上的一點，若 AP = mAB+AC ,則 311實數(shù)m的值為1解：: AN = NC , 3 B,P,N三點共線，又 AP =mAB 112.2感受向量數(shù)形二重性在證明平面幾何中獨特魅力例4

4、:在平行四邊形 OAC井，BD=1BC, Og BA相交于E,求證：BE=1 BA 34證明：如圖，設(shè) E'是線段BA上的一點，且BE =1BA,只需證E, E'重4合即可1 1 設(shè) OA=a, OB=b, BD = a OD=b+a331.3 . 1 -3-b） = 一（a 3b） = 一（b a） 二 一 OD Y 11OE'=OB BE'=bBA=b （a44.OE ,D三點共線，E,E'重合，. BE=1BA 4三、區(qū)域問題漸成熱點由平面內(nèi)三點共線定理拓展可以研究區(qū)域問題，為解決線性規(guī)劃問題畫出可行域提供理論上依據(jù)和操作上的便利，也可以解決向量中

5、類似于點所在位置 問題.定理：設(shè)O,A,B為平面內(nèi)不共線的三個定點，動點C滿足OC =xOA + yOB（x, ye R）,記直線 OA OB AB分別為l oa, l。41 ab,平面被分成如圖7個部分（I VH ）,得出結(jié)論表（1）,表（2）7/，B充要條件/ x,y滿足條:人1動點C所在區(qū)域（不含邊稟'_紗K°,iI/x>0, y>0 且 x+y<1nx>0, y>0 且 x+y>1mx>0, y<0 且 x+y>1IVx>0 , y>0 且 x+y>1 或x<0,y>1VX<0,

6、0<y< 1VI0<x< 1,y<0vnX<0,y<0表(2)f充要條件動點c在線上x,y所滿足條件相同特征不同特征C在線段AB上x+y=1x>0,y>0C在線段AB的延長線上x<0,y>0C在線段BA的延長線上x>0,y<0C在線段OA上y=00<x<lC在線段OA的延長線上x>1C在線段AO的延長線上x<0C在線段OB上x=00<y<lC在線段OB的延長線上y>1C在線段BO的延長線上上y<0在近十年高考題中，區(qū)域問題常以下面兩種題型出現(xiàn)3.1動點所在位置定，判斷系

7、數(shù)滿足條件例5:如圖，平面內(nèi)的兩條相交直線 OP和OP將該平面分割成四個部分,I , n ,m，IV（不包括邊界），若OP = aOR+bOP2,且點P落在第m部分，則實數(shù)a,b滿足（A.a>0,b>0B.a>0,b<0T P2OIVC.a<0,b>0D.a<0,b<0答案：B例6:如圖OM AB,點P在射線OM射線OB及AB的延長線圍成的陰影部，當(dāng) x= 分內(nèi)（不含邊界）運動，且 OP = xOA+yOB,則x的取值范圍是1時，y的取值范圍是213一 :二 y :二一22解：QM殳 OS/ 1能在線段ST上S作OB平行線交ABMkS'線

8、#TXTOP的終點P只答案：x<0由區(qū)域 V 性質(zhì)得 x<0,0<y01,當(dāng) OS=1AB=1(OBOA)= 1OA + 1OB ,2222此時y=l,當(dāng)T在AB的延長線上時，由表(2)得C在線段AB延長線上時x<0, y>0 2且 x+y=1二. OP= 1 OA + yOB ,- - +y=1：. y=3 即1<y<3222223.2系數(shù)滿足條件定，判斷動點所在位置例 7: 平面上定點 A、 B 滿足 OA卜pB卜OAOB = 2 , 則點 POP=KOA+NOB, K|+|H E1(九* w R)所表示的區(qū)域面積是(中 )A. 2理B. 2 73

9、C. 4V2% 緲B答案：DAwOVx解：令OA與x軸的非負(fù)半軸重合，Ob在第一象限內(nèi)BOA|=OB =OA OB cos / AOB=2. / AOB三.在第一象限，K>0, N>0OP = ?一OA + nOB.九+ N01P點形成圖形的面積為 &aob=OA|Ob卜in /AOB=1 X2X2X sin | = 3,同理Sa a OB = 73Sv b/ ab=4 V3鞏固練習(xí)及參考答案1 .已知 a =(1,2),b = (3,4),c = (15,22),若展=13,2b，求：X,.2 .已知 4ABC和點 M 滿足mA + MB +MC = 0 ,若存在實數(shù) m使得AB AC =mAM 成立，貝U m=()A. 2B. 3C. 43.如右圖, 點，點N在邊D. 5在 ABC中，點M是BCAC 上，且 AN=2NC AM的中與BNM相交于點P,求AP:PM的值.4.已知平行四邊形 ABCD點P為四邊形內(nèi)部或者邊界上任意一點，向量1 2廣，AP=xAB + yAD ,貝 U O< x< -, O < y< -的概率是（）2 3A. -B. -C. -