慣性矩的計(jì)算方法與常用截面慣性矩計(jì)算公式

1、慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式 截面圖形的幾何性質(zhì)一 重點(diǎn)及難點(diǎn)：（一）.截面靜矩和形心1靜矩的定義式如圖1所示任意有限平面圖形，取其單元如面積dA，定義它對(duì)任意軸的一次矩為它對(duì)該軸的靜矩，即dSy = xdA dSx = ydA整個(gè)圖形對(duì)y、z軸的靜矩分別為Sy 二 AxdA(1-1)XSx 二 AydA2.形心與靜矩關(guān)系圖1-1設(shè)平面圖形形心C的坐標(biāo)為yc ,zc(1-2)推論1如果y軸通過形心（即X =，則靜矩Sy = 0 ；同理，如果X軸通過形心（即y = 0），則靜矩Sx= 0 ；反之也成立。推論2如果x、y軸均為圖形的對(duì)稱軸，則其交點(diǎn)即為圖形形心；如果，且一軸和xy軸為圖

2、形對(duì)稱軸，則圖形形心必在此軸上3.組合圖形的靜矩和形心設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為 A1,A2,A3An的簡單圖形組成直各族圖形的形心坐標(biāo)分別為x.|, y1 ； x2, y2； x3,y3":,則圖形對(duì)y軸的靜矩分別為nSy 二 Syi 二' Ai Xi(1-3)i 2i =1Sx = ' Sxi =、Ai yii 4i 4截面圖形的形心坐標(biāo)為' Ai Xi' Ai yi(1-4)、Ai -14.靜矩的特征（1）界面圖形的靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸所定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)。靜矩有的單位為m3。（3）靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可為零。圖形對(duì)任意形心軸的靜矩必定

3、為零，反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形 心。 若已知圖形的形心坐標(biāo)。則可由式（I-1）求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜 矩。若已知圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩，則可由式（1-2）求圖形的形心坐 標(biāo)。組合圖形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出圖形對(duì)某一坐 標(biāo)系的靜矩，然后由式（1-4）求出其形心坐標(biāo)。（二）慣性矩慣性積慣性半徑1. 慣性矩定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A （圖I-3），則圖形對(duì)0點(diǎn)的極慣性矩定義為Ip = AdA(1-5)圖形對(duì)y軸和x軸的光性矩分別定義為Iy=.Ax2dA ,IxAy2dA(I-6)慣性矩的特征(1) 界面圖形的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的 ；軸慣性矩是對(duì)某一

4、 坐標(biāo)軸定義的。(2) 極慣性矩和軸慣性矩的單位為m4。(3) 極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值 。(4) 圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值，恒等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為坐標(biāo) 原點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即Ip 二 J2dA二(x2 y2)dA=ly lx (I-7)AA(5) 組合圖形(圖I-2 )對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩， 分別等于各族紛紛圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之 和，即nnnI T 八 I Q ， I y 八 I yi ， IX 八 I xi（ I-8 ）i=1i=1i=1XiX2C2XnA2Anyny2CiyiAi圖I-2圖I-32. 慣性積定義設(shè)任意

5、形狀的截面圖形的面積為A (圖1-3),則圖形對(duì)y軸(I-9)和x軸的慣性積定義為I xy = A XydA慣性積的特征(1) 界面圖形的慣性積是對(duì)相互垂直的某一對(duì)坐標(biāo)軸定義的。(2) 慣性積的單位為m4。(3) 慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能等于零。若一對(duì)坐標(biāo)周中有一軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一對(duì)稱軸的慣性積必 等于零。但圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，這一對(duì)坐標(biāo)軸重且不一定有圖形的對(duì)稱軸。(4) 組合圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積，等于各組分圖形對(duì)同 一坐標(biāo)軸的慣性積之和，即n1 xy 八 1 xyi( 1-10 )=13. 慣性半徑(I-11)定義：任意形狀的截面圖形的面積為A (圖I-3)

6、，則圖形對(duì)y軸和x軸的慣性半徑分別定義為慣性半徑的特征(1) 慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的(2) 慣性半徑的單位為m（3）慣性半徑的數(shù)值恒取證之（三）慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式2lx = Ixca A2I y = I ycb A（I-12）1 xy xCyCabA（1-13）平行移軸公式的特征（1）意形狀界面光圖形的面積為A （圖（I-4）； xc，yc軸為圖形的形心軸；x, y軸為分別與xc，yc形心軸相距為a和b的平行軸。（2） 兩對(duì)平行軸之間的距離a和b的正負(fù)，可任意選取坐標(biāo)軸x，y 或形心xc，yc為參考軸加以確定。（3）在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最

7、小，但 圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小。a圖1-4(四)、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式X1Iy2co0 - I xy sin2：yilx Ty2I xy s in2：-II xiyisin2-： I xy coS2:轉(zhuǎn)軸公式的特征(1) 角度的正負(fù)號(hào)，從原坐標(biāo)軸x,y轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)軸Xi,yi ,以逆時(shí) 針轉(zhuǎn)向者為正(圖5)。(2) 原點(diǎn)O為截面圖形平面內(nèi)的任意點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸公式與圖形的形心無 關(guān)。(3) 圖形對(duì)通過同一坐標(biāo)原點(diǎn)任意一對(duì)相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣性矩之和為常量，等于圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩，即1 x 1 y = 1 x1 T y1 = 1 P主慣性軸、主慣性矩任意形狀截面

8、圖形對(duì)以某一點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐 標(biāo)軸xo、yo的慣性積為零(1約0=0)，則坐標(biāo)軸xo、yo稱為圖形通 過點(diǎn)0的主慣性軸(圖6)。截面圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩1溝,，稱為主慣性矩。主慣性軸、主慣性矩的確定(1) 對(duì)于某一點(diǎn)0,若能找到通過點(diǎn)0的圖形的對(duì)稱軸，則以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，并包含對(duì)稱軸的一隊(duì)坐標(biāo)軸，即為圖形通過點(diǎn)0的一對(duì)主慣性軸。對(duì)于具有對(duì)稱軸的圖形(或組合圖形)， 往往已知其通過自身形心軸的慣性矩。于是，圖形對(duì)通過點(diǎn)o 的主慣性軸的主慣性矩，一般即可由平行移軸公式直接計(jì)算。(2) 若通過某一點(diǎn)o沒有圖形的對(duì)稱軸，則可以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，任作一坐標(biāo)軸x，y為參考軸，并求出圖形對(duì)參考軸x，y的慣

9、性矩Ix，Iy和慣性積Ixy。于是,位及主慣性矩分別為tan 2叫2IxyI x - I )/II+ I |仃T弋2I x0 _ 1x JIx Iy l +丨 2I y02 丫I2丿xy主慣性軸、主慣性矩的特征圖形通過點(diǎn)0的一對(duì)主慣性軸方(I-16)(1-17)（1）圖形通過某一點(diǎn)0至少具有一對(duì)主慣性軸，而主慣性局 勢圖形對(duì)通過同一點(diǎn)0所有軸的慣性矩中最大和最小。（2）主慣性軸的方位角：-0，從參考軸x，y量起，以逆時(shí)針轉(zhuǎn) 向?yàn)檎?。?）若圖形對(duì)一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)的兩主慣性矩相等，則通過點(diǎn)o的所有軸均為主慣性軸，且所有主慣性矩都相同。（4）以截面圖形形心為坐標(biāo)原點(diǎn)的主慣性軸 ，稱為形心主慣 性軸

10、。圖形對(duì)一對(duì)形心主慣性軸的慣性矩，稱為形心主慣性 矩。圖1-6圖1-5二典型例題分析例I-a試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸的靜矩解：計(jì)算此截面對(duì)于x軸的靜矩Sx時(shí)，可以去平行于x軸的狹長條（見圖）作為面 積元素（因其上各點(diǎn)的y坐標(biāo)相等），即dA二b（y）dy。由相似三角形關(guān)系，可b(y)=b(hy),因此有dA=b(hy)dy。將其代入公式(1-1 )的第二式，即得hhh bh-:y2dy 旦h 06& = AydA = 0 h(h _ y)dy =b 0 ydy -b(y)y0x例題I-a圖解題指導(dǎo)：此題為積分法求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩例1-2試確定圖示I-b截面形心C的位置

11、解：將截面分為？、n兩個(gè)矩形。為計(jì)算方便，取x軸和y軸分別與界面的底邊 和左邊緣重合(見圖)。先計(jì)算每一個(gè)矩形的面積 A和形心坐標(biāo)(Xi,Pi)如 下：矩形？2A =10 120 = 1200mm10 120x5mm , y60mmI 2I 2矩形n2A = 10 70 = 700mmx = 10 70 二 45mm ,= 5mmA -X t A-x37500:20mmA- A-1900A y A-y- _ 75500 y - A+A口1900解題指導(dǎo)：此題是將不規(guī)則圖形劃分為兩個(gè)規(guī)則圖形利用已有的規(guī)則圖形的面積和形:40mmy：X將其代入公式（1-4）,即得截面形心C的坐標(biāo)為圖I-b例I-3

12、試求圖l-c所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x軸的慣性矩lx 解：此截面可以看作有一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓形組成 。設(shè)矩形對(duì)于x軸的慣性矩為Ix，每一個(gè)半圓形對(duì)于x軸的慣性矩為lx，則由公式（I-11）的第一式可知，所給截面的慣性矩：(1)矩形對(duì)于x軸的慣性矩為:I 込,0 2003 卡330 I04mm412 12半圓形對(duì)于x軸的慣性矩可以利用平行移軸公式求得。為此，先求出每個(gè)半圓形對(duì)于與x軸平行的形心軸Xc（圖b）的慣性矩I xc o已知半圓形對(duì)于其底邊的慣性矩為圓形對(duì)其直徑軸x （圖b）的慣性據(jù)之半，二d4。即“總。而半圓形的面積為 A，其形心到底邊的距離為 2d （圖83 :b） o故由平行移軸公式（l-

13、10a）,可以求出每個(gè)半圓形對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩為：d4dIxC "x -（組）2人二乩-?。?型3兀1283兀 8(3)由圖a可知，半圓形形心到x軸距離為a 2d，故在由平行移軸公式，求得每個(gè)半圓形對(duì)于x軸的慣性矩為:I x= I xc (a4/)2A=d 一浮)23二128 3二 8d2 2d , 2d、2 二d+ (a +一)3 二82崔.匚巡)4322 3a -d將d=80mm、a=100mm （圖a）代入式（4），即得2二(80)4321002+22 100 80、)= 3460 104 mm 4將求得的lx和lx-代入式(1),便得lx=5330 1042 3460

14、 104 =12250 104 mm4解題指導(dǎo)：此題是將不規(guī)則圖形劃分為若干個(gè)規(guī)則圖形,禾U用已有的規(guī)則圖形的面積形心及對(duì)自身形心軸的慣性矩，結(jié)合平行移軸公式計(jì)算組合截面圖形對(duì)組合 截面形心的慣性矩100常用截面慣性矩計(jì)算公式r 訶匚=64符號(hào)意義及單位皐 面對(duì)x軸的慣性矩(cm* )d而直徑(cm)F _如一)164符號(hào)意義及單位：h_ 面對(duì)乳軸的慣性矩(cm*)D大徑(cm)d卜徑(cm)符號(hào)意義及單位：£長方形敲面對(duì)藝軸的慣性(cm*)a長(cm)b寬(cm)- B&i 方滬+ a頁3符號(hào)意義及單位：丄慣性矩（cm3R圖所示（cm）b圖所示（cm）e：重心S至！1相應(yīng)邊時(shí)距離（cm）&：重心S到相應(yīng)邊的距離（cm