數(shù)列求和7種方法(方法全-例子多)

1、實用數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Sn = n(a1 +an) = na1 + n(n-1) d22nai(q = 1)2、等比數(shù)列求和公式：Sn u；a1(1 -qn)a1 -anq= (q =1 -q 1-q3、Sn = k n(n 1

2、)km 2n o 14、Sn = k2 =n(n+1)(2n+1)kd 6_31,25、Sn =k3 十n(n 1)2y 2123例 1已知 log3x =，求 x + x + x + +x + 的刖 n 項和.log 2 3文檔解：由log3 x-1log 2 3=log 31x 二一2（利用常用公式）由等比數(shù)列求和公式得Sn = x , x2x3xn_x(1-xn)_1(1-2n1-21 = 12n*例 2設(shè) $=1+2+3+ +n, nCNf(n) =Sn(n 32)01的最大值.（利用常用公式）- f(n) =Sn(n 32)Sm2n 34n 64. 11解：由等差數(shù)列求和公式得Sn

3、=1n（n +1）,2164 n 34 n1501(而-8)2 +50.n8一1當 7n -尸，即 n=8 時，f(n)max=,8504B-1題2.若12+22+- - +(n-1) 2=an3+bn2+cn,貝tj a=b=解:原式=（月一1）蔚.（2弱一1） 2盟一3片？ 十次答案:1. 1.1 =. 9 人 率3 2 6二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前項和，其中 a n 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例 3求和：Sn =1+3x+5x2 +7x3 + +(2n _1)xn解：由題可知， （2n -1）xn

4、的通項是等差數(shù)列2n -1的通項與等比數(shù)列 x的通項之積設(shè) xSn =1x 3x2 5x3 7x4 (2n - 1)xn（設(shè)制錯位）一得 (1 -x)Sn =1 2x 2x2 2x3 2x42xn -(2n -1)xn（錯位相減） 1 -xn4n再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 -x)Sn -1 2x -(2n -1)xn1 - x題1.等比數(shù)列4)的前n項和Sn = 20 1 ,則% +的+佝+% =3Snn -1n(2n -1)x-(2n 1)x(1 x)(1 - x)224例4求數(shù)列2,二2 22解:由題可知,設(shè)Sn6,F2n2n提2n，前n項的和.2n的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)

5、列4的通項之積2n練習題答案:練習題2Sn巴236.2n22n得(1 ,l)Sn224二2=222n 12222 2n-f- -f- T T T T- 八2 八3 八42221 2nn 1 一 ？n 1n n -122（設(shè)制錯位）（錯位相減）n 2Sn = 42n已知二冷，2,求數(shù)列 an的前n項和S.ft#2 -1*2 - 2l - - 2h = *2n - 2 +1的前n項和為答案:三、反序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序）,再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個（ai +an）.例 5求證：C： +3C； +5C： + +(2n +1)C

6、： = (n +1)2n證明：設(shè) Sn =C0 +3C1 +5C2 + - + (2n +1)Cn把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn =(2n 1)Cn (2n -1)Cn4+ FC： +C0（反序）又由CnmMCn引可得Sn =(2n 1)C0 (2n-1)C；,3C： Cn + 得 2Sn =(2n 2)(C0 - CnC=C：) = 2(n 1) 2n（反序相加）Sn =(n 1) 2n例 6求 sin2l + sin2 2+sin2 3 + +sin2 88 +sin2 89 -的值解：設(shè) S=sin2 1 sin2 2 sin2 3 - qsin288 sin 2 89將式右邊反序得22222

7、.（反序）（反序相加）S =sin 89 sin 88 -，sin 3 sin 2 sin 1又因為 sin x = cos(90：x), sin2 x cos2 x =1+D得222_-2_-2,22s = (sin 1 +cos 1 )+(sin 2 + cos 2)+ (sin 89 +cos 89 ) = 89S = 44.5(1)(2)解：（2）已知函數(shù)正2證明：/卜）+/。-力二1 ；, 一一 9 1f + f - -F j + f -io J IM 【io J 的值.IM（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，10=/ 3 +/

8、當=110；110/ 1 A Q f Q令7T +/ + + / +/ IMf q x /2 f 1則S =/ +/ Hh / +/ UOJJOJ兩式相加得:2S = 9x /二 +/ 二=9S =所以S =練習、求值：2?l2+102 + 22+9a+32+81031 HA:102+1四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可111_例 7求數(shù)列的刖 n項和：1+1,+4, +7,一n + 3n-2 , a a a111解：設(shè) Sn = （1 1） （ 4） （ 7）（ny 3n -2）a a

9、a將其每一項拆開再重新組合得1Sn = (1 a1n) (1 4 7 3n -2)（分組）當a=1時,Sna(3n -1)n(3n 1)n=n +=（分組求和）當a01時,Sn例 8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)21.11-12a的前n項和.a-a1(3n-1)na -12解：設(shè) ak =k(k 1)(2k 1) =2k3 3k2 k32Sn = k(k+1)(2k+1) = (2k +3k +k)將其每一項拆開再重新組合得（分組）S=2 k3 +3Z k2kA=2(13 23n3) 3(12 22 - n2) (1 -2 n)（分組求和）n2(n 1)2n(n 1)(2n 1) n(n 1)

10、2_n(n 1) (n 2)五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)an=f (n 1) - f(n)(2)sin 1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) - tan n(3)ann(n 1) n n 1an(2n)2(2n -1)(2n 1)11=1(一2 2n -1 2n 1(5)ann(n.1)(n 2)=(6)an2(n 1) -n(7)an(8)an例9求數(shù)列(n 1)(n 2)n(n 1) 2nn(n 1)2n.2n(n 1)2n，則Sn

11、二1-(n 1)2n(An B)(An C) C B(An B An C1 、2 . 2. 3 ， n 、n 1，解：設(shè)an（裂項）例 10例 11解:則Sn+ + 1,2.2.3n 、n 1=(,2 -,1) (,3 - .2)(, n 1 -,n)在數(shù)列a n中，an解:anbn求證:（裂項求和）12n + +,又bn 2nan -an 1 求數(shù)列b n的前n項的和.J 1 、=8()n n 1數(shù)列bn的前n項和19 （2一3）（3一4）1 、= 8(1 -) n 18n（裂項）+ * *.十cos0 cos1 cos1 cos 2cos0 cos1 cos1 cos2sin1cosn c

12、os(n 1)-=tan(n 1) -tan n(-n白cos1（裂項求和）cos88 cos89 2彳sin 1cos88 cos89（裂項）（裂項求和）S = cos0 cosl cosl cos2 cos88 cos89(tan 1 -tan 0 ) (tan 2 _tan1 ) (tan 3 _ tan 2 ) tan 89 _ tan88 sin 1-.(tan89=-tan0:) =cot1 ：= cos1 .sin1sin1sin21原等式成立1 I1P1-+= 練習題 1.4 二 7 飛： -：-：練習題2。 24 35 465+1)(m+3) =六、分段求和法(合并法求和)針

13、對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值. 解：設(shè) Sn= cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 cosn ： = cos(180 -n )(找特殊性質(zhì)項) . S= (cos1 + cos179 ) + ( cos2 + cos178 ) + ( cos3 + cos177 ) + + (cos89 + cos91 ) + cos90 (合并求和)=0例 13 數(shù)列an： a1

14、=1,a2 =3, a3 =2, an_2 =an 由一 an，求 S2002.解：設(shè) S2002= a1 a2 . a3 一 - a2002由 a=1, a2=3, a3=2, ani2=an+an可得a4 = -1, a5 = -3, a6 = -2,a7 =1,a8 =3,a9 =2,a10 =T,a11 -3,a12 =一2,a6k 1 =1,a6k2 =3,a6k3 = 2,a6k.4 - -1,a6k6 - -3,a6k6 -2（找特殊性質(zhì)項）（合并求和）a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k -4 a6k 6 a6k 6 = 0殳02= aia2a3 - 22002=(a1a

15、2a3 - a6) (a7 - a8 . . a2), (a6k 1 - a6k 2 , 一 a6k 6)(a1993 a1994 a1998 ) a1999 a2000 a2001 a2002=a1999 a2。 22001 22002=a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4=5例14在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6= 9，求log 3al+ log 3a2+ 1 1 ,+log3a10的值.解：設(shè) Sn = log 3 a log 3 a2+log 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì) m + n = p+q = aman = apaq(找特殊性質(zhì)項)和對數(shù)的運算性質(zhì)loga M +l

16、ogaN=logaM N 得Sn=(log3a + log 3a10) + (log 3a2+ log 3a9)+,+(log3 a5+ log 3 a6)(合并求和)=(log 3 a1 2優(yōu))(log 3 a2 a9)+(log 3 a5 a6)=log 3 9 log 3 9 + ,+log3 9=10練習、求和：一J :練習題1設(shè)當一+ 3-5 + 7-+卜1丫（2黑-1）,則心=答案：2；. L * .練習題 2 .若 S=1-2+3-4+ +（-1） 1 , n,則 S17+S33+ S 50等于 （）A.1B.-1C.0 D .2,儲為奇）/為偶）解：對前n項和要分奇偶分別解決，

17、即：Sn=L 2答案：A練習題 31002-99 2+982-97+22-12 的值是A.5000B.5050C.10100D.20200解：并項求和，每兩項合并，原式 =(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來 求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例 15求 1 +11+111+ +11J_ _ 1 之和.n個1一,一11 “k ,、（找通項及特征）（分組求和）解：由于 11119999(10 -1)一百r9 一部丁91111111111n個1111213

18、1n(10 -1) -(10 -1) -(10 -1)(10 -1)99991123n 1(101010 - -10 )(111 匕.，1)99n 個 11 10(10n-1) n910 -191=(10n 1 -10-9n)81例 16已知數(shù)列an： an =8，求Z (n+1)(an an書)的值.(n 1)(n 3) nm解:(n 1)(an -an 1) =8(n 1)1(n - 1)(n 3)1(n 2)(n 4)（找通項及特征）（設(shè)制分組）(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)1111一 =4 (1 1-) +8(1 1)(裂項)n 2 n 4 n 3 n 4一二 11 一二 11Z (n +1)(an -an+) =4 () +8 ( )(分組、裂項求和)ndn+n 2n 4 n 4 n 3n 4, 11、c 1=4()8 -34413提高練習：1 .已知數(shù)列 以中，Sn是其前n項和，并且Sn書=4an+2(n =1,2,111), a1 =1,