數(shù)學(xué)分析試題庫(kù)證明題

1、數(shù)學(xué)分析題庫(kù)(1-22 章)五.證明題1 .設(shè)A, B為R中的非空數(shù)集，且滿足下述條件：(1)對(duì)任何a A, b B有a b ；(2)對(duì)任何 。，存在x A, y B ,使得Y證明：sup A inf B.2 .設(shè)A, B是非空數(shù)集，記 S A(1)supS max sup A, supBinf S min inf A,inf3.按N定義證明lim n5n2 n3n2_24.如何用e -N方法給出lim anna的正面陳述？并驗(yàn)證I n2|和| ( 1)n|是發(fā)散數(shù)列.5.用方法驗(yàn)證:x2 x 2lim2x 1 x(x 3x2)3.6. 用M方法驗(yàn)證:. x lim x x2 1 x7 .設(shè)

2、lim (x) a,在 x。某鄰域 U (x。； J 內(nèi)(x) x x。a ,又 lim f(t)A.證明網(wǎng) f ( (x)A.8 .設(shè)f(x)在點(diǎn)兒的鄰域內(nèi)有定義.試證：若對(duì)任何滿足下述條件的數(shù)列(1) Xn U (x。)，Xn(2) 0xn i x。x。，都有 lim f(xn) A, n則 lim f (x) A.x x。9 . 證明函數(shù)x3, x為有理數(shù)， f (x)0,x為無理數(shù)在x。0處連續(xù)，但是在x。處不連續(xù).10 .設(shè)f(x)在(0, 1)內(nèi)有定義，且函數(shù) 3'"*)與3 f(x)在(0, 1)內(nèi)是遞增的，試證 f(x) 在(0, 1)內(nèi)連續(xù).11 .試證函數(shù)

3、y sinx2,在0,)上是不一致連續(xù)的.12 . 設(shè)函數(shù)f (x)在(a,b )內(nèi)連續(xù)，且lim f(x) = lim f (x) =0,證明f (x)在(a,b )內(nèi)有最 x ax b大值或最小值.13 .證明：若在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)有界函數(shù)f(x)是連續(xù)的，則此函數(shù)在(a,b)內(nèi)是 一致連續(xù)的.14 .證明：若f (x)在點(diǎn)a處可導(dǎo)，f (x)在點(diǎn)a處可導(dǎo).15 .設(shè)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，在a,b上連續(xù)，且導(dǎo)函數(shù)f(x)嚴(yán)格遞增，若f (a) f (b)證明，又一切x (a,b)均有f(x)< f(a) f(b)16 . 設(shè)函數(shù)f(x)在a,:內(nèi)可導(dǎo)，并且 f (

4、a) <0,試證：若當(dāng) x (a,)時(shí)，有f (x)>c>0則存在唯一的 (a,)使得f() 0 ,又若把條件f (x)> c減弱為f/(x) > 0(a < x <+ ),所述結(jié)論是否成立？17 .證明不等式2x / xe 1 x (x 0)218 .設(shè)£為(，)上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)所有 x, f (x) 0,且lim f (x) lim f (x) 0 ,xx證明f(x)必能取到最大值19.若函數(shù)f(x)在0,1上二階可導(dǎo)且 f (0) 0, f (1) 1 , f (0) f (1) 0,則存在(0,1)使得 | f (c)| 2.20.應(yīng)

5、用函數(shù)的單調(diào)性證明2xsin xx,x(0,-);21.設(shè)函數(shù)f (x)m 1x sin ,xx(m為實(shí)數(shù))，試問:0,(1) m等于何值時(shí)，f在x 0連續(xù);(2) m等于何值時(shí),f在x 0可導(dǎo);(3) m等于何值時(shí),f在x 0連續(xù);22.設(shè)f (x)在0,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件其中a,b都是非負(fù)常數(shù)，c是(0,1)內(nèi)的任一點(diǎn)，證明f (c)2a 223.設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，則存在(a, b)使得2f(b) 2- f24.若f (x)在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域上有(n 1)階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，試由泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)推導(dǎo)佩亞諾型余項(xiàng)公式25 .用泰勒公式證明:設(shè)函

6、數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)二階可導(dǎo)，則存在(a,b),使得a bf(b) 2f( )一 、(b a)2f(a)f ().26 .設(shè)函數(shù)f(x)在0,2上二階可導(dǎo)，且在0,2 上 f(x) 1 ,f (x)1 .證明在0,2上成(x)2.27 .設(shè)f是開區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對(duì)任何上滿足利普希茨(Lipschitz) 條件，即存在L > 0,對(duì)任何x , x，成立， ，,f(x) f(x)'''x x .28 .設(shè) f (x)在a, (a工(在a,上一致連續(xù) x0)上滿足 Lipschitz條件：| f (x) f(y)| k|x y |,證明29 .試證

7、明方程xn xn 11x 1在區(qū)間(一，1)內(nèi)有唯一頭根。2f(a h) f (a h) 2f(a)f (a)30 .設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，試證明:h231 .設(shè)f (x)在(a, b)上可導(dǎo)，且lim f (x) lim f (x) A.x a 0x b 0求證：存在 (a, b),使f ( ) 0 .32.設(shè)f (x)在a, b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)有n階導(dǎo)數(shù)，且存在n 1個(gè)點(diǎn)xi,x2, xn i (a, b)滿足:(1) ax1x2xn 1 b(2) f(a) f(x1)f(x2)f(xn1) f(b)求證：存在 (a, b),使f (n)( ) 0.33 .設(shè)函數(shù)f

8、在點(diǎn)x0存在左右導(dǎo)數(shù)，試證f在點(diǎn)x0連續(xù).34 .設(shè)函數(shù)f在a, b上可導(dǎo)，證明：存在 (a, b),使得-22-2 f (b) f(a) (b a )f ().35 .應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：b a , b b aln-，其中 0 a b.b a a36 .證明：任何有限數(shù)集都沒有聚點(diǎn).37 .設(shè) an, bn是一個(gè)嚴(yán)格開區(qū)間套，即滿足a1a2 L an bn Lb? b,且lim bn an 0.證明：存在唯一的一點(diǎn)，使彳#烝 bn, n 1,2,Ln n n38 .設(shè)為單調(diào)數(shù)列.證明：若xn存在聚點(diǎn)，則必是唯一的，且為的確界.39 .若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，證明

9、f(x)在a,b上一致連續(xù)40 .若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，證明f(x)在a,b上有界.41 .若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，證明f(x)在a,b上有最大值42 .若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)且單調(diào)增加F(x)1x af(a),xf(t)dt, ax (a,b,x a,證明F(x)為a,b上的增函數(shù)43 .函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù).證明 2 f (sin x)dx02 f (cosx)dx.44 .若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)，證明f(x)在a,b上可積.b245 .若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(x)不恒等于零，證明 f (x) dx 0

10、. a46.設(shè)函數(shù)f (x)為()上以p為周期的連續(xù)周期函數(shù).證明對(duì)任何實(shí)數(shù) a，恒有Pf (x)dxf(x)dx.47.若函數(shù)f (x)在0,1 x 一)上連續(xù)，且 lim f (x) A,證明 lim f (t)dt A.xx x 048. 若 函 數(shù)f (x)和 g(x)在a,b上b2b2f(x) dx g(x) dx aabf(x)g(x)dx a49 .若函數(shù)f (x)在a,a上可積，且為偶函數(shù)，證明af(x)dx aa0 f(x)dx .50 .若函數(shù)f(x)在a,b上可積，證明函數(shù)(x)xf(t)dt, xaa,b在a,b上連續(xù).51.若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f

11、(a)f (b).若為介于f(a)與f(b)之間的任何實(shí)數(shù)，則存在x0 a,b,使得f(x0)52.若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，證明函數(shù)導(dǎo)，且x(x) f (t )dt, x a,b在a, b上處處可 ad x(X) dxafdt f(x),x a,b.53.若數(shù)列bn有l(wèi)im bn n,則級(jí)數(shù) bn 1bn發(fā)散.n 11,成立uq .證明級(jí)數(shù)un54 .設(shè) un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在常數(shù)q (0,1)，使得對(duì)一切n n 1un收斂.55 .設(shè)un和vn為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且對(duì)一切n 1,成立u_1 v.級(jí)數(shù)vn收斂.證明級(jí)n 1n 1unvnn 1數(shù) Un也收斂.n 156.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)nun收斂.證明

12、級(jí)數(shù)u2也收斂.試問反之是否成立？n 157.設(shè) an0, n 1,2,L ,且nan有界，證明級(jí)數(shù)a2收斂.n 158.設(shè)級(jí)數(shù)a2收斂.證明級(jí)數(shù)曳(an0)也收斂.n 1n 1 n59.若 lim anknbn0,且級(jí)數(shù)bn絕對(duì)收斂，證明級(jí)數(shù)n 1an也收斂.若上述條件中只知n 1道級(jí)數(shù)bn收斂，能推得級(jí)數(shù)an也收斂嗎？n 1n 1、一一a.60 .設(shè)an0,證明級(jí)數(shù) n收斂.n 1 1 41 a2 L 1 an一x 一 ,一61 . Sn(x).證明在(，)內(nèi)5口(刈0, (n ).1 n x62 .設(shè)數(shù)列an單調(diào)收斂于零.試證明：級(jí)數(shù)an cosnx在區(qū)間,2(0)上一致收斂63 .幾何

13、級(jí)數(shù)xn在區(qū)間a , a (0 a 1)上一致收斂；但在(1,1)內(nèi)非一致收斂.n 064 .設(shè)數(shù)列an單調(diào)收斂于零. 證明：級(jí)數(shù)ancosnx 在區(qū)間,2(0)上一致收斂.(1)n165 .證明級(jí)數(shù) (2 )廠在R內(nèi)一致收斂.n 1 x . n66.證明函數(shù)f (x)2nxnn 0 n!滿足微分方程y 2y 0, x R.sinx八x 067.設(shè)f(x) x ，證明又n, f(n)(0)存在并求其值1, x 0.68.證明：哥級(jí)數(shù)n的和函數(shù)為ln(1 x), x 1,1).并求級(jí)數(shù)2n 1和3nnLeibniz 級(jí)數(shù)n 169 .證明：哥級(jí)數(shù) nxn的和函數(shù)為nxnn 1n 1x(1 x)2

14、|x|1.并利用該哥級(jí)數(shù)的和函2n 1nx數(shù)求哥級(jí)數(shù)一-的和函數(shù)以及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n 13n70 .證明哥級(jí)數(shù)n 2n 1(1) x的和函數(shù)為n 0 2n 1arctgx ,并利用該哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)d的和. n 0 2n 171 .設(shè)f(x)是以2為周期的分段連續(xù)函數(shù)，又 f(x)滿足 f (x ) f(x).求證 f(x)的 Fourier 系數(shù) 滿足 a00,a2nb2n 0, n 1,2, .72 .設(shè)f(x)是以2為周期的分段連續(xù)函數(shù)，又設(shè) f(x)是偶函數(shù)，且滿足 f x f x .求證： f(x)的 Fourier 系數(shù) a2nl 0, n 1,2,.73 .求證函數(shù)系 sin

15、x,sin 2x, ,sin nx 是0,上的正交函數(shù)系.74 .設(shè)f (x)是以2L為周期的連續(xù)的偶函數(shù)。又設(shè) “刈關(guān)于* -對(duì)稱，試證：f(x)的2傅立葉系數(shù)：Ll f (x) cos(2nx1) d xL0, n 1,2,3,x75.設(shè)f(x)是以2為周期的可微周期函數(shù)，又設(shè)f(x)連續(xù)，a0,an,bn(n 1,2,)是f (x)的Fourier系數(shù).求證：lim an0, lim bn0nn76.證明/O艮(x加0。y,石廣 一不存在。ylim (x,y)(o,o)x2y222證明極限 lim 2 2x y不存在.(x,y) (o,o)x2y2(x y)277.用極限定義證明:0.7

16、8.79.80.設(shè) F(x, y)證明：如果f (x), f (x)在 xo連續(xù)，證明：對(duì) yo R, F(x, y)在(xo,yo)連續(xù). f(x,y)在 Po(xo, yo)連續(xù)，且 f (xo, yo) 0 ,則對(duì)任意r f(xo, yo),(Po；),對(duì)一切 P(x,y)(Po；)，有 f(x,y) r.81 .證明：f (x, y) xx2 y2在點(diǎn)(o,o)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在.82 .證明；.122ysin 2 x y of(x, y) x yox2 y2 o在(o,o)點(diǎn)連續(xù)，且 fx(o,o) o, fy(o,o)o不存在.83 .證明(x2 y2)sin 1x2 y2 o2

17、2f (x, y), x yox2 y2 o在 點(diǎn)(o,o)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在.84 .設(shè) 函數(shù)f (x, y)在(xo,yo)的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，若 (x, y)屬于該鄰域，則存在xo1(x xo)和yo2(yyo) , o 11,o21,使得f(x, y)f (xo,yo) fx(,y)(x xo)fy(xo,)(y yo)o85 .證明:f(x, y)xy x2-y2在點(diǎn)(o,o)不可微.86.證明：對(duì)任意常數(shù)與錐面2,22 一 、，y tan z是正交的.87 .證明：以為參數(shù)的曲線族(a b)是相互正交的(當(dāng)相交時(shí)).88 .證明：由方程z y x (z)所確定的隱函數(shù) z z(x

18、, y)滿足其中二階可導(dǎo).89 .設(shè) F (a) In 1 2a cos x a2 dx ,證明00,若 a 1且a 0,F(a) 2姜In a ,右 a 1.90 .證明含參量反常積分sin xy ,dy y在， 上一致收斂 其中 >0 ,但在0,+內(nèi)不一致收斂。91 .證明含參量a的反常積分a 0, p 0為常數(shù)ax cosxe dx,0xp是一致收斂的.92.證明含參量p的反常積分2sin x1 xpdx,是一致收斂的93.若f (x)在(0,)內(nèi)可積，證明aim0e axf (x)dx0 f (x)dx.八 ,、I- 1-rl-t / /I2'l/ 22-, - . 一

19、>*4 、如94.證明(2xcosy y cosx )dx (2ysinx x siny)dy在整個(gè) XY平面上是某個(gè)函數(shù) 的全微分，并找出這樣一個(gè)原函數(shù)95.設(shè)一力場(chǎng)為 F(3x2y 8xy2 )i +(x3 8x2y 12yey ) j .證明質(zhì)點(diǎn)在此力場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí)，場(chǎng)力所作的功與路徑無關(guān)96.證明?l ydx zdy xdz5/3 a2,其中L是球面x2 y2 z22 . 一_.a與平面x y z 0的交線(它是圓周)，從X軸的正向看去，此圓周呈逆時(shí)針方向.97 .證明？3zdx 5xdy 2ydz 2 ,其中L是圓柱面x2 y2 1與平面z y 3的交 線(它是橢圓)，從X軸的正向看去，此橢圓周呈逆時(shí)針方向.98 .證明" L(y z)dx (z x)dy (x y)dz= 2a(h a)，其中 L 是圓柱面222 x zx y a與平面一 一1(a 0, h 0 )的交線(它是橢圓)，從X軸的正向看去， a h此橢圓周呈逆