例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換

1、例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換計算一個電路的電阻，通常從歐姆定律出發(fā)，分析電路的串并聯(lián)關(guān)系。實 際電路中，電阻的聯(lián)接千變?nèi)f化，我們需要運(yùn)用各種方法，通過等效變換將復(fù) 雜電路轉(zhuǎn)換成簡單直觀的串并聯(lián)電路。本節(jié)主要介紹幾種常用的計算復(fù)雜電路 等效電阻的方法。1、等勢節(jié)點(diǎn)的斷接法在一個復(fù)雜電路中，如果能找到一些完全對稱的點(diǎn)（以兩端連線為對稱軸），那么可以將接在等電勢節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路斷開（即去掉），也可以用導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路將等電勢節(jié)點(diǎn)連接起來，且不影響電路的等效性。這種方法的關(guān)鍵在于找到等勢點(diǎn)，然后分析元件間的串并聯(lián)關(guān)系。常用于 由等值電阻組成的結(jié)構(gòu)對稱的電路。【例

2、題 1】在圖 8-4 甲所示的電路中，Ri= R2= R3= R4= R5= R，試求 A、B 兩端的等 效電阻 RAB。模型分析：這是一個基本的等勢縮點(diǎn)的事例，用到的是物理常識是：導(dǎo)線是等勢體，用 導(dǎo)線相連的點(diǎn)可以縮為一點(diǎn)。將圖8-4 甲圖中的 A、D 縮為一點(diǎn) A 后，成為圖 8-4 乙圖。圖8-4答案：RAB=3R。8【例題 2】在圖 8-5 甲所示的電路中，Ri= 1Q，R2= 4Q，R3= 3Q，R4= 12Q，R5= 10Q，試求A、B 兩端的等效電阻 RAB。模型分析：這就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡單的情形：將A、B 兩端接入電源，并假設(shè) R5不存在，C、D 兩點(diǎn)的電勢相等。

3、因此，將 C、D 縮為一點(diǎn) C 后，電路等效為圖 8-5 乙對于圖 8-5 的乙圖，求 RAB是非常容易的。事實上，只要滿足企=邑的關(guān)系，該橋式R2R4電路平衡。答案：RAB=15Q。4【例題 3】在如圖所示的有限網(wǎng)絡(luò)中，每一小段導(dǎo)體的電阻均為R，試求 A、B 兩點(diǎn)之甲Ri C RjRiRJ甲乙圈a-b【例題 2】10 根電阻均為 r 的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出 效電阻RAB。【例題 3】8 根電阻均為 r 的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò),而成，試求出 A、B 兩點(diǎn)之間的等效電阻RAB。CD電流疊加原理：直流電路中，任何一條支路的電流都可以看成是由電路中各個電源分別間的等效電阻 RAB。B

4、1A【例題 4】用導(dǎo)線連接成如圖所示的框架, 求 AB 間的總電阻。ABCD 是正四面體，每段導(dǎo)線的電阻都是 V1。2、電流分布法設(shè)有電流 I 從 A 點(diǎn)流入、B 點(diǎn)流出，應(yīng)用電流分流的思想和網(wǎng)絡(luò)中兩點(diǎn)間不同路徑等電壓的思想，（即基耳霍夫定理），建立以網(wǎng)絡(luò)中各支路的電流為未知量的方程組，解出各支路電流與總電流 I 的關(guān)系，然后經(jīng)任一路徑計算 A、B 兩點(diǎn)間的電壓UAB，再由ABI即可求出等效電阻。【例題 1】7 根電阻均為 r 的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出A、B 兩A、B 兩點(diǎn)之間的等C、D 之間是兩根電阻絲并聯(lián)CDB作用時，在此支路中產(chǎn)生的電流的代數(shù)和。所謂電路中只有一個電源單獨(dú)作用，

5、就是假設(shè)將其余電源均除去，但是它們的內(nèi)阻仍應(yīng)計及?！纠} 4】“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖，每小段電阻為RR2R2R3R3R1R2R2R31巳R23&23R3:Rl2+ 只23 *R3I以上兩套公式的記憶方法：R，求 A、B 間等效電阻。3、Y變換法在某些復(fù)雜的電路中往往會遇到電阻的Y型或,如圖所示，有時把 Y型聯(lián)接代換成等效 的型聯(lián)接，或把型聯(lián)接代換成等效的 Y型聯(lián)接，可使電路變?yōu)榇?、并?lián)，從而簡化計算，等 效代換要求Y 型聯(lián)接三個端紐的電壓U12、U23、U31及流過的電流h、12、 *與型聯(lián)接的三個端紐相同。將 Y型網(wǎng)絡(luò)變換到型電路中的變換式：R12R R2 R2R3R3R1R23R-

6、IR2R2R3R3R1Ri將型電路變換到 Y 型電路的變換式:Rl2R23R3IR3IR23BY :分母為三個電阻的和，分子為三個待求電阻相鄰兩電阻之積。Y:分子為電阻兩兩相乘再相加，分母為待求電阻對面的電阻。 當(dāng) Y 形聯(lián)接的三個電阻相等時，與之等效的形聯(lián)接的三個電阻相等, 三倍；同樣，當(dāng)聯(lián)接的三個電阻相等時，與之等效的 原來的 1/3。【例題 1】對不平衡的橋式電路，求等效電阻F且等于原來的Y 形聯(lián)接的三個電阻相等，且等于在求 x 值時，注意到 x 是由無限多個- a組成，所以去掉左邊第一個無影響，即剩余部分仍為 x,這樣，就可以將原式等效變換為x=a x,即2x -x-a=0。所以+訥+

7、4ax二2這就是物理學(xué)中解決無限網(wǎng)絡(luò)問題的基本思路，那就是：無窮大和有限數(shù)的和仍為無窮大。一維無限網(wǎng)絡(luò)【例題 1】在圖示無限網(wǎng)絡(luò)中，每個電阻的阻值均為 R ,試求 A、B 兩點(diǎn)間的電阻 RAB。提示：法一：“T”變換;法二：基爾霍夫定律【例題 2】試求如圖所示電路中的電流 I。（分別應(yīng) 用兩種變換方式計算）【課堂練習(xí)】分別求下圖中AB、CD 間等效電阻。（答案：0.5R; RPQ=4Q）(a 0)4、無限網(wǎng)絡(luò)解法一：在此模型中，我們可以將“并聯(lián)一個R 再串聯(lián)一個 R”作為電路的一級，總電路是這樣無窮級的疊加。在圖8-11 乙圖中，虛線部分右邊可以看成原有無限網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)它添加一級后，仍為無限網(wǎng)絡(luò)，

8、即a 8-11RAB/ R + R = RAB解這個方程就得出了RAB的值。答案：RAB=15R。2解法二：可以，在 A 端注入電流 I 后，設(shè)第- 級的并聯(lián)電阻分流為 Ii，則結(jié)合基爾霍夫第一定 律和應(yīng)有的比例關(guān)系，可以得出相應(yīng)的電流值如圖 8-12 所示對圖中的中間回路，應(yīng)用基爾霍夫第二定律， 有(I - Ii)R + (I - I1)11 R - IiR = 0I解得 11= 5 -1I2很顯然UA- IR - IiR = UB即 UAB :=IR +-1IR =15IR22最后，RB=UAB=1 5R。I2【例題 2】如圖所示，由已知電阻 r1等效電阻 Rab（開端形）r2 和 r3

9、組成的無窮長梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b 間的【例題 3】 如圖所示， 由已知電阻 等效電阻 Rab（閉端形）r1、r2 和 r3 組成的無窮長梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b 間的雙邊一維無限網(wǎng)絡(luò)【例題 4】如圖所示，兩頭都是無窮長,的等效電阻。（中間缺口形）唯獨(dú)中間網(wǎng)孔上缺掉一個電阻r2，求 e、f 之間【例題 5】如圖所示，兩頭都是無窮長,阻（旁邊缺口形）A A 卜（h ”唯獨(dú)旁邊缺一個電阻r2，求 f、g 之間的等效電rtu0 0“卜【例題 6】如圖所示，求 g、f 間的等效電阻。（完整形）小結(jié)：一維無限網(wǎng)絡(luò)利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性。二維無限網(wǎng)絡(luò)【例題 7】圖為一個網(wǎng)格為正方形的平面無窮網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的每一個節(jié)點(diǎn)都有四個

10、電阻與上下左右四個節(jié)點(diǎn)分別相聯(lián)，每個電阻大小均為R，由此，按左右、上下一直延伸到無窮遠(yuǎn)處.A 和 B 為網(wǎng)絡(luò)中任意兩個相鄰節(jié)點(diǎn)，試求A、B 間的等效電阻 RAB.模型分析：如圖，設(shè)有一電流 I 從 A 點(diǎn)流入，從無窮遠(yuǎn)處流出.由于網(wǎng)絡(luò)無窮大，故網(wǎng) 絡(luò)對于 A 點(diǎn)是對稱的，電流 I 將在聯(lián)接 A 點(diǎn)的四個電阻上平均分配這時，電阻R （指 A、B 兩節(jié)點(diǎn)間的電阻）上的電流為 1/4，方向由 A 指向 B .同理，再設(shè)一電流 I 從無窮遠(yuǎn)處流處，從節(jié)點(diǎn) B 流出.由于網(wǎng)絡(luò)無窮大，的對稱點(diǎn)，因此在電阻 R 上分得的電流也為 1/4 , 方向也是由 A 指向 B .將上述兩種情況疊加，其結(jié)果將等效為一個

11、從節(jié) 點(diǎn) A流入網(wǎng)絡(luò)，又從節(jié)點(diǎn) B 流出網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)恒電流 I , 在無窮遠(yuǎn)處既不流入也不流出每個支路上的電流 也是上述兩種情況下各支路電流的疊加因此，R電阻上的電流為 1/2 .所以 A、B 兩節(jié)點(diǎn)間的電勢差 為：【例題 9】有一個無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由大小相同的正六邊形 網(wǎng)眼組成，如圖所示。所有六邊形每邊的電阻為Ro，求：（1）結(jié)點(diǎn) a、b 間的電阻。（2）如果有電流 I 由 a 點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)，由 g 點(diǎn)流出網(wǎng)絡(luò)，那么流過 de段電阻的電流 Ide為多大。解：（1）設(shè)有電流 I 自 a 點(diǎn)流入，流到四面八方無窮遠(yuǎn)處，那么必有I /3電流由 a流向 c,有I /6電流由 c 流向 b。再假設(shè)有電流

12、 I 由四面八方匯集 b 點(diǎn)流出，那么必有I /6【例題 8】對圖示無限網(wǎng)絡(luò)，求A、B 兩點(diǎn)間的電阻 RAB。口 rri griri廠電流由 a 流向 c,有I /3電流由 c 流向 b。因此，a、b 兩點(diǎn)間等效電阻UAB31A6I因為 b、d 兩點(diǎn)關(guān)于 a 點(diǎn)對稱，所以最后，根據(jù)電流的疊加原理可知三維無限網(wǎng)絡(luò)【例題 10】假設(shè)如圖有一個無限大NaCI 晶格，每一個鍵電阻為 r，求相鄰兩個 Na 和 Cl原子間的電阻?！纠} 11】在圖示的三維無限網(wǎng)絡(luò)中，每兩個節(jié)點(diǎn)之間的導(dǎo)體電阻均為R，試求 A、B兩點(diǎn)間的等效電阻 RAB。當(dāng) A、B 兩端接入電源時，根據(jù)“對稱等勢”的思想可知，C、D、巳各點(diǎn)的電勢是彼N&i的晶障#梢覆豐將以上兩種情況綜合，即有電流I 由 a 點(diǎn)流入，自 b 點(diǎn)流出，由電流疊加原理可知I )+1ac36icV 612（由 a 流向 c）Icb2（由 c 流向 b）（2）假如有電流 I 從 a 點(diǎn)流進(jìn)網(wǎng)絡(luò),i流向四面八