勾股定理競(jìng)賽試卷含解答

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理競(jìng)賽試卷（時(shí)間：120 分鐘，總分：120 分）一、選擇題（每小題 5 分，共 25 分）、 ABC 周長是 24, M 是 AB 的中點(diǎn) MC=MA=5 則厶 ABC 的面積是（）A. 12; B . 16; C . 24; D . 302、如圖，在正方形 ABCD 中, N 是 CD 的中點(diǎn)，M 是 AD 上異于 D 的點(diǎn)，且/ NMBMMBC 貝 U AM AB=（）A.1; B .仝;C .-; D3323、如圖，已知 0 是矩形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，且 0A=1 OB=3 OC=4,那么 0D 的長為（）A.2; B.2. 2; C.2. 3; D.34、 如圖，P

2、為正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，PA=PB=10 并且 P 點(diǎn)到 CD 邊的距離也等于 10,那么，正方形 ABCD 勺 面積是（）A. 200; B . 225; C . 256; D . 150+10 .25、 如圖，矩形 ABCD 中, AB=20, BC=1Q 若在 AB AC 上各取一點(diǎn) N M,使得 BM+MN 勺值最小，這個(gè)最小 值為（）A. 12; B . 10 .2; C . 16; D . 20二、填空題（每小題 5 分，共 25 分）6、如圖， ABC 中，AB=AC=2 BC 邊上有 10 個(gè)不同的點(diǎn)Mj=AR2PB RC（ i = 1 , 2 ,.M1+M2+M10=_。

3、第（1）題圖第（2）題圖第（3）題圖第（5）題圖第（6）題圖7、如圖，設(shè)/ MPN=20 , A 為 0M 上一點(diǎn)，OA=3, D 為 ON 上一點(diǎn)，0D=&/3, C 為 AM 上任一點(diǎn)，B 是0D 上任意一點(diǎn)，那么折線 ABCD 勺長最小為_8、 如圖，四邊形 ABCD 是直角梯形，且 AB=BC=2AB PA=1, PB=2 PC=3,那么梯形 ABCD 勺面積=_9、 若 x + y = 12 ，那么 *x2+4 + Jy2+9 的最小值=_。10、 已知一個(gè)直角三角形的邊長都是整數(shù)，且周長的數(shù)值等于面積的數(shù)值，那么這個(gè)三角形的三邊長分別為_。三、解答題（共 70 分）11、

4、（本題 10 分）如圖 ABC 三邊長分別是 BC=17, CA=18, AB=19,過厶 ABC 內(nèi)的點(diǎn) P 向厶 ABC 三邊分別作 垂線 PD, PE, PF,且 BD+CE+AF=27 求 BD+BF 勺長度。12、（本題 15 分）如圖，在 ABC 中，AB=2, AC=J3, / A=ZBCD=45，求 BC 的長及 BDC 的面積。第（7）題圖D13、（本題 15 分）設(shè) a,b,c,d 都是正數(shù)。求證：a2c2d22cd. b2c2. . a2b2d22ad14、（本題 15 分）如圖，四邊形 ABCD 中， / ABC=135，/ BCD=120 , AB=J6, BC=5-

5、J3, CD=6 求AD。15、（本題 15 分）如圖，正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn) E, E 到 A、B C 三點(diǎn)的距離之和的最小值為,. 6，求此正方形的邊長。2答案一、選擇題1.C2.A3.B4.C5.C解答：1 . MA=MB=MC=5 / ACB=90知周長是 24,則 AC+BC=14 AC2+BC2=102,2AC- BC=(AC+BCf-(AC2+BC2) = 142-102=4X242.如圖，延長 MN 交 BC 的延長線于 T,設(shè) MB 的中點(diǎn)為 0,連丁0,則厶 BAMhTOB AM MB=OB BT M 攻=2AMBT (1)令 DN=1 CT=MD=k 貝 U AM=2

6、- k所以 BM=AB2AM2= .4 (2 -k)2BT= 2 + k 代入(1) , 得 4 + (2- k )2= 2 (2- k ) (2 + k )21所以 AM AB= : 2 =-333.如圖，過 O 作 EF 丄 AD 于 E,交 BC 于 F;過 O 作 GHLDC 于 G,交 AB 于 H 設(shè) CF=x, FB= y, AH = s, HB = x,所以 OG=x, DG = s所以 OF2=OB2- BF2=OC?-CF2即 42- x2= 32- y22 2 所以 x2- y2= 16 - 9 =7(1)A同理有 O*=12- s2= 32- t2所以 t2- s2=

7、32- 12= 8(2)又因?yàn)?OHf+HBOB22 2SABCAC BC =242(1) - (2) 得 (x2+s2)/ 22 d2 2 2 2-(y + t ) = - 14所以 k =-3所以 OD2=x2+ s2= (y22+ t2) - 1 = 9- 1 = 8所以 OD=2._24.如圖，過 P 作 EF 丄 AB 于 E,交 CD 于 F,貝UPF 丄 CD所以 PF=PA=PB=10 E 為 AB 中點(diǎn)設(shè) PE = x，貝UAB=AD=10 + x1 1所以 AE=_AB=_(10 + x)2 2在 Rt PAE 中, PA2=PE2+AE2所以 102= x2+ 1(10

8、+ x )2所以 x = 622 2所以正方形 ABCD 面積=AB =(10 + 6)= 2565. 如圖，作 B 關(guān)于 AC 的對(duì)稱點(diǎn) B,連 A B,則 N 點(diǎn)關(guān)于 AC 的對(duì)稱點(diǎn) N在 A B上，這時(shí)，B 到 M 到 N 的最小值等于BTMRN的最小值，等于距離 BH，連 B 與 A B和 DC 的交點(diǎn) P,小1則SABP=X20X10=100,2由對(duì)稱知識(shí)，/ PAC=/ BAC=/ PCA所以 PA=PC 令 PA=x,貝UPC=x PD=20 - x ,在 Rt ADP 中，PA2=PD +AD2B 到 A B的所以 x2= (20- x )2+ 102所以 x = 12.51因

9、為S.ABPPA，BH所以BH=16PA 12.5、填空題1. 40;2.12;424.13;5.6, 8, 10 或 5, 12, 13解答：1 如圖，作 AD 丄 BC 于 D,在 Rt ABD 和 Rt ARD 中，AB2=AD +BD2AR2=AD2RD22 2 2 2 2所以AB -AR =AD BD -(AD RD)2 2-BD -RD= (BD RD)(BD _RD)=PiC RB所以AR2= RC fB =AB2=4所以Mj =4所以M1M2M10=401.如圖，作 A 關(guān)于 ON 的對(duì)稱點(diǎn) A, D 關(guān)于 OM 的對(duì)稱點(diǎn) D,連結(jié) AB, CD,則 AB=ABCD=CD從而A

10、B+BC+CD=AJ+BC+CDAD因?yàn)? AON=/ MONKMOD=20，所以/ AOD=60又因?yàn)镺A=OA=4/3,OD=OD=&/3,所以 OD=2OA即厶ODA為直角三角形，且/OAD=90所以AD=OD2-DA，2= .(8I3)2_(4.3)2=12所以，折線 ABCD 的長的最小值是 123.如圖，作 RML AB 于 M, RN! BC 于 N,設(shè) AB = m, PM = x, PN = yr 22X2+y2=4(1)x2+(my)2=1(2)/m x)2+y2=9(3)，則由(2 )、(3 )分別得,2 2 2x m - 2my y 1(3)222y m -2m

11、x x =9(4)將（1）代入（4）得m2-2my -3=0 =把 x,y 的表達(dá)式分別代入（1 ）得m4-10m210因?yàn)?m20 所以 m2=5+2、.2所以 AB=m =+ 2和2, BC = #5 + 2T 2 , AD = *5 + 2 J22115 3c所以SABCD（AD BC） AB224 24.如圖,AB=12,AC=2 BD=3 且AB 丄 AC,AB 丄 BD,P 在AB 上且 PA=x,PB=y,連 PCPD,在 Rt CAP 和 Rt DBP 中PC hAC2PA224,PD = :；BD2PB2=Jy29如圖，P 點(diǎn)在P0位置時(shí)，PC+PD 勺值最小，為線段 CD

12、的長度，而CD=.（2 3）2122=135.設(shè)三邊長為 a,b,c，其中 c 是斜邊，則有a2b2=c2（1）a bab（3）I2（2）代入（1）得a2b2=（辿-a -b）22因?yàn)?abz0 所以 ab - 4a - 4b + 8 = 08所以a =4（a,b 為正整數(shù)）b 4所以 b - 4 = 1, 2, 4, 8,所以 b = 5 , 6, 8, 12;a = 12 , 8, 6, 5;c = 13 , 10 , 10 , 13 ,所以，三邊長為 6 , 8 , 10 或 5 , 12 , 13三、解答題將（1）代入（5）得m2m2一52mm23所以x24-y2- 9的最小值為 13

13、。即（ab -4a -4b 8） = 041 如圖，連結(jié) PA,PB, PC,設(shè) BD=x CE=y AF=z,貝 U DC=17-x, EA=18 - y , FB = 19- z在 Rt PBD 和 Rt PFB 中，有x2PD2= (19 _z)2PF同理有：y2PE2=(17 _x)2PD2z2PF2=(18-y)2PE2將以上三式相加，得x2y2z2=(17 -x)2 (18 -y)2 (19-z)2即 17x + 18y + 19z = 487 又因?yàn)?x + y + z = 27 所以 x = z - 1,所以 BD + BF = x + (19- z ) = z2.如圖，作 C

14、E! AB 于 E,2 2 2又BC =CE BE所以BC=.CE2BE2貝 V BF= x - BC = x + 1 -. 6又 Rt DFB Rt CEB所以 x=32 62所以SBCD=1BC DF =- ( 6 -1)32 6=9-22242.如圖，構(gòu)造一個(gè)邊長為(a + b) 、(c + d)的矩形 ABCD在 Rt ABE 中, BE=.AE2AB2所以 BE= .a2(c d)2二.a2c2d22cd再過 D 作 DF 丄 BC,交 CB 延長線于 F,并設(shè) DF=CF=x所以 DF: BF=CE BE,即即 x: (x + 1 -則CE=AE/ AC -2 2所以BE=AB-A

15、E=21 + 19DBx2在 Rt BCF 中,BF=、.BC2CF2二、b)2d2ha2b2d22ab在 R t DEF 中，EF=.、DE2DF2=：b2C2在厶 BEF 中，BE+EFBF即,a2C2d22cd, b2c2. , a2b2d22ab3.如圖，過 A 作 AE/ BC 交 CD 于 E,則/ 1=45,/ 2=60,過 B 作 BF 丄 AE 于 F,作 CGL AE 于 G,則 Rt ABF 為等腰直角三角形，BCFG 為矩形,又因?yàn)?AB= . 6 , BC=5- . 3 ,所以 BF=AF=AB=.3，所以 CG=BF=3,2所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4過 D 作 DM 丄 AE 延長線于 M/ MED=180 - / AED=180 - / BCD=180 -120 =6013所以 EM=-DE=2, DMA DE=2322AD=.、AM2DMJ(6 2)2(2.3)2=2.195.如圖，以 A