六年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)之和差與倍數(shù)的應(yīng)用題

1、六年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)之和差與倍數(shù)的應(yīng)用題和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題做應(yīng)用題是一種很好的思維鍛煉.做應(yīng)用題不但要會(huì)算，而且要多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以說(shuō)做應(yīng)用題是運(yùn)用數(shù)學(xué)的開(kāi)始.加、減、乘是最基本的運(yùn)算，和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用題的訓(xùn)練，就從這一、和差問(wèn)題說(shuō)到“和差問(wèn)題”，小學(xué)高年級(jí)的同學(xué)，人人都會(huì)說(shuō)：“我會(huì)!”和差問(wèn)題的計(jì)算太簡(jiǎn)單了.是的，知道兩個(gè)數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計(jì)算公式：大數(shù)=(和+差)÷2小數(shù)=(和-差)÷2會(huì)算，還要會(huì)靈活運(yùn)用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問(wèn)題來(lái)算.先看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.例1張明在期末考試時(shí)，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩門(mén)功課的平均得分是95分，

2、數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多得8分，張明這兩門(mén)功課的成績(jī)各是多少分?解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語(yǔ)文兩門(mén)得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語(yǔ)文得分之差是8.因此數(shù)學(xué)得分=(95×2+8)÷2=99.語(yǔ)文得分=(95×2-8)÷2=91.答：張明數(shù)學(xué)得99分，語(yǔ)文得91分.注：也可以從95×2-99=91求出語(yǔ)文得分.例2有A，B，C三個(gè)數(shù)，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求這三個(gè)數(shù).解：從B+C=197與A+C=149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此B=(252+197-149)÷2=150，A=2

3、52-150=102，C=149-102=47.答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.注：還有一種更簡(jiǎn)單的方法(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).上面式子說(shuō)明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此C=299-252=47，B=299-149=150，A=299-197=102.例3甲、乙兩筐共裝蘋(píng)果75千克，從甲筐取出5千克蘋(píng)果放入乙筐里，甲筐蘋(píng)果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋(píng)果多少千克?解：畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖，就可以看出，原來(lái)甲筐蘋(píng)果比乙筐多5+7+5=17(千克)因此，甲、乙兩數(shù)之和是

4、75，差為17.甲筐蘋(píng)果數(shù)=(75+17)÷2=46(千克).乙筐蘋(píng)果數(shù)=75-46=29(千克).答：原來(lái)甲筐有蘋(píng)果46千克，乙筐有蘋(píng)果29千克.例4張強(qiáng)用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強(qiáng)買這雙鞋花多少錢?解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價(jià)格和是270元，差是210元.外衣和鞋價(jià)之和=(270+210)÷2=240(元).外衣價(jià)與鞋價(jià)之差是140，因此鞋價(jià)=(240-140)÷2=50(元).答：買這雙鞋花50元.再舉出三個(gè)較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計(jì)算，那么就可以說(shuō)，“和

5、差問(wèn)題”的解法，你已能靈活運(yùn)用了.例5李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班，他估計(jì)快到上班時(shí)間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了.他開(kāi)足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時(shí)間還有10分鐘.夜里11點(diǎn)下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點(diǎn)整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多少時(shí)間(上發(fā)條所用時(shí)間忽略不計(jì))?解：到廠時(shí)看鐘是2點(diǎn)50分，離家看鐘是12點(diǎn)10分，相差2小時(shí)40分，這是停鐘的時(shí)間和路上走的時(shí)間加在一起產(chǎn)生的.就有鐘停的時(shí)間+路上用的時(shí)間=160(分鐘).晚上下班時(shí)，廠里鐘是11點(diǎn)，到家看鐘是9點(diǎn)，相差2小時(shí).這是由于鐘停的時(shí)間中，有一部分時(shí)間，

6、被回家路上所用時(shí)間抵消了.因此鐘停的時(shí)間-路上用的時(shí)間=120(分鐘).現(xiàn)在已把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問(wèn)題了.鐘停的時(shí)間=(160+120)÷2=140(分鐘).路上用的時(shí)間=160-140=20(分鐘).答：李叔叔的鐘停了2小時(shí)20分.還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時(shí)間：以李叔叔家的.鐘計(jì)算，他在12點(diǎn)10分出門(mén)，晚上9點(diǎn)到家，在外共8小時(shí)50分鐘，其中8小時(shí)上班，10分鐘等待上班，剩下的時(shí)間就是他上班來(lái)回共用的時(shí)間，所以上班路上所用時(shí)間=(8小時(shí)50分鐘-8小時(shí)-10分鐘)÷2=20(分鐘).鐘停時(shí)間=2小時(shí)40分鐘-20分鐘=2小時(shí)20分鐘.例6小明用21.4

7、元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問(wèn)小明買甲、乙卡各幾張?解：甲卡與乙卡每張相差1.5-0.7=0.8(元)，售貨員錯(cuò)找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4(張).現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問(wèn)題就解決了.如何求呢?請(qǐng)注意1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4.1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4-3.2.從上面兩個(gè)算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是21.4+(21.4-3.2)÷

8、;(1.5+0.7)=18(張).因此，甲卡張數(shù)是(18+4)÷2=11(張).乙卡張數(shù)是18-11=7(張).答：小明買甲卡11張、乙卡7張.注：此題還可用雞兔同籠方法做，請(qǐng)見(jiàn)下一講.例7有兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形，拼合成兩種大長(zhǎng)方形，如右圖.大長(zhǎng)方形(A)的周長(zhǎng)是240厘米，大長(zhǎng)形(B)的周長(zhǎng)是258厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各為多少厘米?解：大長(zhǎng)方形(A)的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)×2+寬×4.大長(zhǎng)方形(B)的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)×4+寬×2.因此，240+258是原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)×6+寬×6.原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和是(240+258)&

9、#247;6=83(厘米).原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差是(258-240)÷2=9(厘米).因此，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬是長(zhǎng)：(83+9)÷2=46(厘米).寬：(83-9)÷2=37(厘米).答：原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是46厘米、寬是37厘米二、倍數(shù)問(wèn)題當(dāng)知道了兩個(gè)數(shù)的和或者差，又知道這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，就能立即求出這兩個(gè)數(shù).小學(xué)算術(shù)中常見(jiàn)的“年齡問(wèn)題”是這類問(wèn)題的典型.先看幾個(gè)基礎(chǔ)性的例子.例8有兩堆棋子，第一堆有87個(gè)，第二堆有69個(gè).那么從第一堆拿多少個(gè)棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍.解：兩堆棋子共有87+69=156(個(gè)).為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍

10、，就要把156個(gè)棋子分成1+3=4(份)，即每份有棋子156÷(1+3)=39(個(gè)).第一堆應(yīng)留下棋子39個(gè)，其余棋子都應(yīng)拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數(shù)是87-39=48(個(gè)).答：應(yīng)從第一堆拿48個(gè)棋子到第二堆去.例9有兩層書(shū)架，共有書(shū)173本.從第一層拿走38本書(shū)后，第二層的書(shū)比第一層的2倍還多6本.問(wèn)第二層有多少本書(shū)?解：我們畫(huà)出下列示意圖：我們把第一層(拿走38本后)余下的書(shū)算作1“份”，那么第二層的書(shū)是2份還多6本.再去掉這6本，即173-38-6=129(本)恰好是3份，每一份是129÷3=43(本).因此，第二層的書(shū)共有43×2+6=9

11、2(本).答：書(shū)架的第二層有92本書(shū).說(shuō)明：我們先設(shè)立“1份”，使計(jì)算有了很方便的計(jì)算單位.這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對(duì)倍數(shù)問(wèn)題極為有效.把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然.例10某小學(xué)有學(xué)生975人.全校男生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的3倍多11人.問(wèn)全校有男、女生各多少人?解：設(shè)六年級(jí)學(xué)生人數(shù)是“1份”.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-(23-11)人.每份是(975+12)÷7=141(人).男生人數(shù)=141×4-23=541(人).女生人數(shù)=975-541=434(人).答：有男生541人、女生434人.例

12、9與例10是一個(gè)類型的問(wèn)題，但稍有差別.請(qǐng)讀者想一想，“差別”在哪里?70雙皮鞋.此時(shí)皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍.問(wèn)原來(lái)兩種鞋各有幾雙?解：為了計(jì)算方便，把原來(lái)旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份.那么原有皮鞋增加70雙后將是3×2=6(份).400+70將是3+1+6=10(份).每份是(400+70)÷10=47(雙).原有旅游鞋47×4=188(雙).原有皮鞋47×6-70=212(雙).答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)單方便.小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分?jǐn)?shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計(jì)算都較簡(jiǎn)捷.因此，“盡可能整數(shù)化”將會(huì)貫穿在以后的章

13、節(jié)中.下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容年齡問(wèn)題.年齡問(wèn)題是小學(xué)算術(shù)中常見(jiàn)的一類問(wèn)題，這類題目中常常有“倍數(shù)”這一條件.解年齡問(wèn)題最關(guān)鍵的一點(diǎn)是：兩個(gè)人的年齡差總保持不變.例12父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問(wèn)幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍?解：父女相差36歲，這個(gè)差是不變的.幾年前還是相差36歲.當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時(shí)，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的(5-1)倍.36÷(5-1)=9.當(dāng)時(shí)女兒是9歲，14-9=5，也就是5年前.答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.例13有大、小兩個(gè)水池，大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個(gè)水池里注

14、入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問(wèn)每個(gè)水池注入了多少立方米的水.解：畫(huà)出下面示意圖：我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因?yàn)樽⑷雰蓚€(gè)水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.因此每份是(300-70)÷2=115(立方米).要注入的水量是115-70=45(立方米)?答：每個(gè)水池要注入45立方米的水.例13與年齡問(wèn)題是完全一樣的問(wèn)題.“注入水”相當(dāng)于年齡問(wèn)題中的“幾年后”.例14今年哥倆的歲數(shù)加起來(lái)是55歲.曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時(shí)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍.哥哥今年幾歲?

15、解：當(dāng)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時(shí)，我們?cè)O(shè)那時(shí)弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份.兩人的歲數(shù)之差是不會(huì)變的，今年他們的年齡仍相差1份.題目又告訴我們，那時(shí)哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是2+1=3(份).今年，哥弟倆年齡之和是3+2=5(份).每份是55÷5=11(歲).哥哥今年的歲數(shù)是11×3=33(歲).答：哥哥今年33歲.作為本節(jié)最后一個(gè)例子，我們將年齡問(wèn)題進(jìn)行一點(diǎn)變化.例15父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.問(wèn)多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍?解：現(xiàn)在父母年齡之和是38

16、+36=74.現(xiàn)在兒子年齡的4倍是11×4=44.相差74-44=30.從4倍來(lái)考慮，以后每年長(zhǎng)1×4=4，而父母年齡之和每年長(zhǎng)1+1=2.為追上相差的30，要30÷(4-2)=15(年)?答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.請(qǐng)讀者用例15的解題思路，解習(xí)題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.請(qǐng)讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣?各有什么特點(diǎn)?我們也可以用例15解法來(lái)解例12.具體做法有下面算式：(14×5-50)÷(5-1)=5(年).不過(guò)要注意14×5比50多，因此是5年前.三、盈不足問(wèn)題在我國(guó)古

17、代的算書(shū)中，九章算術(shù)是內(nèi)容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問(wèn)題，其中第一題，用現(xiàn)代的語(yǔ)言來(lái)敘述，就是下面的例題.例16有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元;每人出7元，就少了4元。那么有多少人?物價(jià)是多少?解：“多3元”與“少4元”兩者相差3+4=7(元).每個(gè)人要多出8-7=1(元).因此就知道，共有7÷1=7(人)，物價(jià)是8×7-3=53(元).答：共有7個(gè)人一起買，物價(jià)是53元.上面的3+4可以說(shuō)是兩個(gè)總數(shù)的相差數(shù).而8-7是每份的相差數(shù).計(jì)算公式是總數(shù)相差數(shù)÷每份相差數(shù)=份數(shù)這樣的問(wèn)題在內(nèi)容上有很多變化，形成了一類問(wèn)題，我們通稱為“

18、盈不足”問(wèn)題.請(qǐng)?jiān)倏匆恍├?例17把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完;如果每人分16粒，就有3個(gè)小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒?解一：3位小朋友本來(lái)每人可以分到10粒，他們共有的10×3=30(粒)，分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6(粒)，因此其余小朋友有10×3÷(16-10)=5(人).再加上這3位小朋友，共有小朋友5+3=8(人).這袋糖有10×(5+3)=80(粒).解二：如果我們?cè)僭黾?6×3粒糖，每人都可以增加(1-10)粒，因此共有小朋友16×3÷(16-10)=8(人)?這袋糖有80粒

19、.答：這袋糖有80粒.這里，16×3是總差，(16-10)是每份差，8是份數(shù).例18有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人;如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個(gè)班共有多少名同學(xué)?解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個(gè)人無(wú)船坐;如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來(lái)9個(gè)人坐船.可以坐船的人數(shù)，兩者相差6+9=15(人).這是由于每條船多坐(9-6)人產(chǎn)生的，因此共有船(6+9)÷(9-6)=5(條)?這個(gè)班的同學(xué)有6×5+6=36(人).答：這個(gè)班有36人.例19小明從家去學(xué)校，如果每分鐘走80米，能在上課

20、前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)?解一：以小明從家出發(fā)到上課這一段時(shí)間來(lái)算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學(xué)校的距離進(jìn)行比較：如果每分鐘走80米，就可以多走80×6(米);如果每分鐘走50米，就要少走50×3(米).請(qǐng)看如下示意圖：因此我們可以求出，小明從家出發(fā)到上課這段時(shí)間是(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分鐘).家至學(xué)校距離是800×(21-6)=1200(米)?或50×(21+3)=1200(米).答：小明家到學(xué)校的路程是1200米.解二：以每分鐘80米走完家到學(xué)校這段路程所需時(shí)間，作為思考的出發(fā)點(diǎn).用每分鐘50米速度，就要多用6+3=9(分種).這9分鐘所走的50×9(米)，恰好補(bǔ)上前面少走的.因此每分鐘80米所需時(shí)間是50×(6+3)÷(80-50)=15(分鐘)?再看兩個(gè)稍復(fù)雜的例子.例20一些桔子分給若干個(gè)人，每人5個(gè)還多余10個(gè)桔子.如果人數(shù)增加到3倍還少5個(gè)人，那么每人分2個(gè)桔子還缺少8個(gè)，問(wèn)有桔子多少個(gè)?解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”.先要轉(zhuǎn)