線性代數(shù)的知識點(diǎn)全歸納

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案線性代數(shù)知識點(diǎn)1、行歹U式1 . n行列式共有n2個(gè)元素，展開后有 n!項(xiàng)，可分解為2n行列式；2 .代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aij的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0;、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ;3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj =（一1廣jAjAj=()i jMij精彩文檔4. 設(shè)n行列式D :n （n 1）將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為Di,則Di=（1） 2 D ；n（ n）將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90：,所得行列式為 D2,則D2 =（-1） D ;將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D3 ,則D3

2、 =D ；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為 D4,則D4 = D ;5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；n （n）、副對角行列式：副對角元素的乘積4-1）=、上、下三角行列式（、 = | ）：主對角元素的乘積;n（ n ）、|和1 :副對角元素的乘積 M（f 2、拉普拉斯展開式:=All B、= (-1)mLn! AllB、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;、特征值;n6. 對于n階行列式|A，恒有：|九E -A =匯+Z （1）kSk九1，其中Sk為k階主子式; k 37. 證明A =0的方法:、|A=-A；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組 Ax =0,證明其有非零解;、

3、利用秩，證明r（A） n ;、證明0是其特征值;2、矩陣(AB) T =BTAT* * *(AB) =B A_1_ 11(AB) =B A8. A是n階可逆矩陣：U |A #0 （是非奇異矩陣）；U r（A） =n （是滿秩矩陣）U A的行（列）向量組線性無關(guān)；U齊次方程組 Ax =0有非零解；U VbWRn, Ax=b總有唯一解；二A與E等價(jià)；U A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；U A的特征值全不為 0;二AT A是正定矩陣；U A的行（列）向量組是 Rn的一組基;u A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；9. 對于n階矩陣A: AA* =A*A = AE無條件恒成立;* TT *(A) -(A )

4、10. (A )* =( A* 廣(A)T =( AT)11. 陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;12. 于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、B可逆：A若 A =A2 .，則：FAs）I、a=a|AIHA|;AAn、a,=f .；1-XAs、OYA工O；（主對角分塊）O B； IO B JiO A、六 / O b .、；O A =| O。 B ;（副對角分塊）相 O）（A A O J、以C C 入-A 1CB工I I =0 BJ lOB J OA：. OC B y _B 9A B -,(拉普拉斯)(拉普拉斯)3、矩陣的初等變換與線性方程組1 . 一個(gè)mxn矩陣A,總可經(jīng)

5、過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F =fEr O IO O m n等價(jià)類：所有與 A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣 A、B,若r(A) =r(B) u A|_ B ;2 .行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個(gè)非。元素必須為1;、每行首個(gè)非。元素所在列的其他元素必須為 0;3 .初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換) r、若(A , E) (E , X),則 A 可逆，且 X =Ac、對矩陣(A, B)做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，B就變成A -B,即：(A, B)-(E, AB); r、求解線形

6、方程組：對于 n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax=b,如果(A, b) (E, x),則A可逆，且x =A/b ；4 .初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；兀乘A的各列元素;、A =2 .,左乘矩陣A ,九乘A的各行元素；右乘，I(1、(k #0)，b-k i1(k # 0);1 、對調(diào)兩行或兩列，符號 E (i ,j),且E (i, j尸=E(i, j),例如：11、倍乘某仃或某列，付3 E (i (k),且E (i(k) =E (i(),例如： k、倍加某行或某列，符號 E (ij(k),且E (ij(k) =E (ij (-k),

7、如：5 .矩陣秩的基本性質(zhì)：、0 r(Am.) min(m,n)；、r( AT ) =r(A);、若 A|_| B ,則 r(A) =r(B);、若P、Q可逆，則r( A) =r( PA) =r( AQ) =r( PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max(r( A), r (B) r (A, B) r (A) +r( B) ; (X)、r(A+B) r(A) +r(B); (X)、r( AB) min( r (A), r (B) ; (X)、如果 A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，且 AB =0 ,則：()I、B的列向量全部是齊次方程組 AX =0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；II、 r(A) r

8、(B) -r(A) +r(B) -n ;6.三種特殊矩陣的方哥：、秩為1的矩陣：一定可以分解為 列矩陣（向量）m行矩陣（向量） 的形式，再采用結(jié)合律;11 a c、型如0 1 b的矩陣：利用二項(xiàng)展開式;F 0 bn二項(xiàng)展開式：(a+b)n =c0an+cnanb1 十川+C：abmH|+C：七bn+C：bn = C：amb； m -0注：I、 （ a+b） n展開后有n +1項(xiàng);n、Cmn(n -1)HIIH (n m 1) n!nm mmm 工Vc nCn 1 = CnCnCn = 2r z0rCnr 二nC：)n11_2_3_-.|_mm!(n -m)!出、組合的性質(zhì)：Cm =Cn、利用特

9、征值和相似對角化：7 .伴隨矩陣：nr (A) =n、伴隨矩陣的秩：r (A*)=1r (A) =n 1 ;0r (A) :：: n -1、伴隨矩陣的特征值：1A (AX =AX , A* = A A工= A*X =儂X);九九、A* =|AA工、A* =An 8 .關(guān)于A矩陣秩的描述：、r（A） =n , A中有n階子式不為0, n +1階子式全部為0;（兩句話）、r（A） n , A中有n階子式不為0;9.線性方程組：Ax b ,其中A為mxn矩陣，則：、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組 Ax=b有m個(gè)方程；、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;10.線性方程組Ax=b的求解

10、：、對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解;、特解：自由變量賦初值后求得;11.由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程:、a 11 . x 2HI 81 nxn = 0a 21 x 1 -322 x 2 III 32 nxn = b2llllll川 liiWillllll 川 IlHIlHLn- n X1.a1210alnx1出,a 22HIa2 nx 2 _ b2 - Ax* （向量方程,：.：.：am2 III amn 大xm Jbm JA為mxn矩陣，m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)）、0 a2 III J： T （全部按列分塊,其中、aiXi +a2

11、x2H|l+anXn=P （線性表出）、有解的充要條件：r（A） =r（ A, P） n （ n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性m個(gè)n維列向量所組成的向量組A: 5,%,|,0構(gòu)成 nm 矩陣 A =（ct.,c,2,am）；m個(gè)n維行向量所組成的向量組用,PT ,IH, Prm構(gòu)成mMn矩陣B =含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)、向量的線性表出、向量組的相互線性表示U Ax =0有、無非零解；（齊次線性方程組）二Ax =b是否有解；（線性方程組）仁AX =B是否有解；（矩陣方程）3.矩陣Am；n與Bl珀行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組

12、Ax =0和Bx =0同解；（P（01例14）4 .r(ATA) =r(A) ; ( P101 例 15)5 . n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、a線性相關(guān)仁a =0 ；、a, P線性相關(guān)u sB坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、a, & 線性相關(guān) u a,民共面；6 .線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若西出,|,小線性相關(guān),則ai,O2,lll,as,as .必線性相關(guān);若3,02,111,0s線性無關(guān)，則0（1,2,1|1, Ofs必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組 A的每個(gè)向量上添上 n -r個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無關(guān)，則 B也線性無關(guān)；反之若 B線性相關(guān)，則 A

13、也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減） 簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7 .向量組A （個(gè)數(shù)為r）能由向量組B （個(gè)數(shù)為s）線性表示，且 A線性無關(guān)，則r Ms； 向量組A能由向量組B線性表示，則r（A） r（B）;向量組A能由向量組B線性表示U AX =B 有解； u r（A） =r（A, B）向量組 A能由向量組 B等價(jià)ur（ A） =r（B） =r（A, B）8.方陣A可逆之存在有限個(gè)初等矩陣Pi, P2JII, Pi ,使 A = P2111P ；、矩陣行等價(jià):rA B 二 PA = B（左乘，P可逆）U Ax =0與Bx = 0同解c、矩陣列等價(jià)：A Bu AQ=B （右乘

14、，Q可逆）；、矩陣等價(jià)：AByPAQ=B （P、Q可逆）；9 .對于矢I陣Am涌與Bl而：、若A與B行等價(jià)，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價(jià)，則 Ax =0與Bx =0同解，A與B的任何對應(yīng)的列向量組有相同的線性相關(guān)性;、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10 .若 AmBs% =Cm茹? 則：B為系數(shù)矩陣；AT為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）、C的列向量組能由 A的列向量組線性表示,、C的行向量組能由B的行向量組線性表示,11 .齊次方程組Bx =0的解一定是 ABx =0的解，【考試中可以直接作為定理使用，而無需證明、ABx =0只有零解 = Bx =0只有零解；、Bx =0

15、有非零解= ABx =0一定存在非零解；12 .設(shè)向量組Bn： bi,坊,|,與可由向量組 Ans：司，22|14線性表示為：(bi也川|,br) =(ai,a2,川,as)K ( B=AK )其中K為sxr,且A線性無關(guān)，則 B組線性無關(guān) -r(K) =r ; ( B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性： 7r =r(B) =r( AK) r(K), r (K) r, r(K)=r ;充分性：反證法)注：當(dāng)r=s時(shí)，K為方陣，可當(dāng)作定理使用；13 .、對矩陣AmM，存在Qn刈，AQ=Em 仁( A) =m、Q的列向量線性無關(guān)；、對矩陣AmQ,存在Pn刈, PA=En r (A )=屋

16、P的行向量線性無關(guān)；14 . ：-1, ：2，|，二 s 線性相關(guān)U存在一組不全為 0的數(shù)k1,k2,|,ks ,使得kQ1 +k2a2H|l+ksUs =。成立；(定義)P J二(a&JI，a) x2 =0有非零解，即Ax =。有非零解；-Su r(5，a2，W，ots) s,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15 .設(shè)mxn的矩陣A的秩為r ,則n元齊次線性方程組 Ax = 0的解集S的秩為：r(S) =nr；16 .若為Ax=b的一個(gè)解，。匕,|,彳1為Ax =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則“*,。匕.，線性無關(guān)；5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣u ATA =EA - =AT (定義)，性質(zhì)：1i = j、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aTaj =0, A 0；（必要條件）第一章隨機(jī)事件互斥對立加減功，條件獨(dú)立乘除清；全概逆概百分比，二項(xiàng)分布是核心；必然事件隨便用，選擇先試不可能。第二、三章一維、二維隨機(jī)變量1）離散問模型，分布列表清，邊緣用加乘，條件概率定