對(duì)一道中考試題解題方法的探討及評(píng)析

1、BDC對(duì)一道中考試題解題方法的探討及評(píng)析武漢市鋼城第十一中學(xué)易海林摘要：作為一道探究性幾何題，考點(diǎn)全面，涉及到初中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容.本題以直角三角形為載體，綜合了中點(diǎn)、垂直、相似、比例線段、解方程等主要知識(shí).在數(shù)學(xué)思想方法方面，考查了數(shù)形結(jié)合、特殊與一般辨證思想、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和利用平行構(gòu)造相似、利用線段之間的數(shù) 量關(guān)系構(gòu)造方程的解題方法 關(guān)鍵詞：平行線分線段成比例定理的運(yùn)用、構(gòu)造三角形相似的比例線段、轉(zhuǎn)化思想武漢市中考調(diào)研考試中有這樣一道試題如圖1,已知等腰 Rt ABC, ACB 90 , AC BC , D為若n3,則生DEAE,DE(2)若 n2,求證AF2FC ；當(dāng)n , F為AC的中點(diǎn)

2、.BC邊上一動(dòng)點(diǎn),BC nDC , CE AD于點(diǎn)E ,延長(zhǎng)BE交AC于1.解題思路分析本題第(1)問(wèn)設(shè)計(jì)了兩個(gè)填空，都是求兩線段的比值，一個(gè)是同一個(gè)直角三角形兩直角邊的比，另一個(gè)是同一條直線上的兩線段的比.CE與DE是 DEC的兩直角邊，運(yùn)用射CEACAEAE EC影定理將CE轉(zhuǎn)化成求 二C的值，餐可以看作 生 星，易求出其值為9.DEDCDEEC ED第(2)問(wèn)給出的D點(diǎn)位置更特殊，求證的結(jié)論也很簡(jiǎn)潔、常見(jiàn)，如果不添加輔助線，無(wú)法從現(xiàn)有的已知條件推導(dǎo)出結(jié)論 ，找到添加輔助線的方法就找到解題突破口，從條件的特殊性和結(jié)論形式分析，至少有三種思路，其一，當(dāng) n 2時(shí)說(shuō)明點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，由中

3、點(diǎn)可以聯(lián)想到常規(guī)的輔助線：如倍長(zhǎng)中線、作中位線等；其二 ，將線段AF看作FC的兩倍關(guān)系，由線段的倍分關(guān)系聯(lián)想到截長(zhǎng)補(bǔ)短的構(gòu)造三角形全等的方法，當(dāng)然本問(wèn)題用此方法不易AFFC證明Z論；其三，將AF 2FC形式看成 & 2的形式，由線段的比例關(guān)系聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形.第（3）問(wèn)的設(shè)置實(shí)質(zhì)上與第（2）問(wèn)是互逆的，其解決方法可以選取解決第（2）的方法，為便 于解答，引進(jìn)參數(shù)無(wú)疑是一種好的方法 ，設(shè)DE a,則CE na, AE n2a,依據(jù)所構(gòu)造的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之間的比例關(guān)系，可以建立方程求出n的值.2.解題方法探討第（2）問(wèn)的證明方法很多，筆者進(jìn)行了探討、分類、歸納，現(xiàn)枚舉一些，如下:2

4、.1 構(gòu)造相似三角形法2.1.1 構(gòu)造相似三角形，使所求（證）的兩條線段為對(duì)應(yīng)邊，即：確定一邊所在的三角形, 后構(gòu)造另一邊為對(duì)應(yīng)邊的三角形與之相似 證法一：先確定 AF所在的 AEF ,構(gòu)造以CF為邊的三角形與 AEF相似.過(guò)點(diǎn)C作CG / DA ,交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G ,得“ DE BDBDE s BCG ,CG BCAE o , 2 ,由CGGCF s AEF 得-,又2AFFC DEAE AECGAF 2FC .證法二：先確定AF所在的 ABF ,構(gòu)造以CF為邊的三角形與 ABF相似.過(guò)點(diǎn)C作CG / BA,交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連結(jié)AG .由（1）問(wèn)中得至ij CD2DE DABDDC

5、2BD2 DEDA,又 BDEBDE sDBEDABDEBDABFEA45FEC90 CGGCFCFGEFA ,CFEFCAGCEF45CAGACG45 , .在中，AC.2CGADB ,EBADBE EBAFEA 45 .故得結(jié)論 AEFFEC 45（*）CAB45FEA ,又CFG EFA , .FG 一,又FARt AGC,又 AB 72AC ,CFEGFA , CFE s GFA , .Cl 2.又. GCF s證法三：先確定AF ABBAF ,2 ,即 AF 2FC . FC CGFC所在的 BFC ,構(gòu)造以AF為邊的三角形與BFC相似.過(guò)點(diǎn)A作AG /BC ,交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

6、,連結(jié)AG .則 AGF s CBF , AGE s dbe, . .AF AGFC BCAGAEBDED4,又 BC2BD ,BCAF AGFC BCAG 一qG 2 ,即 AF 2FC .2BD證法四：先確定FC所在的 EFC ,構(gòu)造以AF為邊的三角形與 EFC相似.過(guò)點(diǎn)A作AG / EC ,交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ,連結(jié)AG.FEC ,又由證法二中得出的（*）AEFFEC45 ,可得 G AEG45 ,結(jié)論 AGAE,又.AE 2 , AG 2 ,EC ECAF又. AG / EC, GFAs EFC , 'FCAG , 2,即AFEC2FC .2.1.2構(gòu)造相似三角形，將其中一

7、條線段用相等線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出轉(zhuǎn)化后的兩線段的比就得到要求的兩線段的比證法五：過(guò) F點(diǎn)作GFAC ,交AD于G點(diǎn)，連結(jié)CG ,易得AF ACGFAs DCA ,.GF DC 1Rt GEC與Rt GFC有公共的斜邊，故點(diǎn)E、F均在以CG中點(diǎn)為圓心，以一CG長(zhǎng)為半2徑的圓上，GCF GEF,由(*)結(jié)論 AEF FEC 45 ,， GCF FGC 45 ,，GF FC .AF " 2,即 AF 2FC .FC GF2.1.3構(gòu)造相似三角形，借助中間過(guò)渡線段，分別求兩條線段與中間線段的關(guān)系2DG,4DG ,證法六：過(guò)D點(diǎn)作DG / CA,交BF于G點(diǎn).FC BC BDGs bcf , .

8、 FC BC 2,即 FCDG BDAF AE 一又 AFEs DGE , 4,即 AFDG EDAF 2FC .C證法七：過(guò)E點(diǎn)作EG / AC ,交 BC 于 G 點(diǎn).曰/日DG 1勿倚, -GC 4FCBGE . . EGBDBCBG由 ADC sEDGDC , 5 一5,即 FC3BCBG5EG,由 BCF sAF AC FC5EGACEG5 EG 33AD 5 ,即ED10EG, AF 2FC .3證法八：過(guò)B點(diǎn)作BG /AC,交AD的延長(zhǎng)線于G點(diǎn).易得,BGD sCAD , BGE s FAE ,ACBGDC 1, BD即ACBG, AFAF AE 2,BG EG 32. 八 1

9、一BG , FC BG ,33AC 5EG ,AFFC2BG32,即 AF 2FC .-BG32.1.4通過(guò)作平行線構(gòu)造相似，將要求的兩線段的比直接轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段的比證法九：過(guò)F點(diǎn)作GF / EC ,交AD于G點(diǎn).由(*)結(jié)論 AEFFEC 45 , GEFGFE 45GF GE .又AG由 AGF s aec , GFAE -2 , ECAGGEc AF2,FCAG 一G 2,即 AF 2FC .GEG證法十：過(guò)C點(diǎn)作CG / BF ,交AD的延長(zhǎng)線于 G點(diǎn).易得，BED CGD ,. DE DG,而 AE 4DE ,AE2EG AF AEF s AGC , 工FCAEEG2EG

10、2,即 AF 2FC . EG2.1.5利用線段之間和差、倍分關(guān)系構(gòu)造相似三角形，先求另外兩線段的比，再轉(zhuǎn)化成要求的兩線段之比易得,FCGC:過(guò)D點(diǎn)作DG /CDG s CBF,DC2, FC_ AF AEF s ADG , HAF AFFC 2FGFGAFFGBF ,交AC于G點(diǎn).2GC2FG,AEED4,2,即 AF 2FC .2.2面積法證法十二：由證法二的*結(jié)論有AEFCEF ,過(guò)點(diǎn)F作FG垂足分別為G、H, FGFHE到AC的距離為h ,證照2,EC-FG 2 -FH 2花AF故 FCAEEC1 h AF2,化簡(jiǎn)得FCAFFCAEECAEEC2,即 AF 2FC.EC ,AD , F

11、H易2.3解析法證法十三：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以BC、CA所在的直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AC BC 6a,則點(diǎn) D( 3a,0), B( 6a,0), A(0,6a),可求得直線 AD 解析式：y 2x 6a ,直線 FC解析式：1一x2 得點(diǎn)E坐標(biāo)(2.4a,1.2a),可求得直線 BE的2x 6a1-F 坐標(biāo)（0,2a）,故 CF 2a, AF AC CF 4a ,，解析式為y x 2a,可求得點(diǎn)3AF 2FC .2.4杠桿平衡原理法所謂杠桿平衡原理即為：“動(dòng)力X動(dòng)力臂=阻力X阻力臂”.應(yīng)用杠桿平衡原理解幾何線段比值問(wèn)題，關(guān)鍵在于可將圖形中的各個(gè)交點(diǎn)視為受力點(diǎn)，從而可利用兩個(gè)

12、同向平行力的法則“合力的大小等于兩個(gè)分力的和，合分力對(duì)于以合力作用點(diǎn)為支點(diǎn)的合力矩等于零”，即如右圖：利用 F F1 F2,MO 0,或F1 OA F2 OB來(lái)解題.證法十四：觀察系統(tǒng) BDC ,若在B點(diǎn)掛a牛，則由于BD DC ,所以需在 C點(diǎn)掛a牛，這樣系統(tǒng)BDC就能達(dá)到平衡狀態(tài)，此時(shí)點(diǎn)D受力就為 2a牛.觀察系統(tǒng)DEA,以點(diǎn)E為支點(diǎn)，因?yàn)镈點(diǎn)受力2 a牛，4DE AE ,所以需在 A點(diǎn)受力0.5 a牛，這樣系統(tǒng)BDC就能達(dá)到平衡狀態(tài)，此時(shí)點(diǎn)支點(diǎn)E受力應(yīng)為2a 0.5a 0.5a牛.觀察系統(tǒng)CFA,由于點(diǎn)C受力a牛，A點(diǎn)受力0.5 a牛，所以有a FC 0.5a AF ,即AF 2FC .

13、3.試題評(píng)析從試題的編擬與設(shè)計(jì)來(lái)看，體現(xiàn)兩大特點(diǎn) ：一是試題設(shè)計(jì)了具有層次性的三個(gè)問(wèn)題，體現(xiàn)了關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異、以人為本的理念.(1)至(3)問(wèn)對(duì)學(xué)生的能力要求逐步提高，第 (1)問(wèn)比較常規(guī)，學(xué)生比較容易上手，容易讓學(xué)生獲得解決綜合題的信心 ；第(2)問(wèn)，需要求證的結(jié) 論是學(xué)生非常熟悉形式，這樣可以避免學(xué)生產(chǎn)生畏懼的心理，但從思維層次上做了適當(dāng)?shù)奶嵘?，?duì)中等偏下的學(xué)生設(shè)置了障礙，第(3)問(wèn)為少數(shù)優(yōu)秀的學(xué)生提供了展示自己能力的平臺(tái)，讓這部分學(xué)生能脫穎而出.(1)至(3)問(wèn)逐步增加了試題的思維難度，達(dá)到增加試卷區(qū)分度的. 二是注重解題策略的多樣性, 尊重了不同的學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的不同水

14、平 , 給不同的學(xué)生創(chuàng)造不同的成功機(jī)會(huì), 有利于增強(qiáng)學(xué)生進(jìn)一步解決問(wèn)題和戰(zhàn)勝困難的信心.從所考查的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法上看, 作為一道探究性幾何題, 考點(diǎn)全面, 涉及到初中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容. 本題以直角三角形為載體, 綜合了中點(diǎn)、垂直、相似、比例線段、解方程等主要知識(shí) . 在數(shù)學(xué)思想方法方面, 考查了數(shù)形結(jié)合、特殊與一般辨證思想、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和利用平行構(gòu)造相似、利用線段之間的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造方程的解題方法.從對(duì)學(xué)生的能力要求上看, 對(duì)學(xué)生的解題能力提出較高的要求. 首先 , 要求學(xué)生能根據(jù)幾何語(yǔ)言作出相應(yīng)的幾何圖形的基本畫圖能力, 第 (1) 問(wèn) , 當(dāng) n=3 時(shí) , 如果畫出準(zhǔn)確的圖形, 更直觀

15、準(zhǔn)確 ; 其次是要求對(duì)圖形的性質(zhì)能靈活運(yùn)用, 雖說(shuō)第 (2) 問(wèn)的有多種作輔助線的方法來(lái)構(gòu)造相似三角形，而新教材沒(méi)有平行線分線段成比例的內(nèi)容，前幾年的中考中也沒(méi)有過(guò)多的涉及，平時(shí)沒(méi)做重點(diǎn)訓(xùn)練，對(duì)中等學(xué)生來(lái)說(shuō)要求比較高，本題(2)問(wèn)還必須結(jié)合(1)問(wèn)的結(jié)論綜合考慮才能完成證明過(guò)程; 對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，本題最大的障礙是如何將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題， 第 (3) 問(wèn)盡管不需寫解題過(guò)程, 但必須在嚴(yán)密的推理和計(jì)算的前提下才能寫出正確結(jié)果 , 僅僅建立在感性上的猜想是無(wú)法得到正確的答案.從數(shù)學(xué)美學(xué)的角度看, 本題構(gòu)圖及解答涉及到平面幾何學(xué)的三個(gè)經(jīng)典問(wèn)題: 射影定理、梅涅勞斯定理、黃金分割. 三個(gè)經(jīng)典圖形完美結(jié)合，渾然一體, 體現(xiàn)平面幾何的經(jīng)典之美，不得不讓人贊嘆