線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試題

1、、填空題1.矩陣A -09級(jí)線性代數(shù)(A)階段練習(xí)題13-3-3-9-1貝U R(A) =2.(11-3-1 '(11-3-1、(11-3-V解：A =3-1-34:0-46704-6-7I15-9一81°46-71°00°-85R(A) =2 .2-2t-1,B為三階非零矩陣，且解：A定非可逆陣，因此A =2t-1-231= 7t 21=0, = t-3.3.若四階矩陣A的秩R(A) =2,則R(A*) =0 .(見(jiàn)證明題5)4.已知向量組，: 2, ：-3, ：-4線性無(wú)關(guān)，r 比2比3, ：22必4-3=2-2 k： 3 >4 , ：42 -

2、2： 3 ： 4 ,則當(dāng) k =2 時(shí)，r "4 線性相關(guān).解:(1-1,-2,：3,亠，:<0-2若矩陣K非奇,線性無(wú)關(guān).而1000k2k1k2k0k-210k-21110111則K= 2(k _2) = 0 ,線性無(wú)關(guān),：3:'1,：'2,九"S'5.若向量組無(wú)關(guān).解:=>1，23, >4 K，則向量組2 2 3 3/ 2 2 3/ 3線性"00、（耳十2口2 +3c（3 ,色十2口3 ,口3）=（口1 , 口3）210<32 3而 K| = 230 01 0 =1式0, K為非奇矩陣，故向量組 +&2

3、+33 ,。2 +&3 ,。32 1線性無(wú)關(guān).6.若向量組亠，:2 , : 3 , ：-4線性無(wú)關(guān)，向量組： 1亠：2 ,2亠-：33亠"；4 ,4化內(nèi) 線性相關(guān).解:>1 *2, >2 *3,3 *44 H1,2,3,411001'001其中K =100110=11001101100111=1 -1 = 0 ,故向量組0010011*2, >2 *3, ： 3-4, >41線性相關(guān).7.向量組=(1, 1, d) ：；2 二(2 , 0T, 1)3：'3可由-'1 , - 2線性表示.解：1, >2線性無(wú)關(guān),只有當(dāng)向量組

4、線性相關(guān)時(shí)>3可由12線性表示.此時(shí)12, ： 3=2 -5 -2t =0 ,<2、1-38.線性方程組兒34的基礎(chǔ)解系為匕產(chǎn)-2, 2 一3.3x2 +6x3 -9x4 =0103丿丿0t解：對(duì)方程組的系數(shù)陣進(jìn)行初等變換卜=嘆3X4同解，令取，十和x2 = 2x3 +3x40衛(wèi)丿,可得方程組的基礎(chǔ)解原方程組與0 / 6和"3 3 6-9 ”(0-23、2-3?析 © =(2 2 1 0$ , . =3 3 0 1 丨.8+0-736z9.四元方程組Ax=b中R(A) =3， :-1,:2,3是它的三個(gè)解.其中：-i =(2, 0, 3, 2)t, 2-2 3

5、(5, 8, 8, 4)T ,則方程組 Ax 二 b的通解為 c解：R(A) =3 , Ax =0存在基礎(chǔ)解系(只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量).A(2： 2 3： 3 一5： J =2A： 2 3A： 3 5A：=2b 3b 5b =0108J0丿15是Ax = 0的基礎(chǔ)解系-7I-6才8+0_73<_6><2Ax =b的通解為c10.向量空間 V 二x =(0, X2, III, Xn)T |X2，川，xR的維數(shù)是 n-1 .二、選擇題*10 1"'0 0 1 x*1 0 0 ''1 1 0x(A)0 2 0;(B)0 1-4;(C)014;(

6、D)0 1 1<00 1,J00,<001,<00 11.下列矩陣中(C )是初等矩陣.qb2a1b5a1b4a2b2a2bsa?b42.設(shè) a0, b 式 0, i =1,2, 3, 4,矩陣 A =/a1b1a2bia3bi<a4b1a3b2a4b2asbsa3b4a4b3a4b4 >，則矩陣A的秩 R(A)二(A).(A) 1;(B) 2;(C) 3;(D) 4 .事實(shí)上 A= a2 (b b2 ba b4), R(A)=1 as04丿(B)宀-2 ,二：2 -餐 3 , '；3 -4 ,4 -餐 1 ；3.向量組冷，：2,3,4線性無(wú)關(guān)，以下(D)

7、組向量線性無(wú)關(guān).110001100011-1001-1 *1=2 .因此應(yīng)選(D).4.向量組：1 , ： 2 , ： 3 線性無(wú)關(guān)，：11 -2, ：22 - >3, ：3(C) %+ a2,。2 +口3 ,°3 -口4,°4 一GJ(DM+ °2 02+ c(3,a1001100-1100-11100=0,-1100=0,110001100-1100110001100-1100-11(A)宀 *2 , >2 *3, >3 * 4 , >4 *1 ；=0,3 *4,4 一1性無(wú)關(guān)，則,t滿足(B).(A) 彊-t ;(B) . =t ;(

8、C)彊-t =1;*1事實(shí)上(01,打，陽(yáng)=(。1,。2,。3)-1<00-廠10-t10,而-110=丸一t式0 ，-1k J0-1Z(D) =2t .，Z125.矩陣Q = 2 4,3 63t , P為三階非零矩陣且PQ = O ,則有(C)(A)t -6 時(shí),R(P) -1 ; (B)t=6 時(shí)，R(P)=2 ；(C)t=6 時(shí)，R(P)=1 ; (D)t=6 時(shí)，R(P)=2廣 123、將矩陣P按列分塊為卩=(口，,©),4 2 4 t , P O.當(dāng)t = 6時(shí)<3 6 9,R(Q) =1 , R(P)可以是1,也可以是2. (A)、B)斷言R(P) =1或R(

9、P)=2并無(wú)依據(jù).當(dāng)t=6時(shí)，R(Q)=2 . Q的諸列均為Px=O的解，其一、三列線性無(wú)關(guān)，即Px=O有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的非零解，當(dāng)有R(P)乞1 ;又因P=0,又有R(P)_1 ,因此必有R(P) =1 選(C).6. 齊次線性方程組 Ax = 0( A為m n矩陣)僅有零解的充分必要條件是(B) .(A) A的列向量組線性相關(guān)；(B) A的列向量組線性無(wú)關(guān)(C) A的行向量組線性相關(guān)；(D) A的行向量組線性無(wú)關(guān)事實(shí)上(A)、(C)、(D)可能無(wú)解.% 2x2 +x3 +% = 07. 齊次線性方程組2xxx3=0的基礎(chǔ)解系中有()線性無(wú)一2為 +4x2 _2x3 _2% =03% _ 3x

10、2 + x4 = 0關(guān)的解向量.1-211、1-212110C03-3-24-2-2000<3-301<000(A) 一個(gè)；(B)兩個(gè)；(C)三個(gè)；(D)四個(gè)12 ,n= 4,R(A)=2,因此基礎(chǔ)解系中有0丿兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，選(B).8. 設(shè)有線性方程組 Ax二b (1)和對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax = 0 (2)則必有(B) .(A)若(1)有無(wú)窮多解則(2)僅有零解；(B)若(1収有唯一解則(2)僅有零解（C）若有非零解則（1）有無(wú)窮多解；（D）若僅有零解則（1）有唯一解.9. 已知n元線性方程組Ax二b，系數(shù)陣的秩R（A）二n _ 2 ,2,3是方程組線性無(wú)關(guān)的解，則方

11、程組的通解為（D） .（ & c為任意常數(shù)）(A) Cdr - ： 2) C2(： 2 ： 1) ： 1 ；（B） G（： 1 - ： 3）- C2（： 2： 3）： 3；（C） G（： 2 - ： 3） C2（： 3： 2） ： 2 ；(D) GC 2 -： 3) C2(： 2 -： 1)： 3 .10.由R3的基23到基：1二11一23,2=122 ；,q 1-1、f 101 '<1-11、110、(A)0-11;(B) 1-13;(C) 112;(D)-111j 3-2>I-11-2>(o 1-b1J2-b(D).、計(jì)算題過(guò)渡矩陣為1.矩陣A二1-3-2

12、080533782-500,求矩陣A的秩，寫(xiě)出A的一個(gè)最高階非零子式.解:由（*）知R（A） =3 . A的1,2,4行1,2,5列所在的三階子式1-30-50= 16 = 0 .21837、q0320、2-307-5c012-173-25800-3-63-5J0320 ><0-2-420丿A =10320 'q0320'012-17c012-1000001600001<000014<00000(*)= (T,2,1, 3)T,2. 給定向量組:冷=(1,2, 3,1)T,：七=(3, T,2, -4)二：3：4 =(-2, 3,1, 5)T, ： 5

13、=(2,1, 5, 4).(1)求向量組：'1 , ：'2 , ：'3 , ：'4, >5的秩，并判斷該向量組的線性相關(guān)性;(2)求該向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示解:廣100<03-700-1400-27002-325(10<01(*)由(*)知 R(12,34 , ： 5)=3,向量組線性相關(guān).：1'2/'5是向量組的13-1-22、113-1-22、2-1231-0-747-3321150-747-1訂-4354>1。-7472G1 , >2 ,3 ,爲(wèi)，：5

14、)一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，且有： J二5冷：'2 ； >4 =-二2 3. 已知：1 =(1,0, 2, 3)t , ： 2 =(1,1,3, 5)T, ： 3 =(1, -1, a 2,1)T，：4 =(1,2,4, a 8)=(1,1, b 3, 5)T ,(1)當(dāng)a,b為何值時(shí)，1不能表示為1,一，3,4的線性組合;寫(xiě)出該表達(dá)式.解：設(shè) A = (:，d , r , ：當(dāng)a,b為何值時(shí)，：有：1, ：-2 3'4的唯一線性表達(dá)式,11111 、11111、01-121c01-12123a+24b+301a2b+1<351a+85<02-2a+52102-1001

15、-121a +1b+1(*)002<000a +12 ”(A,2 , "3 ,二4 ),(1)當(dāng) a 1, b = 0 時(shí)，R(A) = 2 = 3 二 R(A),方程組 Ax 二無(wú)解.故不能表示為冷，2 ,3,二4的線性組合. 當(dāng)a = 一1時(shí)，R( A) =4二R(A, ),方程組Ax =飛有唯一解.由Cramer法貝U可得：x = b , x2 二 a_b_1 , x3 二 ,x4 = 0 此時(shí) 有1,2, - 3- 4 的唯a+1a+1a + 1一線性表達(dá)式：a+1廣224.設(shè) A 二-2 1 3-5 2 8,求一個(gè)4 2矩陣B，使AB = 0，且R(B) = 2 .解：設(shè)亠=(2, -1,1,3幾：2 =(9, -5,2,8)T, A二«1TS丿,-1, '-2均為方程組Ax二0的解.2<91 322 81 L。-2583-2七一<0J C 11 )1 0 J88511J0 1 -_、 88丿1(*)-4118-21313-2 -45 11 ?Xi與(*)對(duì)應(yīng)的方程組為X21X3 -85 8X31X4 811，令X3<X