第一章行列式的基本計(jì)算和線性代數(shù)的基本概念

1、第一章 行列式 §1. 1 二階、三階行列式 一、二元線性方程組與二階行列式 用消元法解二元線性方程組, 方程(2)´a11-方程(1)´a21得 (a11a22-a12a21) x2= a11b2-b1a21, 于是 ; 類似地有 (a11a22-a12a21) x1= b1a22-a12b2, .我們把a(bǔ)11a22-a12a21稱為二階行列式, 并記為, 即 . 在二階行列式中, 橫排稱為行, 豎排稱為列. a ij稱為行列式的元素, 它是行列式中第i行第j列的元素. 從左上角元素到右下角元素的實(shí)聯(lián)線稱為主對角線, 從右上角元素到左下角元素的虛聯(lián)線稱為副對角線

2、. 于是二階行列式是主對角線上兩元素之積減去的副對角線上二元素之積所得的差, 這一計(jì)算法則稱為對角線法則. 按對角線法則可得 , . 若記, , , 則線性方程組的解可表為 , . 例1 求解二元線性方程組 解 由于 , , , 因此 , . 二 、三階行列式 用消元法解三元線性方程組, 可得 x2=× × ×, x3=× × ×. 我們把表達(dá)式 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31稱為三階行列式, 記為 , 即 =a11a22a33+a12a23a31

3、+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31. 對角線法則: 按對角線法則, 有 =b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32 -b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3. 若記 , , , , 則三元線性方程組的解為 , , . 例2 計(jì)算三階行列式. 解 按對角線法則, 有 D=1´2´(-2)+2´1´(-3)+(-4)´(-2)´4 -1´1´4-2´(-2)´(-2)-(-4)´2´(-3) =-4-6+3

4、2-4-8-24=-14. 例3 求解方程. 解 方程左端的三階行列式 D=3x2+4x+18-9x-2x2-12=x2-5x+6, 由x2-5x+6=0解得x=2或x=3. 對角線法則只適用于二階與三階行列式, 為研究四階及更高階行列式, 下面先介紹有關(guān)全排列的知識, 然后引出n階行列式的概念. §1. 2 全排列及其逆序數(shù) 引例 用1、2、3三個(gè)數(shù)字, 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解 百位上可以從1、2、3中任意選取一個(gè), 共有3種選法; 百位數(shù)字確定后, 十位上的數(shù)字在剩余的兩個(gè)數(shù)中選取, 共有兩種選法; 百位和十位上的數(shù)字都確定后, 個(gè)位上的數(shù)字只能取剩下的一個(gè)數(shù)字

5、, 即只有一種選法. 因此總共有3´2´1=6種選法, 即可以組成6個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù). 這6個(gè)三位數(shù)是 123, 231, 312, 132, 213, 321. 我們把n個(gè)不同的對象(稱為元素)排成一列, 叫做這n個(gè)元素的全排列(也簡稱排列). n個(gè)不同元素的所有排列的總數(shù), 通常用Pn表示. Pn的計(jì)算公式: Pn=n×(n-1)×(n-2)× × × 3×2×1=n!. 比如由a, b, c組成的所有排列為 a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a .

6、abb是排列嗎? 以下我們只討論n個(gè)自然數(shù)的全排列. 在n個(gè)自然數(shù)的全排列中排列123× × ×n稱為標(biāo)準(zhǔn)排列. 在一個(gè)排列中, 如果某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同, 就說有1個(gè)逆序. 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù). 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列, 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列. 逆序數(shù)的計(jì)算法: 在排列p1p2× × ×pn中, 如果pi的前面有ti個(gè)大于pi的數(shù), 就說元素pi的逆序數(shù)是ti. 全體元素的逆序數(shù)之和 t=t1+t2+ × × × +tn即是這個(gè)排列的逆序數(shù).

7、例4 求排列32514的逆序數(shù). 解 在排列32514中, t1=0, t2=1, t3=0, t4=3, t5=1, 3位于首位, 其逆序數(shù)為0; 2的前面比2大的數(shù)有一個(gè)(3), 故其逆序數(shù)為1; 5的前面沒有比5大的數(shù), 故其逆序數(shù)為0; 1的前面比1大的數(shù)有三個(gè)(3、2、5), 故其逆序數(shù)為3; 4的前面比4大的數(shù)有一個(gè)(5), 故其逆序數(shù)為1; 于是排列32514的逆序數(shù)為 t=0+1+0+3+1=5. 標(biāo)準(zhǔn)排列12345的逆序數(shù)是多少?§1. 3 n階行列式的定義 為推廣行列式概念, 必須找出二階、三階行列式的展開式的共同特征. 觀察展開式 =a11a22a33+a12a

8、23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31. 可以得到如下規(guī)律: (1)三階行列式右邊的每一項(xiàng)都恰是三個(gè)元素的乘積, 這三個(gè)元素位于不同的行、不同的列. 行列式右邊任一項(xiàng)除正負(fù)號外可以寫成 , 這里第一個(gè)下標(biāo)(行標(biāo))排列成標(biāo)準(zhǔn)次序123, 而第二個(gè)下標(biāo)(列標(biāo))排成其中p1p2p3它是1、2、3三個(gè)數(shù)的某個(gè)排列. 這樣的排列共有6種, 對應(yīng)行列式右邊共含6項(xiàng). (2)各項(xiàng)的正負(fù)號與列標(biāo)的排列對照: 帶正號的三項(xiàng)列標(biāo)排列是: 123, 231, 312; 帶負(fù)號的三項(xiàng)列標(biāo)排列是: 132, 213, 321. 經(jīng)計(jì)算可知前三個(gè)排列都是偶排列, 而后

9、三個(gè)排列都是奇排列. 因此各項(xiàng)所帶的正負(fù)號可以表示為(-1)t, 其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù). 總之, 三階行列式可以寫成 , 其中t為排列p1p2p3的逆序數(shù), 表示對1、2、3三個(gè)數(shù)的所有排列p1p2p3取和. 仿此, 可以把行列式推廣到一般情形. 定義 由n2個(gè)數(shù)aij (i, j=1, 2, × × ×, n)構(gòu)成的代數(shù)和 稱為n階行列式, 記為 , 簡記為det(aij), 其中p1p2 × × × pn為自然數(shù)1, 2, × × × n的一個(gè)排列, t為這個(gè)排列的逆序數(shù), 表示對所有排列p1p2

10、 × × × pn取和. 在n階行列式D中, 數(shù)aij為行列式D的(i, j)元. 特別規(guī)定一階行列式|a|的值就是a. 注: n階行列式共有n!項(xiàng), 且冠以正號的項(xiàng)和冠以負(fù)號的項(xiàng)各占一半. 在行列式中, 的行標(biāo)的排列為123 × × × n, 表明n個(gè)元素取自不同的行, 列標(biāo)的排列為p1p2 × × × pn, 表明n個(gè)元素取自不同的列, 所以表示取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積. 如果p1p2 × × × pn為奇排列, 則面冠以負(fù)號; 如果p1p2 × 

11、15; × pn為偶排列, 則前面冠以正號. 例5 證明n階行列式 ; . 解 第一式左端稱為對角行列式, 其結(jié)果是顯然的, 下面只證第二式. 若記li=a i, n-i+1 , 則依行列式定義 , =(-1)t a1na2, n-1 × × × an1=(-1)tl1l2 × × × ln, 其中t為排列n×(n-1)× × ×21的逆序數(shù), 故 t=0+1+2+ × × × +(n-1) . 主對角線以下(上)的元素都為0的行列式叫做上(下)三角行列式

12、, 它的值與對角行列式一樣. 例6 證明下三角形行列式 . 解 我們要求出展開式中所有可能不為零的乘積項(xiàng). 要使取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積不一定為零, 第一行只能取a11, 第二行只能取a22, 第三行只能取a33, × × × , 第n行只能取ann. 這樣的乘積項(xiàng)只有一個(gè), 這就是a11a22a33 × × × ann. 因?yàn)樗牧袠?biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列, 其逆序數(shù)為0, 所以在它前面帶有正號. 因此 . 補(bǔ)充例題: 例1 在6階行列式det(aij)中, 元素乘積a15a23a32a44a51a66前應(yīng)取什么符號？ 解 因?yàn)榱袠?biāo)

13、排列532416的逆序數(shù)為t=0+1+2+1+4+0=8, 為偶排列, 所以在該乘積項(xiàng)的前面應(yīng)取正號. 例2 用行列式定義計(jì)算行列式. 解 為使取自不同行不同列的元素的乘積不為0, 第1列只能取a21, 第3列只能取a43, 第4列只能取a14, 第2列只能取a32, 所以四個(gè)元素的乘積為a21a43a14a32=a14a21a32a43,其列標(biāo)排列為4123, 它的逆序數(shù)為3, 是奇排列, 所以D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1.§1. 4 對換 在排列中, 將任意兩個(gè)元素對調(diào), 其余的元素不動, 就得到另一個(gè)排列, 這種對排列的變換方法稱為對

14、換. 將相鄰兩個(gè)元素對換, 叫做相鄰對換. 定理1 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換, 排列改變奇偶性. 定理1 任一排列經(jīng)過一次對換后必改變其奇偶性. 證 先證明相鄰對換的情形. 設(shè)排列為a1 × × × al abb1 × × × bm. 對換a與b之后得到排列a1 × × × al bab1 × × × bm.顯然, 元素a1, × × × , al和b1, × × × bm的逆序列數(shù)經(jīng)過對換并不改變, 而a, b

15、兩個(gè)元素的逆序數(shù)改變?yōu)? 當(dāng)a<b時(shí), 經(jīng)過對換后, a的逆序數(shù)增加1, 而b的逆序數(shù)不變; 當(dāng)a>b時(shí), 經(jīng)過對換后, a的逆序數(shù)不變, 而b的逆序數(shù)減少1, 所以排列a1 × × × al abb1 × × × bm與排列a1 × × × al bab1 × × × bm的奇偶性不同. 再證明一般對換情形. 設(shè)排列為a1 × × × al ab1 × × × bmbc1 × × &

16、#215; cn. 把它作m次相鄰對換, 變成a1 × × × al abb1 × × × bmc1 × × × cn, 再作m+1次相鄰對換, 變成a1 × × × al bb1 × × × bmac1 × × × cn. 總之, 經(jīng)2m+1次相鄰對換, 排列a1 × × × al ab1 × × × bmbc1 × × ×

17、cn變成排列a1 × × × al bb1 × × × bmac1 × × × cn, 所以這兩個(gè)排稱的奇偶性相反. 推論 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù), 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù). 證明 由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù), 而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列, 因此知推論成立. 利用定理1, 下面來討論行列式定義的另一種表示法. 對于行列式的任一項(xiàng),其中1 × × × i × × × j × × × n

18、是標(biāo)準(zhǔn)排列, t為排列p1 × × × pi × × × pj × × × pn的逆序列數(shù), 則有其中r0是行標(biāo)排列的逆序數(shù), 其值為0對換元素與r1和t1分別是對換后行標(biāo)和列標(biāo)排列的逆序數(shù)× × × 繼續(xù)對換, 使列標(biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列其中r是當(dāng)列標(biāo)排列成為標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí)行標(biāo)排列的逆序數(shù), t0是列標(biāo)排列的逆序數(shù), 其值為0. 因此, 行列式中任一項(xiàng)可寫成的形式. 定理2 n階行列式也可定義為,其中t為行標(biāo)排列p1p2 × × × pn的逆序數(shù). 證

19、按行列式定義有,記. 由上面討論知: 對于D中任一項(xiàng), 總有且僅有D1中的某一項(xiàng)與之對應(yīng)并且相等; 反之, 對于D1中的任一項(xiàng), 也總有且僅有D中的某一項(xiàng)與之對應(yīng)并相等, 于是D與D1中的項(xiàng)可以一一對應(yīng)并相等, 從而D=D1. §1.5 行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式: 記, ,行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式. 性質(zhì)1 行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT相等. 證 記D=det(aij)的轉(zhuǎn)置行列式, 則bij=aji (i, j=1, 2, × × ×, n). 按定義. 而由定理2, 有, 故DT=D . 由此性質(zhì)可知, 行列式中的行與列具有同等的地位, 行列

20、式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立, 反之亦然. 性質(zhì)2 互換行列式的兩行, 行列式變號. 證 設(shè)行列式是由行列式D=det(aij)對換i, j兩行得到的, 即bkp=akp(k¹i, j), bip=ajp, bjp=aip(p=1, 2, × × ×, n). 于是 , 其中1 × × × i × × × j× × × n為標(biāo)準(zhǔn)排列, t為排列p1 × × × pi × × ×pj × &

21、#215; ×pn的逆序數(shù). 設(shè)排列p1 × × × pj × × ×pi × × ×pn的逆序數(shù)為t1 , 則, 故. 以r i表示行列式的第i行, 以c i表示第i列. 交換i, j兩行記作ri«rj, 交換i, j兩列記作ci«cj. 推論1 如果行列式有兩行(列)完全相同, 則此行列式等于零. 證 把這兩行互換, 有D=-D, 故D=0. 性質(zhì)3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k, 等于用數(shù)k乘此行列式. 即. 第i行(或列)乘以k, 記作ri´

22、;k(或ci´k). 推論 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面. 第i行(或列)提出公因子k, 記作ri¸k(或ci¸k). 性質(zhì)4 行列式中如果有兩行(列)元素成比例, 則行列式等于零. 性質(zhì)5 若行列式的某一行(列)的元素都是兩個(gè)數(shù)之和, 例如第i行的元素都是兩數(shù)之和: ,則D等于下列兩個(gè)行列式之和: . . 性質(zhì)6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去, 行列式不變. 即. 以數(shù)k乘第j行加到第i行上, 記作ri+krj. 例7 計(jì)算. 解 (下一步: c1«c2) (下一步: r2

23、-r1, r4+5r1) (下一步: r2«r3) (下一步: r3+4r2, r4-8r2) (下一步: r3+r4) (下一步: r4-5r3) . 例8 計(jì)算. 解 (下一步: r1+r2+r3+r4) (下一步: r1¸6) (下一步: r2-r1, r3-r1, r4-r1 ) . 例9 計(jì)算. 解 (下一步: r4-r3, r3-r2, r2-r1) (下一步: r4-r3, r3-r2) (下一步: r4-r3) . 例10 證明D=D1×D2, 其中, , . 證 對D1作運(yùn)算ri+krj, 把D1化為下三角形行列式, 設(shè)為 ; 對D2作運(yùn)算ci+

24、kcj, 把D2化為下三角形行列式, 設(shè)為 . 于是, 對D的前k行作運(yùn)算ri+krj, 再對后n列作運(yùn)算ci+kcj, 把D化為下三角形行列式 , 故D=p11× × × pkk q11× × × qnn=D1×D2. 例11 計(jì)算2n階行列式 , 其中未寫出的元素為0. 解 把D2n中的第2n行依次與2n-1行、× × ×、第2行對調(diào)(作2n-2次相鄰對換), 再把第2n列依次與2n-1列、× × ×、第2列對調(diào), 得 , 根據(jù)例10的結(jié)果, 有 D2n=D2&

25、#215;D2(n-1)=(ad-bc)D2(n-1). 以此作遞推公式, 即得 D2n=(ad-bc)2D2(n-2)= × × × =(ad-bc)n-1D2=(ad-bc)n. 例11 計(jì)算2n階行列式 , 其中未寫出的元素為0. 解 把D2n中的第2n行依次與2n-1行、× × ×、第2行對調(diào)(作2n-2次相鄰對換), 再把第2n列依次與2n-1列、× × ×、第2列對調(diào), 得 , 根據(jù)例10的結(jié)果, 有 D2n=D2×D2(n-1)=(ad-bc)D2(n-1). 以此作遞推公式, 即

26、得 D2n=(ad-bc)2D2(n-2)= × × × =(ad-bc)n-1D2=(ad-bc)n. §1.6 行列式按行(列)展開 在n 階行列式D=det(aij)中, 把元素aij所在的第i行和第j列劃去后, 剩下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式, 記作Mij; 記Aij=(-1)i+ jMij,Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式. 例如行列式 , 中元素a23的余子式為 , 元素a23的代數(shù)余子式為 (-1)2+3M23=-M 23. 引理 在n階行列式D中, 如果第i行元素除aij外都為零, 那么這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式Ai

27、j的乘積, 即D=aij×Aij. 簡要證明: . 定理3 行列式等于它的任一行(列)各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和, 即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ × × × +ainAin (i=1, 2, × × × , n),或 D=a1jA1j+a2jA2j+ × × × +anj Anj (j=1, 2, × × × , n). 簡要證明 因?yàn)?, 根據(jù)引理, 即得 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ × × × +ainAin

28、(i=1, 2, × × × , n). 類似地, 可證 D=a1jA1j+a2jA2j+ × × × +anj Anj (j=1, 2, × × × , n). 這個(gè)定理叫做行列式按行(列)展開法則. 例1 計(jì)算行列式 . 解 將D按第三列展開,應(yīng)有 D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43,其中a13=3, a23=1, a33=-1, a43=0, , , , ,所以 D=3´19+1´(-63)+(-1)´18+0´(-10)=-24. 例

29、2 計(jì)算n階范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, × × ×) (按第一列展開) =(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)Dn-1 =(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)(a3-a2)× × ×(an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1)

30、15; × ×(an-a1)(a3-a2)× × ×(an-a2) × × ×(an-an-1) . 例2 計(jì)算n階范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, × × ×) (按第一列展開) =(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)D n-1 =(a2-a

31、1)(a3-a1)× × ×(an-a1)(a3-a2)× × ×(an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1)× × ×(an-a1)(a3-a2)× × ×(an-a2) × × ×(an-an-1) . 推論 行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即 ai1Aj1+ai2Aj2+ × × × +ainAjn =0 (i¹j), 或 a1iA1j+a2iA

32、2j+ × × × +aniAnj=0 (i¹j). 證明 因?yàn)?, 所以 aj1Aj1+aj2Aj2+ × × × +ajnAjn=(aj1+ai1)Aj1+(aj2+ai2)Aj2+ × × × +(ajn+ain)Ajn , 移項(xiàng)化簡得 ai1Aj1+ ai2Aj2+ × × × + ainAjn=0. 綜合結(jié)果: , 或. 相關(guān)結(jié)果: , . , . 例3 設(shè) , D的(i, j)元的余子式和代數(shù)余子式依次記作Mij和Aij, 求 A11+A12+A13+A

33、14及M11+M21+M31+M41. 解 (下一步: r4+r3, r3-r1) (下一步: 按第三列展開) (下一步: c2+c1) (下一步: 按第三行展開) . M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41 (下一步: r4+r3) (下一步: 按第三行展開) (下一步: r1-2r3) . 補(bǔ)充題 例1 分別按第一行與第二列展開行列式 . 解 按第一行展開: D=1´(-1)1+1+0´(-1)1+2+(-2)´(-1)1+3 =1´(-8)+0+(-2)´5=-18. 按第二列展開: D=0´(-1)1+

34、2+1´(-1)2+2+3´(-1)3+2 =0+1´(-3)+3´(-1)´5=-3-15=-18. 例2 計(jì)算 =(-1)(-1)3+2= =1´(-1)2+2=-6-18=-24. 例3 計(jì)算n階行列式 . 解 按第一行展開, 得 . §1.7 克拉默法則 含有n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組的一般形式為 , ()由它的系數(shù)組成的n階行列式 稱為n元線性方程組的系數(shù)行列式. 克拉默法則 如果線性方程組()的系數(shù)行列式不等于零, 即, 那么, 方程組()有唯一解 , , × × × , ,其中

35、D j (j=1, 2, × × × , n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素a1j, a2j, × × × , anj對應(yīng)地?fù)Q為方程組的常數(shù)項(xiàng)b1, b2, × × × , bn后所得到的n階行列式, 即. 證明 以行列式D的第j(j=1, 2, × × × , n)列的代數(shù)余子式A 1j, A 2j, × × × , A nj分別乘以方程組的第1, 第2, × × × , 第n個(gè)方程, 然后相加, 得 (a11A1

36、j+a21A2j+ × × × +an1Anj)x1+(a12A1j+a22A2j+ × × × +an2Anj)x2+ × × × +(a1jA1j+a2jA2j+ × × × +anjAnj)xj+ × × × +(a1nA1j+a2nA2j+ × × × +annAnj)xn =b1A1j+ b2A2j+ × × × + bnAnj,xj的系數(shù)等于D, xs(s¹j)的系數(shù)等于零. 等號右端等于D的第j列元素以常數(shù)項(xiàng)b1, b2, × × × , bn替換后的行列式Dj, 即 Dxj =Dj (j=1