二次函數(shù)動點問題解答方法技巧(含例解答案)

1、函數(shù)解題思路方法總結： 求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標.需轉化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉化為頂 點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù) ax2 +bx+c=0中a,b,c的符號.或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置.要數(shù)形結合； 二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱.可利用這一性質.求和已知一點對稱的點 坐標.或已知與x軸的一個交點坐標.可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關的還有二次三項式.二次三項式ax2 +bx+c( a*。)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a>0時為例.揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)系

2、：拋物線與主軸有 兩個交點”二次三項式的值可正、 可棗、可負一元二次方程有兩個不相等實根A = 0*拋物線與入軸只有一個交f"二次三項苴的值為非負*一2次右程有兩個相等的費根二1 <0 +拋物線與上軸無二次三哽式的值恒為正-皿動點問題題型方法歸納總結動態(tài)幾何特點-問題背景是特殊圖形.考查問題也是特殊圖形.所以要把握好 一般與特殊的關系；分析過程中.特別要關注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的 性質、圖形的特殊位置。)動點問題一直是中考熱點.近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型

3、作簡單介紹.解題方法、關鍵給以點撥。二、拋物線上動點5、(湖北十堰市)如圖.已知拋物線y=ax2+bx+3 (aw0)與x軸交于點A(1.0)和點B ( 3.0).與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與 x軸交于點 M .問在對稱軸上是否存在點P.使CMP為等腰三角形？若存在.請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在.請說明理由.（3）如圖.若點E為第二象限拋物線上一動點.連接BE、CE求四邊形BOC面積的最大值 并求此時E點的坐標.圖0圖注意：第（2）問按等腰三角形頂點位置分類討論畫圖再由圖形性質求點P坐標-C為頂點時.以C為圓心CM為半徑畫弧.與對稱軸交點即為

4、所求點P.M為頂點時.以M為圓心M8半徑畫弧.與對稱軸交點即為所求點P.P為頂點時.線段MC勺垂直平分線與對稱軸交點即為所求點P第（3）問方法一.先寫出面積函數(shù)關系式.再求最大值（涉及二次函數(shù)最值）；方法 二.先求與BC平行且與拋物線相切點的坐標（涉及簡單二元二次方程組）.再求面積。070809動點個數(shù)兩個一個兩個問題背景特殊菱形兩邊上移動特殊直角梯形三邊 上移動拋物線中特殊直角梯形底 邊上移動考查難點探究相似三角形探究三角形面積函 數(shù)關系式探究等腰三角形考點菱形性質特殊角三角函數(shù)求直線、拋物線解析式相似三角形不等式求直線解析式四邊形面積的表 示動三角形面積函 數(shù)矩形性質求拋物線頂點坐標探究平

5、行四邊形探究動三角形面積是定值探究等腰三角形存在性特點菱形是含60°的特殊菱形； AOB是底角為30°的等腰三 角形。一個動點速度是參數(shù)字母。探究相似三角形時.按對應角 小同分類討論；先回圖.再探究。 通過相似三角形過度.轉化相 似比得出方程。利用a、t范圍.運用小等式求 出a、t的值。觀察圖形構造特 征適當割補表示面 積動點按到拐點時 間分段分類畫出矩形必備條 件的圖形探究其存 在性直角梯形是特殊的（一底45° ）點動帶動線動線動中的特殊性（兩個交點D E是定點；動線段 PF 長度是定值.PF=OA）通過相似三角形過度.轉 化相似比得出方程。探究等腰三角形時.先

6、畫 圖.再探究（按邊相等分類 討論）共同點：特殊四邊形為背景；點動帶線動得出動三角形；探究動三角形問題（相似、等腰三角形、面積函數(shù)關系式）求直線、拋物線解析式；探究存在性問題時.先畫出圖形.再根據(jù)圖形性質探究答案。二次函數(shù)的動態(tài)問題（動點）1.如圖.已知拋物線Ci與坐標軸的交點依次是 A（ Y,0） . B（2,0） . E（0,8）.(1)求拋物線Ci關于原點對稱的拋物線 C2的解析式；(2)設拋物線Ci的頂點為M .拋物線C2與X軸分別交于C, D兩點(點C在點D的左側).頂點為N .四邊形 MDNA的面積為S.若點A.點D同時以每秒1個單位 的速度沿水平方向分別向右、 向左運動；與此同時

7、.點M. 點N同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、 向 上運動.直到點A與點D重合為止.求出四邊形 MDNA 的面積S與運動時間t之間的關系式.并寫出自變量t的取 值范圍；(3)當t為何值時.四邊形MDNA的面積S有最大值.并 求出此最大值；(4)在運動過程中.四邊形MDNA能否形成矩形？若能. 求出此時t的值；若不能.請說明理由.解(1 )點A( 4 0 )點B(2,0).點E(0,8)關于原點的對稱點分別為D(4Q). C(2Q). F(0,-8).設拋物線C2的解析式是2y = ax bx c(a = 0).16a 4b c =0,則4a +2b +c = 0,c = -8. -

8、a - T,解得Jb =6,c = -8 .所以所求拋物線的解析式是 y = -x2 +6x-8 .(2)由(1)可計算得點 M(3, 1), N(31).過點N作NH -LAD.垂足為H .當運動到時刻 t 時.AD=2OD=82t. NH =1 + 2t.根據(jù)中心對稱的性質 OA = OD, OM=ON.所以四邊形 MDNA是平行四邊形.所以 S=2S.adn -所以.四邊形 MDNA 的面積 S = (82t)(1+2t) = 4t2+14t+8.因為運動至點 A與點D重合為止.據(jù)題意可知0 & t < 4 .所以.所求關系式是S = Mt2+14t+8. t的取值范圍是0

9、0t<4.(3) SuU%8!. (0&t<4).,44所以t =一時.S有最大值.44提示：也可用頂點坐標公式來求.(4)在運動過程中四邊形 MDNA能形成矩形.由(2)知四邊形 MDNA是平行四邊形.對角線是 AD, MN .所以當AD = MN時四邊形 MDNA是矩形.所以 OD =ON .所以 OD2 =ON2 =OH2 +NH 2.所以 t2 +4t2 -2=0.解之得 t1=J62, t2=J6 2 (舍).所以在運動過程中四邊形 MDNA可以形成矩形.此時t=J6-2.點評本題以二次函數(shù)為背景.結合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題.是一道較傳統(tǒng)的壓軸 題.能力要

10、求較高。2. (06福建龍巖卷)如圖.已知拋物線y = -9 x2 + bx + c與坐標軸交于 A B, C三點.43一點A的橫坐標為-1.過點C(0,3)的直線y = x + 3與x軸交于點Q .點P是線段BC上 4t的一個動點.PH _LOB于點H .若PB = 5t.且0<t <1 .(1)確定 b, c 的值：b=, c =;(2)寫出點B, Q, P的坐標(其中Q, P用含t的式子表示)B（,一）, Q（一,一）, P（一,一）;t的值.使 PQB為等腰三角形？若存在.求出所有t的值;(3)依點P的變化.是否存在若不存在.說明理由.9解(1) b=94c = 3(2)

11、B(4,0)Q（4t,0）P（4 -4t,3t）(3)存在t的值.有以下三種情況當PQ = PB時；PH _LOB.則 GH =HB 4 -4t -4t =4t.t3當PB =QB時得 4 -4t =5t.t=49當PQ =QB時.如圖解法一：過Q作QD _L BP .又PQ =QB則 BD =BP =5t 22又 ABD、s' BOCBD BQ BO - BC2t 4-4t4 . 557解法二：作RtOBC斜邊中線OEe-BC 5則 OE =BE, BE =二22此時 AOEBA PQBBE OB , BQ PB52 _ 44-4t 5t57解法三：在 RtA PHQ中有QH 2 +

12、 PH 2 = PQ2257t2 - 32t =032一人，,;t= , t=0 (舍去)57又：0 :： t ：1二當t =1或4或32時.zPQB為等腰三角形.3 957解法四：需要綜合運用。代數(shù)討論:Rt數(shù)學往往有兩個思考方向：代數(shù)和幾何.有時可以獨立思考.有時計算出 PQBE邊長度.均用t表示.再討論分析 PHQ中用勾股定理計算 PQ長度.而PB BQ長度都可以直接直接用t表示.進行分組討論即可計算。點評此題綜合性較強.涉及函數(shù)、相似性等代數(shù)、幾何知識 .1、2小題不難.第3小題是比 較常規(guī)的關于等腰三角形的分類討論 .需要注意的是在進行討論并且得出結論后應當檢驗 . 在本題中若求出的

13、t值與題目中的0<t<1矛盾.應舍去1 13.如圖1.已知直線y = -1x與拋物線y =x2+6交于A, B兩點.2 4(1)求A, B兩點的坐標；(2)求線段AB的垂直平分線的解析式；(3)如圖2.取與線段AB等長的一根橡皮筋.端點分別固定在 A B兩處.用鉛筆拉著這根 橡皮筋使筆尖 P在直線AB上方的拋物線上移動.動點P將與A B構成無數(shù)個三角形.這 些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在.求出最大面積.并指出此時P點的坐標；如果不存在.請簡要說明理由.解(1)解：依題意得-1x2 6. 曰x1 = 6解之得1一xy1 一 -3x2 = -4 % =2A(6,-3)

14、, B(-4,2)(2)作AB的垂直平分線交x軸.y軸于C, D兩點.交AB于M (如圖1)由(1)可知：OA=35 OB -2 .5.AB =5.5.OM =1AB -OB =立 22過B作BE，x軸.E為垂足由BEOs/XOCM .得：OC=OM_ oc =.OB OE4同理：od =5,二 C |5,0 j D '0, -5 I24.2設CD的解析式為y=kx+b(k#0)-rb.一，,5二AB的垂直平分線的解析式為：y =2x-5.2(3)若存在點P使4APB的面積最大.則點P在與直線AB平行且和拋物線只有一個交點1 一 的直線y =-x+m上.并設該直線與x軸.y軸交于G,

15、H兩點(如圖2).2y 二 一x m2y = -x2 64121八八x -x m -6 = 042拋物線與直線只有一個交點1 1 21.-4x-(m-6)=0.I 2 J42523m = P H,4. 4125在直線GH : y =25 GH =-5x +中.圖2240,25 ,4設。到GH的距離為d.1 ,1ghE = - og oh2 2 .1 25 5, 1 25 25 d3 42 245 .d = ,5 2'；AB / GH,二P到AB的距離等于。到GH的距離d .另解：過P做PC/ y軸.PC交AB于C.當PC最大日PBA在AB邊上的高h最大（h與PC夾-j? +62x-角固

16、定）.則$ pb媼大一問題轉化為求PC最大值.設P （x,4）,C （x,2）,從而可以表示PC長度.進行極值求取。最后.以PC為底邊.分別af算S*BC和S*AC即可。點評這是一道涉及二次函數(shù)、 方程、幾何知識的綜合壓軸題.有一定的能力要求.第3小題 是一個最值問題.解此類題時需數(shù)形結合方可較輕松的解決問題。4.如圖.正方形 ABCD的頂點 A, B的坐標分別為（010 ）,（8 4）.頂點C, D在第一象限.點P從點A出發(fā).沿正方形按逆時針方向勻速運動.同時.點Q從點E（4,0）出發(fā).沿x軸正方向以相同速度運動.當點P到達點C時.P, Q兩點同時停止運動.設運動的時間為t秒.（1）求正方形

17、ABCD的邊長.（2）當點P在AB邊上運動時.4OPQ的面積S （平方單位）與時間t （秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖所示）.求P, Q兩點的運動速度.（3）求（2）中面積S （平方單位）與時間t （秒）的函數(shù)關系式及面積 S取最大值時點P 的坐標.（4）若點P, Q保持（2）中的速度不變.則點P沿著AB邊運動時.ZOPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著 BC邊運動時./ OPQ的大小隨著時間t的增大而減小.當點 P沿b 4ac-b一，2a 4a著這兩邊運動時.使/ OPQ =90°的點P有 個.（拋物線y =ax2 +bx + c（a =0 ）的頂點坐標是51555解(

18、1)作BF _L y軸于F .7A(010 ), B(8,4).二 FB =8, FA =6.二 AB =10.(2)由圖可知.點P從點A運動到點B用了 10秒.又'；AB=1010-10=1 .二P, Q兩點的運動速度均為每秒 1個單位.(3)方法一：作 PG _L y 軸于 G .則 PG / BF .,GA 二”.即 GA，F(xiàn)A AB 610, GA =3t . 5, OG =10-3t. 5?OQ =4 t.113: S 二一MOQOG =- t +4 |10-t22.5即 S =t2 +19t +20 .105b2a19-5,=19.且 002-2)3I 10)19 V 03

19、10.19S有最大值.,當t =19時.33476331此時 GP = t = OG =10t =，點P的坐標為15 5（8分）1.63方法二：當 1=5時.06=7, OQ=9, S=OGOQ =二.22設所求函數(shù)關系式為 S = at2 + bt+20 .拋物線過點（10，28 ）,；5,63 100a 10b 20 =28,63 25a 5b 20 = 23a =-一，10h 19 b .53 2S 二-t1019+ t +20 .519-5 =里.且00 19 < 10.2a233,10,19 ,二當t =一時.S有最大值.3此時GP =76,1531OG =-5二點P的坐標為(

20、4) 2.點評本題主要考查函數(shù)性質的簡單運用和幾何知識.是近年來較為流行的試題 .解題的關鍵在于結合題目的要求動中取靜 .相信解決這種問題不會非常難。5.如圖.RtzXABC中./B=90，./CAB =30匚它的頂點A的坐標為(10,0).頂點B的坐標為(5,573). AB=10.點P從點A出發(fā).沿At Bt C的方向勻速運動.同時點Q從點D(0,2)出發(fā).沿y軸正方向以相同速度運動.當點P到達點C時.兩點同時停止運動.設運動的時間為t秒.(1)求/BAO的度數(shù).(2)當點P在AB上運動時.4OPQ的面積S (平方單位)與時間t (秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分.(如圖).求點P的運動

21、速度.(3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關系式及面積 S取最大值時點 P的坐標.(4)如果點P, Q保持(2)中的速度不變.那么點P沿AB邊運動時./OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時./OPQ的大小隨著時間t的增大而減小.當點P沿這兩邊運動時.使/OPQ =90的點P有幾個？請說明理由.解：(1) / BAO =60 .(2)點P的運動速度為2個單位/秒.(3) P(10-t,品)(00t&5)1,S (2t 2)(10 -t)12142,9 , ，一一二當t =9時.S有最大值為2311 9.3 此時P -, |.2 2(4)當點P沿這兩邊運動時./ OPQ

22、 =90的點P有2個.當點P與點A重合時./ OPQ <90c.當點P運動到與點B重合時.OQ的長是12單位長度.作/ OPM =90交y軸于點M .作PH .L y軸于點H .由OPHs/XOPM 得：OM =J20Z3=115.3所以 OQ >OM .從而/ OPQ > 90，.同理當點P在BC邊上運動時.可算得10、, 3OQ =12+=17.8 .3所以當點P在AB邊上運動時./ OPQ =90，的點P有1個.而構成直角時交y軸于%,353 353 =20.2 >17.8. 3 3所以ZOCQ <90，.從而/ OPQ =90的點P也有1個.所以當點P沿這

23、兩邊運動時./ OPQ =90的點P有2個.46.(本題滿分14分)如圖12 .直線y = 一一x+4與x軸交于點A.與y軸交于點C .已知二3次函數(shù)的圖象經過點 A、C和點B(1,0)(1)求該二次函數(shù)的關系式；(2)設該二次函數(shù)的圖象的頂點為M .求四邊形AOCM的面積；(3)有兩動點D、E同時從點O出發(fā).其中點D以每秒9個單位長度的速度沿折線 OAC2按O 一 A - C的路線運動.點E以每秒4個單位長度的速度沿折線 OCA按O 一 C 一 A的路線運動.當D、E兩點相遇時.它們都停止運動.設D、E同時從點O出發(fā)t秒 時.AODE的面積為S .請問D、E兩點在運動過程中.是否存在DE /

24、 OC .若存在.請求出此時t的值；若不 存在.請說明理由；請求出S關于t的函數(shù)關系式.并寫出自變量t的取值范圍；設So是中函數(shù)S的最大值.那么So =解：（1）令 x = 0.則 y = 4 ；令 y =0 則 x=3. . A(3,0). C(0,4)二次函數(shù)的圖象過點 C(0,4 ).可設二次函數(shù)的關系式為2y = ax bx 4又該函數(shù)圖象過點A(3,0). B(-1,0)0=9a+3b+4, 0 =a -b 4.，r48斛之.得 a = 一1 . b =.334 28所求二次函數(shù)的關系式為y = -4x28x 433(2)y = -4 x2 +8x +433_ 4216= x T33

25、頂點m的坐標為'ii ,3過點M作MF-J- x軸于F16SH邊形 AOCM - S AFMS弟形 FOCM/、16/r，6、. .c(31 ¥ 4父 4 + |父 1 10一 一 3 J四邊形AOCMJ面積為10（3）不存在DE OC若DE/ OC則點D E應分別在線段 OACA上.此時1 <t < 2 .在RtA AOC中.AC = 5 .設點 E的坐標為（xi ,yi回=竺二4. . xi =12t12. DE / OC.355.12t -12 3+.,8t t5238 t = >2.不滿足 1 <t <2 .3不存在 DE / OC .根

26、據(jù)題意得D.E兩點相遇的時間為3m5 =24 （秒）3 4112現(xiàn)分情況討論如下：i）當 0<t&1 時.S=M9tL4t =3t2; 2 2ii）當1 <t0 2時.設點E的坐標為（x2, y2 ）y2 = 5 - 4t -44 一 5y236 -16t51 336 -16tiii）當 2 < t <524 , 今時.設點1112t25E的坐標為36 -16t設點D的坐標為X4 , y4一 y456t -12S = SA AOE - SA AOD=1 3 36 -16t1 326t -12).類似ii可得y333-t5725S0 =243807.關于x的二次函

27、數(shù)y = -x2 +(k2 4)x +2k 2以y軸為對稱軸.且與y軸的交點在x軸函數(shù)的草圖如圖所示.(只要與坐標軸的三個交點的位置及圖象 大致形狀正確即可)上方.(1)求此拋物線的解析式.并在下面的直角坐標系中畫出函數(shù)的草圖；(2)設A是y軸右側拋物線上的一個動點.過點A作AB垂直于x軸于點B .再過點A作x軸的平行線交拋物線于點D .過點D作DC垂直于x軸于點C .得到矩形 ABCD .設矩形ABCD的周長為l .點A的橫坐標為x.試求l關于x的函數(shù)關系式；(3)當點A在y軸右側的拋物線上運動時.矩形ABCD能否成為正方形.若能.請求出此時正方形的周長；若不能.請說明理由. o'

28、b 4ac-b2. 一 .參考資料：拋物線 y=ax +bx+c(a # 0)的頂點坐標是 -一, .對稱軸是直線2a 4a bx = 一一 .2a解：(1)據(jù)題意得：k2 -4 =0 ., k = 2當 k =2 時.2k 2=2 A0.當 k = 2 時.2k2 = -6<0.又拋物線與y軸的交點在x軸上方.二k = 2.2_二拋物線的解析式為：y = x +2 .(2)解：令一x2 +2=0/Hx=±J2.不 0 ；x2時.AD1 =2x. AB1 - -x2 2 .: l =2(AiBi +A1D1) = -2x2 +4x+4 .當 x >V2時.A2D2 =2x

29、. _22A2B2 = -(-x +2) =x -2._ _ _ _ 一_ _2.l =2(A2D2+A2B2)=2x +4x4. l關于x的函數(shù)關系是：當 0 <x cJ2時.l = 2x2 +4x+4 ；當 x >V2時.l =2x2 +4x4 .(3)解法一：當 0<xcJ2時.令 AB1=AD1.一 2得 x +2x-2=0.解得 x = 1J3（舍）.或x = 1+J3.將 x = 1 +否代入 l = -2x2 +4x +4.得 l =8。8.當 x a J2時.令 A2B2 =A2D2.得 x2 -2x -2=0.解得 x=i V3 （舍）.或x=i +73.將

30、 x=1 + /代入 l =2x2+4x4 .得 l =8出+8.綜上.矩形ABCD能成為正方形.且當x = J3-1時正方形的周長為 8J3-8；當x = J3+1時.正方形的周長為8J3+8.解法二：當0 cx <夜時.同“解法一”可得 x = 1+J3.二正方形的周長l =4Ad =8x=8j38 .當x > J2時.同“解法一”可得 x =1 + J3 .二正方形的周長l =4A2D2 =8x =83+8 .綜上.矩形ABCD能成為正方形.且當x = J3-1時正方形的周長為 8J3-8；當x =、/3十1時.正方形的周長為8J3+8.解法三：點A在y軸右側的拋物線上.:x

31、 >0.且點A的坐標為（x, x2 +2）.令 AB =AD .則x2 +2 =2x.x2 +2 = 2x .或x2 + 2 = -2x由解得x = 1 J3 （舍）.或x = 1 + J3；由解得x=1-石（舍）.或x = 1 + T3.又 l =8x.二當 x = -1 +V3Hl =86一8;當x=1+近時l =8擲+8.綜上.矩形ABCD能成為正方形.且當x = J31時正方形的周長為 8J38；當x = J3+1時.正方形的周長為8串十8 .8.已知拋物線y= ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點.與y軸交于點C其中點B在x軸的正半 軸上.點C在y軸的正半軸上.線段OB OC勺

32、長(OB<OC是方程x2- 10x+ 16 = 0的兩個根. 且拋物線的對稱軸是直線 x=-2.(1)求A、R C三點的坐標；(2)求此拋物線的表達式；(3)連接AC BC若點E是線段AB上的一個動點(與點 A、點B不重合).過點E作 EF/ AC BC于點F.連接CE設AE的長為m CE用勺面積為S.求S與 強間的函數(shù)關系式. 并寫出自變量m的取值范圍；(4)在(3)的基礎上試說明 S是否存在最大值.若存在.請求出S的最大值.并求出此 時點E的坐標.判斷此時 BCE勺形狀；若不存在.請說明理由.8648 6 4 -2 Q 24 x-24 第26題圖解：(1)解方程 x210x+16=

33、0 得 x1= 2. x2= 8.點B在x軸的正半軸上.點C在y軸的正半軸上.且0匹OC點B的坐標為(2.0).點C的坐標為(0.8)又,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線 x = 2，由拋物線的對稱性可得點A的坐標為(一6.0)(2) ,點C (0.8)在拋物線 y=ax2+bx+c的圖象上，c=8.將A( 6.0)、B (2.0)代入表達式.得第26題圖（批卷教師用圖）0 = 36a6b+80 = 4a+2b+82a=一 3解得所求拋物線的表達式為 y = -2x11 2=2 (8m) (88+m)=2 (8m) m= -m+ 4m自變量m的取值范圍是0vm< 8(4)存在.理

34、由：: S=1m+ 4m= - - (m- 4) 2+ 8且一v0. 22當m= 4時.S有最大值.S最大值=8.,m= 4.，點E的坐標為(2.0 ). BC曰等腰三角形.-8x+8 33(3)依題意.AE= m 則 BE= 8-m. OA= 6. OC= 8. . AC= 10EF/ AC /BEQ BACEF BE a EF 8-m ACT AB 即i0=-8-EF=405m440-5m-=8- m4一 _ _ _ 一_ 4過點 F 作 FGL AB 垂足為 G 則 sin / FEG= sin / CAB=-5FG 44一=一FG= 一 ,EF 55，一 、一 1（8-m> x8

35、-2(8 m)( 8 im)9. (14分)如圖：拋物線經過 A (-3.0 )、B (0.4)、C (4.0)三點.(1)求拋物線的解析式.(2)已知AD = AB (D在線段AC上).有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位 長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點 B沿線段BC移動.經過t秒的移 動.線段PQ被BD垂直平分.求t的值；(3)在(2)的情況下.拋物線的對稱軸上是否存在一點M.使MQ+MC勺值最小？若存在.請求出點M的坐標；若不存在.請說明理由。2 b(汪：拋物線 y=ax +bx+c的對稱軸為x =)2a(1)解法一：設拋物線的解析式為y = a (x +3 )(x

36、- 4)因為B (0.4 )在拋物線上.所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/311 2 1所以拋物線斛析式為 y (x，3)(x-4) x x 4333解得a解法二：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c (a#0).9a -3b 4=0依題意得：c=4且«16a 4b 4 = 0所以 所求的拋物線的解析式為y =x2x 433(2)連接 DQ在 RtAO邪.AB = JAO2 +BO2 =43 +42 =5所以 AD=AB= 5.AC=AD+CD=3 + 4 = 7.CD = AC - AD =7 - 5 = 2因為BD垂直平分 PQ.所以PD=Q

37、D.PQ_ BD.所以/ PDBh QDB 因為 AD=AB所以/ ABD=/ ADB./ABDh QDB所以 DO/ AB 所以/ CQDW CBA / CDQ=CAB.所以 CDQ ACABDQ CDAB CA即四=2, dq=10-10 252525所以 AP=AD - DP = AD - DQ=5 - - = . t =一+1 =一7777一 一 25所以t的值是7(3)答對稱軸上存在一點 M.使MQ+MCJ值最小理由：因為拋物線的對稱軸為x = -二=:2a 21所以A (- 3.0 ) .C (4.0)兩點關于直線 x=對稱21連接AQ父直線x =于點M.則MQ+MCJ值最小2過點

38、Q作Q已x軸.于E.所以/ QEDh BOA=900DQ / AB. / BAO=Z QDE. DQE ABO10QEDQDE口 uQE7jDE= 即=-=BOABAO453所以 QE=8.DE=9 .所以 OE = OD + DE=2+6=20 .所以 Q( -20 .-)777 777設直線AQ的解析式為y=kx+m (k¥0)20.8k m = 一則77由此得8 k =4124m 二 一41所以直線AQ的解析式為824 x + 聯(lián)立41411x 二一28y 二-x4124+41- 3k m = 01x = 一由此得2所以Mt1,28)8242 41y 二x41411 28則：在

39、對稱軸上存在點 M(- 絲).使MQ+M的值最小。2 4110.如圖9.在平面直角坐標系中.二次函數(shù)y =ax2+bx+c(a > 0)的圖象的頂點為D點.與y軸交于C點.與x軸交于A B兩點.A點在原點的左側.B點的坐標為(3.0 ).1OB= OC .tan / ACO= 1 .3(1)求這個二次函數(shù)的表達式.(2)經過C D兩點的直線.與x軸交于點E.在該拋物線上是否存在這樣的點 F.使以點 A、C E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在 .請求出點F的坐標；若不存在.請說 明理由.(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于 M N兩點.且以MN為直徑的圓與x軸相切. 求該圓半徑的長

40、度.(4)如圖10.若點G (2.y)是該拋物線上一點.點P是直線AG下方的拋物線上一動點. 當點P運動到什么位置時.APG勺面積最大？求出此時 P點的坐標和 APG勺最大面積.3分解得：b=2所以這個二次函數(shù)的表達式為:y = x2 - 2x - 3c = -3方法二：由已知得：C (0.-3) .A (1.0)設該表達式為：y = a(x 1)(x -3)將C點的坐標代入得：a=1所以這個二次函數(shù)的表達式為：y -x2 -2x -3(注：表達式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分)(2)方法一：存在.F點的坐標為(2. 3)理由：易得D (1.4).所以直線CD的解析式為：y=x3 ，E

41、點的坐標為(一3.0)由A C、E、F四點的坐標得：AE= C已2.AE / CF以A、G E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，存在點F.坐標為(2. 3) 5分方法二：易得D (1.4).所以直線CD的解析式為：y =-X-3，E點的坐標為(一3.0)以A、G E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，F(xiàn)點的坐標為(2. 3)或(一2. 3)或(一4.3 )代入拋物線的表達式檢驗.只有(2. 3)符合，存在點F.坐標為(2. 3) 5分(3)如圖.當直線 MN& x軸上方時.設圓的半徑為 R (R>0).則N (R+1.R).代入拋物線的表達式.解得R = 1 +<17 6分2當直

42、線 MNB x軸下方時.設圓的半徑為r (r>0).則 N (r+1. r).r - 1 - ./17代入拋物線的表達式.解得r =17分21 .17 , -1.17一圓的半徑為或.7分2 2(4)過點P作y軸的平行線與 AG交于點Q.易得 G (2.-3).直線 AG為 y = -X -1 . 8分設 P (x. X11.(本小題 12 分)解：(1)解方程 x - 10x + 16 = 0 得 Xi=2.X2=8點B在x軸的正半軸上.點C在y軸的正半軸上.且O由OC點B的坐標為(2.0).點C的坐標為(0.8)又,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線 x = 2，由拋物線的對稱性可得點A的坐標為(一6.0) 2x3).則 Q (x. X1) .PQ=x2