類(lèi)比遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用與應(yīng)用

1、類(lèi)比遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用與應(yīng)用摘要 ：數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的能力的一門(mén)重要學(xué)科，對(duì)大多數(shù)人而言，數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)更加重要，在生活和工作中發(fā)揮著更為重要的作用，其中類(lèi)比法貫穿知識(shí)始終，它對(duì)學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，乃至未來(lái)的分析、探索問(wèn)題，合情猜測(cè)和推理結(jié)果。本文結(jié)合目前高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生類(lèi)比推理能力的培養(yǎng)舉措進(jìn)行探討，論述了類(lèi)比推理的重要性，以及它在學(xué)生能力培養(yǎng)上所發(fā)揮的作用。關(guān)鍵詞 ：數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)類(lèi)比 遷移數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的能力的一門(mén)重要學(xué)科, 從小學(xué)到中學(xué), 乃至到了大學(xué)，學(xué)生都為它投入了大量的時(shí)間和經(jīng)歷. 有學(xué)生是這樣評(píng)價(jià)他的數(shù)學(xué)經(jīng)歷：小學(xué)數(shù)學(xué)老師教會(huì)了我加、減、乘、除, 初中數(shù)

2、學(xué)老師教會(huì)了我乘方、開(kāi)方, 高中數(shù)學(xué)老師教給了我數(shù)學(xué)理念新課標(biāo)也指出：高中數(shù)學(xué)課程對(duì)于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類(lèi)社會(huì)的關(guān)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值，提高提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識(shí)具有基礎(chǔ)性的作用.統(tǒng)計(jì)數(shù)字也表明：學(xué)生畢業(yè)后，研究數(shù)學(xué)和從事數(shù)學(xué)教育的人占1%，使用數(shù)學(xué)的人占29%，基本不用或很少用數(shù)學(xué)的占70%.對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)思想方法比形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)更加重要，因?yàn)榍罢吒哂衅毡樾?，更能在他們未?lái)的生活和工作中發(fā)揮作用。聯(lián)合國(guó)教科文組織的數(shù)學(xué)教育論文專(zhuān)輯中曾敘述過(guò)這樣一個(gè)典型的例子：我們能確信三角形面積公式一定是重要的嗎？很多人在校外生活中使

3、用這個(gè)公式至多不超過(guò)一次。更重要的是獲得這樣的思想方法：就是通過(guò)分割一個(gè)表面成一些簡(jiǎn)單的小塊，并且用一種不同的方式重新組成這個(gè)圖形來(lái)求它的面積值 . 這個(gè)見(jiàn)解也映證了數(shù)學(xué)思想方法是提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的關(guān)鍵.一、問(wèn)題的提出高中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法有很多，其中類(lèi)比法在高中數(shù)學(xué)的許多方面都發(fā)揮著積極作用. 人們已經(jīng)公認(rèn)，類(lèi)比是人類(lèi)獲得新知和解決問(wèn)題的重要機(jī)制之一。美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞對(duì)類(lèi)比法推崇倍至，他在怎樣解題的第三部分探索法小詞典里 , 首先談到的即是類(lèi)比。他認(rèn)為: “在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成就中無(wú)不充滿了類(lèi)比。類(lèi)比可在不同的水平使用”，“我們希望能預(yù)測(cè)結(jié)

4、果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預(yù)測(cè)結(jié)果的某些特征. 這種似乎可信的預(yù)測(cè)通常是以類(lèi)比為基礎(chǔ)的”.根據(jù)類(lèi)比領(lǐng)域?qū)＜褿enter 的觀點(diǎn)，類(lèi)比是知識(shí)從一個(gè)領(lǐng)域（源領(lǐng)域）向另一個(gè)領(lǐng)域(目標(biāo)領(lǐng)域)的映射，源情景事物之間存在的關(guān)系系統(tǒng)也存在于目標(biāo)情景的 事物之間時(shí)，類(lèi)比便有可能發(fā)生.因此類(lèi)比方法也稱為類(lèi)比推理，它是從特殊到特 殊的推理，是物體共有關(guān)系的遷移，而不遷移其中的物體或物體屬性.類(lèi)比推理具 有如下形式：A具有性質(zhì)行2Fn,PB具有性質(zhì)Fi；F2：F；,推測(cè)B具有性質(zhì)P'.這里，p分別與Fi,F2,Fn,P相同或相似.A和B指不同的對(duì)象或不同的事物二、類(lèi)比推理對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的作用與重要

5、性類(lèi)比不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用一一例如瑞士數(shù)學(xué)家哈德歐拉通過(guò)類(lèi)比成功地解決了另一個(gè)瑞士數(shù)學(xué)家雅克伯努利所沒(méi)有解決的“求所有自然數(shù)平方 一 *1 O *1 o Io 的倒數(shù)之和，即1+(1)2+(1)2+()2+川的和”的問(wèn)題，并用同樣的方法發(fā)現(xiàn)了萊布234尼茲級(jí)數(shù)的和，即11十11十"I =工,再如柯?tīng)柲曷宸驅(qū)⒏怕屎蜏y(cè)度作類(lèi)比,解 3 5 74決了長(zhǎng)久以來(lái)存在的概率含義缺乏堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的困擾，得到公理化概率論；它在 其他科學(xué)發(fā)揮著巨大的作用一一物理學(xué)家盧瑟福曾將原子內(nèi)部的情況和太陽(yáng)系類(lèi) 比mft后得出原子結(jié)才的行星模型說(shuō)，原子極小，而宇宙博大，二者竟如此相像，類(lèi) 比思想確具創(chuàng)造

6、性.1.類(lèi)比法能有效溝通新舊知識(shí)，突破教學(xué)難點(diǎn)心理學(xué)研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”范圍之內(nèi)時(shí)，學(xué)生更容 易獲得成功，這種成功感可以有力地保證學(xué)生不會(huì)因過(guò)多的失敗而放棄他們的努 力，失去發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì).同時(shí)，應(yīng)用類(lèi)比法，可以促使學(xué)生回顧舊知，嘗試在已有知 識(shí)的基礎(chǔ)上，去發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、構(gòu)建新知識(shí)，可以有效的實(shí)現(xiàn)舊知識(shí)在新內(nèi)容中的正 遷移，幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，突破教學(xué)難點(diǎn)，降低教學(xué)難度，這也符合建構(gòu) 主義的學(xué)習(xí)理論.例如，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，如果教師能夠利用 學(xué)生已有的平面幾何知識(shí)，將二維的知識(shí)概念類(lèi)比到三維的學(xué)習(xí)中，就可以降低 學(xué)習(xí)立體幾何的難度.例1:立體幾何二面角

7、概念的學(xué)習(xí)角二面角B B圖形 aA3 B/頂點(diǎn)Ba“/ 邊Aa圖2B Z定義從平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線(半直線)所組成的圖形從空間一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形表小法ZAOB (邊一頂點(diǎn)一邊)二面角a -a -P (面一棱一面)例2:類(lèi)比平面向量的坐標(biāo)表小，得到空I可向量的坐標(biāo)表小平面向量的坐標(biāo)表示：分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 、j作 為基底,若a=xi + yj，記作a = (x,y).把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo), i =(1,0), j =(0,1), 0 =(0,0).空間向量的坐標(biāo)表示：在空間選定一點(diǎn)o和一個(gè)單位正交基底：j,k,若a = aii +a

8、2 j +a3k，則有序頭數(shù)組(4e2e3)叫作向重a在仝間直角坐標(biāo)系O-xyz中 ,一 . . . .的坐標(biāo)，記作 a =(為總自).i =(1,0,0) ; j =(0,1,0) ; k =(0,0,1)；例3:由平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律類(lèi)比得到空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律:環(huán)節(jié)1:復(fù)習(xí)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，右a=(a1,a2), b =(«'),貝U a + b =(a +匕 +b?) , a b =(a1 b1, a2 b2),九a =(九a，Kl),4才a b = a1bl a2b2v曰十一L,八.兩向重平仃與垂直的充要條件：ab。Ky2-x2y1=0, a_Lbu*2+

9、乂丫2 = 0若 A(x1,y1), B(x2,y2),則 AB =儀2 x1，y2 y1)，AB 中點(diǎn) 坐標(biāo)為xL_xL y y2(-,-)22環(huán)節(jié)二：類(lèi)比得空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：J, 、 ？右a=(a,a2,a3) , b =3也，4), 戶，r貝I a +b =(a1 +t1,a2 +b2,a3 +bs) ； ab =(a1 一t1,a2 一bj ；九a =(九a1，九a2,八氏)(九 R R) ; a b =&bi +a2b2 +a3b3,L/一 ；、一一， cabu a=Abu a1 = Kb1,a2 = Kb2,a3 = ?.b3(九匚 R) , a L bu a1bl

10、+ a2b2 +a3b3 =0 若 A(x1，y1, z1)，B(x2, y2Z),則 AB = (x? x，y2 y1，Z2 z1), AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為( x1X2y1y2 z1z2)(,)2222 .類(lèi)比法可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)創(chuàng)造性解決問(wèn)題的過(guò)程高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出不僅要教給學(xué)生基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生去 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，感受數(shù)學(xué)理念，體會(huì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性與深刻性.但是探索、 研究、創(chuàng)新需要有堅(jiān)實(shí)的知識(shí)作為基礎(chǔ)，而類(lèi)比方法與思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用， 可以讓過(guò)程成為問(wèn)題解決的有機(jī)組成部分.因?yàn)樵谶\(yùn)用類(lèi)比得出數(shù)學(xué)結(jié)論之前，學(xué) 習(xí)者必然對(duì)兩個(gè)對(duì)象進(jìn)行比較，找到它們的對(duì)應(yīng)部分，并明確其具有

11、的某些一般特 征，即發(fā)現(xiàn)可類(lèi)比的對(duì)象，把觀察到的結(jié)果加以綜合類(lèi)比，清楚類(lèi)比對(duì)象中結(jié)論的 來(lái)源，然后對(duì)想要得到的結(jié)論進(jìn)行猜測(cè)，推測(cè)證明的思路，最后證明或推翻猜測(cè).3 .應(yīng)用類(lèi)比法有利于激發(fā)學(xué)生探索，獲得“ 再發(fā)現(xiàn)”的體驗(yàn)在進(jìn)行類(lèi)比和知識(shí)遷移的過(guò)程中，學(xué)生是作為一個(gè)探索者、研究者和發(fā)現(xiàn)者而 去進(jìn)行研究的，這使得學(xué)生能從中獲得了大量探索發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì).同時(shí)，類(lèi)比思維在 數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸拓展過(guò)程中常借助于比較、聯(lián)想，用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變 異和發(fā)散，因此，類(lèi)比方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法 .例如在學(xué)習(xí)立體幾何中，學(xué)生 可以利用平面幾何中已有的性質(zhì)定理，探索和研究立體幾何中的相關(guān)性質(zhì).“平行四邊形的對(duì)角線互相

12、平分” 一名“平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn), 且互相平分”；“等腰三角形的高通過(guò)底邊的中點(diǎn)” 一出 “正棱錐的高通過(guò)底面的中心”； “在同一三角形中兩邊之和大于第三邊”一小“在同一三棱錐中三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”；三角形具有“四心”（內(nèi)心、外心、重心、垂心）一小 三棱錐也可能具有“四 心”通過(guò)這樣的類(lèi)比分析，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，而且在探索結(jié)果的同時(shí)， 既使知識(shí)深化，又貫徹了課堂教學(xué)精講和學(xué)生自主探索的原則。4 .應(yīng)用類(lèi)比法可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解學(xué)生在進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)講解，解題指導(dǎo)時(shí)，往往只注意到知識(shí)點(diǎn)和題目的一些外 在形式，而忽略了一些本質(zhì)特征（如其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法），忽

13、視知識(shí)點(diǎn)、 相關(guān)題目之間的聯(lián)系，這容易造成學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)解題盲點(diǎn)，無(wú)法將所學(xué)知識(shí)，所 掌握的解題方法、技巧順利地應(yīng)用到獨(dú)立解題中。而類(lèi)比遷移，可以學(xué)生將所學(xué) 知識(shí)、技能進(jìn)行分析比較，找到它們之間的相互聯(lián)系和區(qū)別，探明其形式和本質(zhì) 的統(tǒng)一，從而使問(wèn)題得到圓滿的解決.5 .用類(lèi)比法構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使知識(shí)更加系統(tǒng)化在進(jìn)行知識(shí)復(fù)習(xí)時(shí)間，若將各知識(shí)點(diǎn)分散復(fù)習(xí)，學(xué)生不易掌握，且層次不清.而 如果能引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類(lèi)比法進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)歸納整理、方法總結(jié)，就可以將有關(guān)知識(shí) 進(jìn)行類(lèi)比，把一些有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，建構(gòu)一定的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這可以加深 對(duì)知識(shí)的理解和掌握.如復(fù)習(xí)圓與圓錐曲線時(shí)，可以通過(guò)離心律e在(0,y)的變化

14、， 以及圓是橢圓長(zhǎng)短軸相同的極限情況，類(lèi)比各種二次曲線，舉一反三地綜合復(fù)習(xí)圓 與圓錐曲線的圖象與性質(zhì).當(dāng)然在應(yīng)用類(lèi)比進(jìn)行綜合復(fù)習(xí)時(shí)間，一定要明確他們的 區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用一分為二的辯證唯物主義觀點(diǎn)看問(wèn)題的世界觀，以免出現(xiàn) 知識(shí)負(fù)遷移的情況.三、類(lèi)比法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強(qiáng)，需要在對(duì)知識(shí)的理解上下功夫，要多思考，多 研究。按尋找類(lèi)比對(duì)象的角度不同，類(lèi)比常分為降維類(lèi)比、結(jié)構(gòu)類(lèi)比、簡(jiǎn)化類(lèi)比 等類(lèi)型.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類(lèi)比思想主要有以下幾方面的應(yīng)用：1.個(gè)別到一般的推廣應(yīng)用模式：從具體問(wèn)題或具體素材出發(fā)一實(shí)驗(yàn)一歸納一推廣一形成普遍命題一 一證明一類(lèi)比一一聯(lián)想一一預(yù)見(jiàn)一

15、一1119例4:已知A,B,C是AABC的內(nèi)角，求證：-1+-+->9ABC：證：3礪.二B C二三一1=3=933 A B C 3 ABC 三 二311132 +_ + 一 >_ABC:運(yùn)用類(lèi)比：在四邊形ABCED,有A B C D 2 二2在五邊形 ABCDE, 有 一+ + + + 2 A B C D E 3 -通過(guò)歸納、猜想：2n(n -2)二n 1在N邊形A1A23 An中，有工一之 y A2 .某種特性的推廣使用：例5: (2003年上海春招)設(shè)f(x)=，利用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方2x .211法倒序相加法，求f()+f(X)+H| + f(0) +川+ f (5)

16、 + f (6)的值為分析：與等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法即利用 f (x)，f(1 -x)=倒序相加法相類(lèi)比,112x ,22T. 2 - 2設(shè) S=f( 十 f(十 Hl+f(0)十 | 十 f(5)+ f(6),S = f (6) + f (5) + HI + f (0) +| 11 + f (4) + f (-5),2S =12f (") + f (6)=堆，：S=342 .21212o 13o13o 13應(yīng)用類(lèi)比：求31 一叩F3 的值.3行323花323謳32a，一歸納總結(jié)：若 f(x)=r尸(a>0,aw R),恒有 f (x) + f (1 x) = 1 a - ax

17、例6:在一元二次函數(shù)y = a(x-m)2+n的基礎(chǔ)上，類(lèi)比研究含有絕對(duì)信函數(shù)y =a x m+n的圖象與性質(zhì)，進(jìn)步還可研究y=pax2五%，y=pax"l*,ax2 -bx -cy =嗝例7:已知函數(shù)f(x)=W+x2當(dāng)a#b時(shí),比較f(a)-f (b)與a-b的大小分析：此題用常規(guī)解法作差或作商法較為煩瑣.注意到f (a) f (b)與a b和,y =l0gp(ax-m+n)的圖象與性質(zhì)(對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、定義域、值域).3 .數(shù)與形的類(lèi)比，構(gòu)造關(guān)聯(lián)問(wèn)題，拓寬解題思路某些待解決的問(wèn)題沒(méi)有現(xiàn)在的類(lèi)比物，但可通過(guò)觀察，憑借結(jié)構(gòu)上的相似性 等尋找類(lèi)比問(wèn)題，然后可通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，將

18、原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)比問(wèn)題來(lái)解決.如類(lèi) 比兩點(diǎn)間的“距離”公式是解決許多代數(shù)問(wèn)題的策略：B(1,b),的距離,平面上兩點(diǎn)間的距離在結(jié)構(gòu)上極為相似.所以在坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A(1,a)和點(diǎn) 則f(a) =j1+a2表示點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離，f (b)=，1 + b2表示點(diǎn)B到原點(diǎn)a-b表示A,B兩點(diǎn)的距離，在4OAB中，由“兩邊之差小于第三邊”有OA-OB <AB ,所以 f (a) - f (b) <|a 一b .例8:求函數(shù)y= Jx2 +4 +Jx2 4x + 5的最小值分析：觀察式子，類(lèi)比兩點(diǎn) A(xi, yi) , B(x2,y2)之間的距離公式:AB = J(k x2)2十(y1,猜想

19、可以應(yīng)用y = V(x-0)2 +(0-2)2 +V(x-2)2+(0-1)2 ,設(shè)動(dòng)點(diǎn) P(x,0)為x軸上的點(diǎn)，A(0,2), B(2,1)為定點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo) 平面上兩點(diǎn)間的距離之和，即求 y=|PA+|PB的最小值。即在x軸上找一點(diǎn)P, 使得點(diǎn)P到A, B的距離之和最短，這就是將代數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的最值 問(wèn)題.4 .類(lèi)似知識(shí)點(diǎn)的遷移類(lèi)比探索例9: (2000年上海卷)在等差數(shù)列an中，若a10 = 0 ,則有等式ai+a2十川 + an =a+a2+IH+ai9_n(n <19,nw N )成立,類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地等比 數(shù)列bn中，若b9 = 1 ,則有等式成立.分析

20、：等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類(lèi)特殊的數(shù)列，在很多地方有相同或相似的性 質(zhì)，如：若p,q,s,t是正整數(shù)，且p +q =s + t ,若an成等差數(shù)列，則有 ap + aq = as + at若bj成等比數(shù)列，則類(lèi)似的結(jié)論是ap aq = as at .在解答問(wèn)題 時(shí)，能類(lèi)比等差數(shù)列的性質(zhì)，分析等比數(shù)列所具備的類(lèi)似關(guān)系，就不難解決此問(wèn) 題.變式：(2004年北京)定義“等和數(shù)列”，在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的 后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的 公和.已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且4=2,公和為5.那么加的值為，這個(gè)數(shù) 列前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為 .分析：此題類(lèi)比等

21、差數(shù)列定義給出“等和數(shù)列”定義，解決此類(lèi)問(wèn)題要認(rèn)真理 解所給出的定義，結(jié)合所學(xué)知識(shí)尋求正確解決方法 .例10: x2+y2=r2由直徑所對(duì)的圓周角出發(fā)，可得若 AB是圓。的直徑，M是 22圓O上異于A,B的任意一點(diǎn)，則有kAM kBM =1，那么對(duì)橢圓與+與=1(aAb>0)和 a b22雙曲線J 一4=1,猜想是否有類(lèi)似的結(jié)論. a b5 .簡(jiǎn)化類(lèi)比，培養(yǎng)思維的靈活性簡(jiǎn)化類(lèi)比，就是將原命題類(lèi)比到比原命題簡(jiǎn)單的類(lèi)似命題 ，通過(guò)類(lèi)比命題的 解決思路和方法的啟發(fā)，尋求原命題解決思路與方法.比如可先將多元問(wèn)題類(lèi)比 為一元或二元問(wèn)題，高次問(wèn)題類(lèi)比到低次問(wèn)題，普遍問(wèn)題類(lèi)比為特殊問(wèn)題等，這樣 可以溝

22、通數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系，激活學(xué)生的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維 的靈活性.6 .從低維到高維，平面到空間推廣的類(lèi)比拓展學(xué)生在初中階段所學(xué)習(xí)的平面幾何，高中階段學(xué)習(xí)的平面向量都是二維層次上的學(xué)習(xí)，而立體幾何以及借助于空間向量研究立體幾何的相關(guān)性質(zhì)都都是三維層 次上的學(xué)習(xí)。當(dāng)研究的對(duì)象從平面擴(kuò)展到空間時(shí)，盡管有一些性質(zhì)、結(jié)論發(fā)生了 變化，但仍有許多東西與平面幾何相同或類(lèi)似.所以學(xué)習(xí)立體幾何，最重要的方法 之一就是與平面幾何類(lèi)比.將三維空間的對(duì)象降到二維（或一維）空間中的對(duì)象，此 種類(lèi)比方法即為降維類(lèi)比.在降維類(lèi)比的方法中，常常體現(xiàn)在雙向聯(lián)想的結(jié)合，即 由平面幾何問(wèn)題類(lèi)比聯(lián)想到立體幾何中去，又運(yùn)

23、用類(lèi)比聯(lián)想的思維方法將立體幾 何問(wèn)題化歸為平面幾何問(wèn)題去思考.對(duì)此科學(xué)家開(kāi)普勒也曾有精辟的論述，“我珍 視類(lèi)比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能提示自然界的秘密，在 幾何中它應(yīng)該是最不可忽視的.”例11:平面與空間的類(lèi)比平向空間等腰二角形的圖通過(guò)底邊的中 點(diǎn);正多邊形的對(duì)角線互相平分正棱錐的圖通過(guò)底面的中心在RJ一二角形中兩邊之和人丁弟三邊在同一三棱錐中三個(gè)面的面積之和大于第 四個(gè)面的面積直角三角形勾股定理c2 =a2 +b2直角四間體，D為斜面，A、B、C為直角面 記D,A,B,C為四個(gè)面的面積，有D2 =A2 + B2 +C2若M為正三角形內(nèi)點(diǎn)，則M到 三角形各邊的跑離之和為定值.若M為正四面體內(nèi)任一點(diǎn)，則M到四面體 各面的跑離之和為定值.若從點(diǎn)O所做的兩條射線OM ON 上分別有點(diǎn)Mi, M2與點(diǎn)2小2 ,則三 角形面積比SM= OM1 ON1SOM?” OM2 ON2從點(diǎn)O所作的不在同一平卸內(nèi)的三條射線OP OQ口 OR±,分別有點(diǎn)用上2,