結(jié)合無網(wǎng)格法、徑向基函數(shù)非對(duì)稱配置插值理論以及常微分方程知識(shí)

1、摘 要摘要本文結(jié)合無網(wǎng)格法、徑向基函數(shù)非對(duì)稱配置插值理論以及常微分方程知識(shí)，主要做了以下工作：首先分別利用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程以及Maxwell方程組，并重點(diǎn)放在誤差分析上。利用有限差分作為橋梁，比較兩種方法存在的相對(duì)誤差，然后得出相對(duì)誤差的范圍，進(jìn)而得出結(jié)論：（1）當(dāng)徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程的誤差為（2）徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解Maxwell方程組的誤差為，。最后直接分析徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法誤差。引入算子，運(yùn)用插值原理，通過變換把 Maxwell方程組轉(zhuǎn)換成常微分向量方程，運(yùn)用常微分方程中的相關(guān)定理，得出徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解Maxwell方程組的誤差范圍為。關(guān)鍵字：徑向基函數(shù)，

2、非對(duì)稱配置，無網(wǎng)格法，有限差分，Maxwell方程組，波動(dòng)方程I摘 要ABSTRACTThis article combines with meshless method, radial basis function unsymmetric meshless collocation method and ordinary differential equations, mainly to do the following areas:First I use radial basis function meshless method for solving wave equation and M

3、axwell equations，and focus on the analysis of radial basis function meshless method's error. Finite difference method as a bridge, compare the relative error between the two methods, by theoretical analysis and derivation, and the conclusion is that （1）：when the RBF method for solving wave equat

4、ions error is；（2）：RBF meshless method for solving Maxwell equations error is: Finally, I introduce a method of direct analysis of radial basis function meshless methods error of Maxwell equations. By the introduction of operator, the use of radial basis function interpolation theory, through a serie

5、s of transformations to Maxwell equations into ordinary differential vector equation, using the related theorems in ordinary differential equations, analysise and obtain that the radial basis function meshless methods error for solving Maxwell equations is Key Words: RBF，unsymmetric meshless colloca

6、tion，meshless method，finite difference method，Maxwell equations，wave equations47目錄目錄第1章 引言 11.1 課題背景11.2 課題的價(jià)值及意義21.3 課題的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀21.4 課題的難點(diǎn)、重點(diǎn)、核心問題及方向3第2章徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法52.1 計(jì)算力學(xué)中的主要數(shù)值方法簡介52.1.1 有限差分方法52.1.2 有限元法62.1.3 邊界元法62.1.4 無網(wǎng)格法72.2 無網(wǎng)格法簡介82.2.1 無網(wǎng)格定義82.2.2 無網(wǎng)格法的基本思想82.2.3 無網(wǎng)格法的優(yōu)缺點(diǎn)82.3 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法插值原理9

7、2.3.1 徑向基函數(shù)及其應(yīng)用背景92.3.2 徑向基函數(shù)插值近似112.4 本章小節(jié)13第3章波動(dòng)方程中的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法143.1 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程143.2 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程誤差分析.153.2.1 建立無網(wǎng)格法和有限差分法相對(duì)誤差關(guān)系式153.2.2 求徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法誤差173.3 波動(dòng)方程的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格解法二193.4 本章小節(jié)19第4章Maxwell方程組中的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法214.1 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求Maxwell方程組214.2 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解Maxwell方程組誤差分析方法一224.2.1 建立無網(wǎng)格法和有限差分法相對(duì)誤差

8、關(guān)系式224.2.2 求徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法誤差234.3 Maxwell方程組徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法解法二264.4 本章小節(jié)27第5章徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法誤差分析285.1 前期準(zhǔn)備工作285.2 引入算子，處理Maxwell方程組295.3 誤差分析315.4 本章小節(jié)34第6章結(jié)束語356.1 工作總結(jié)356.2 下一步工作的展望356.3 收獲與體會(huì)36參考文獻(xiàn)37致謝39外文資料原文40翻譯文稿43第1章 引言第1章 引言1.1 課題背景自Maxwell在前人實(shí)驗(yàn)和理論的基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論后，所有的宏觀電磁問題均可歸結(jié)為Maxwell方程組在各種邊界條件下的求解問題。求解析解，這

9、類方法能夠獲得精確解且計(jì)算效率比較高，但它的適用范圍較窄，僅能求解具有規(guī)則邊界的簡單問題，對(duì)形狀復(fù)雜邊界則無能為力或需要很高的數(shù)學(xué)技巧。隨著計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量的增加、速度的提高、軟件功能的增強(qiáng)以及計(jì)算方法的改進(jìn)，數(shù)值計(jì)算方法已經(jīng)發(fā)揮越來越重要的作用。偏微分方程數(shù)值方法按離散是否使用有規(guī)則的網(wǎng)格分為網(wǎng)格方法與無網(wǎng)格方法。決定網(wǎng)格法計(jì)算性能的關(guān)鍵在于：對(duì)求解域的幾何剖分并形成網(wǎng)格，從計(jì)算效率上要求網(wǎng)格數(shù)越少越好，但從函數(shù)近似角度則要求較小的網(wǎng)格尺寸和優(yōu)良的網(wǎng)格質(zhì)量；局部近似的處理，同樣在計(jì)算方面要求近似函數(shù)的階次低從而待定變量少，但從逼近精度上則要求函數(shù)的連續(xù)性好并具備高階可微，因而在求解精度和計(jì)算效

10、率上存在無法避免的矛盾。基于上述原因，我們采用無網(wǎng)格方法求解Maxwell方程組。無網(wǎng)格方法是近年來迅速興起的一種數(shù)值分析方法。它克服了有限元和邊界元等數(shù)值方法有網(wǎng)格的缺陷，采用基于點(diǎn)的近似，徹底或部分地消除網(wǎng)格，完全避免了網(wǎng)格的再生成，比傳統(tǒng)的有限元更加靈活和有效，因此成為求解微分方程的一種重要且具有廣闊發(fā)展和應(yīng)用前景的方法?；趶较蚧瘮?shù)的無網(wǎng)格法是無網(wǎng)格方法的一種，它取徑向函數(shù)為插值基函數(shù)。RBF法的計(jì)算模型取為配點(diǎn)形式，近似函數(shù)為全域RBF或緊支撐RBF，這使得它相對(duì)其它方法具有優(yōu)勢(shì)。首先，在近似函數(shù)方面，RBF較網(wǎng)格法中的低階多項(xiàng)式有更高近精度且具有連續(xù)性和可微優(yōu)點(diǎn)，而相對(duì)于移動(dòng)最小

11、二乘近似，其計(jì)算大幅減小，尤其是徑向函數(shù)定義為距離的函數(shù)，因此對(duì)空間的維數(shù)不敏感，高維空間（二維和三維）問題分析中優(yōu)勢(shì)更加突出；其次，RBF法采用配點(diǎn)形求解中無需背景網(wǎng)格支持，徹底擺脫網(wǎng)格的限制，是純粹的無網(wǎng)格法；最后于采用插值而不是擬合近似，避免了強(qiáng)制邊界條件的處理問題。綜合上述種種特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，RBF法將是無網(wǎng)格法中很有應(yīng)用潛力的方法，也將成為電磁場(chǎng)計(jì)算重要方法。徑向基函數(shù)除在大地測(cè)量學(xué)、地球物理學(xué)、測(cè)繪學(xué)等諸方面有應(yīng)用外，還被廣泛應(yīng)用于多元函數(shù)差值、圖像重構(gòu)、結(jié)構(gòu)逼近、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、學(xué)習(xí)理論等數(shù)學(xué)及工程應(yīng)用領(lǐng)域。無網(wǎng)格方法作為一種新的數(shù)值方法，其收斂性和誤差分析方面的研究還不完善，所以本次課題

12、主要研究Maxwell方程組的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法以及其誤差分析。上面對(duì)無網(wǎng)格方法及其在電磁問題中應(yīng)用研究背景進(jìn)行了介紹，下面根據(jù)介紹的研究工作背景，對(duì)本文研究工作的價(jià)值和意義進(jìn)行闡述。1.2 課題的價(jià)值及意義首先介紹下徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法近年來在電磁領(lǐng)域的應(yīng)用情況：1990年Kansa把在數(shù)學(xué)界進(jìn)行研究的RBF法，應(yīng)用于求解橢圓、雙曲和拋物型的偏微分方程組，為求解偏微分方程提供一種新興的數(shù)值方法，并擺脫了網(wǎng)格的約束。2004年Kowalczyk把RBF求解頻域波動(dòng)方程，Viana提出基于RBF的局部Petrov-Galerkin無網(wǎng)格分析靜電場(chǎng)問題，確定徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法在電磁領(lǐng)域的地位。2

13、007年蘇州大學(xué)的張偉等人采用具有RBF的Galerkin法計(jì)算Helmholtz方程。從上面的論述可以看出，徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法在電磁領(lǐng)域中具有很好的發(fā)展前景，所以本文研究Maxwell方程組的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法。由于無網(wǎng)格方法剛剛起步，很多相關(guān)理論不夠完善，尤其徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法的誤差分析方面的研究甚少。而數(shù)值方法求解方程或方程組，其誤差、收斂性與穩(wěn)定性也是人們關(guān)注的重點(diǎn)，本文重點(diǎn)研究徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格誤差分析，足見其具有重要的價(jià)值。 另外本文研究工作的意義還在于：徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法作為當(dāng)前熱門的新型數(shù)值算法，把它應(yīng)用于靜場(chǎng)、頻域場(chǎng)等電磁問題的求解，并對(duì)誤差進(jìn)行分析研究，建立起相對(duì)完整的

14、基于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的電磁學(xué)數(shù)值計(jì)算體系，拓展了計(jì)算電磁學(xué)的算法領(lǐng)域。同時(shí)由于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法，擺脫了網(wǎng)格的約束，提高了計(jì)算效率和減少了計(jì)算成本。最后，任何一種算法都需要誤差分析作為前提，如果沒有較為理想的計(jì)算精度保證，再好的算法也是空中樓閣。而由于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法才剛剛起步，目前國內(nèi)外關(guān)于基于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差分析方面的資料少之又少，本文領(lǐng)先對(duì)徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法誤差進(jìn)行較為完整的分析，從理論上證明徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的可行性。從上面可以看出：本課題是很有價(jià)值且具有開拓性的工作。1.3 課題的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀無網(wǎng)格方法作為一種新的數(shù)值方法，其收斂性和誤差分析方面的研究還不完善，具體表

15、現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:（1）配置法同傳統(tǒng)的有限元及有限差分有很大的區(qū)別，有限元誤差分析有完善的框架將其歸結(jié)為插值誤差，有Hilbert空間的優(yōu)良性質(zhì)，如投影算子及內(nèi)積運(yùn)算等，誤差還包括算子逼近誤差，比如數(shù)值積分就是對(duì)積分算子的近似等，有限差分可以依據(jù)Taylor展開，而徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法則沒有完善的框架或者普遍適應(yīng)的理論。目前國外徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法誤差分析方面，做得比較好的是Schaback，他對(duì)求解一階發(fā)展方程做了比較完整的分析，國內(nèi)復(fù)旦大學(xué)的吳宗敏教授則采用另外一種方法，對(duì)求解拋物方程的無網(wǎng)格法進(jìn)行誤差分析。至于高階發(fā)展方程與方程組的無網(wǎng)格法誤差分析，目前的參考文獻(xiàn)很少，且對(duì)于徑向基函數(shù)的無

16、網(wǎng)格法也未形成統(tǒng)一或者普遍適用的理論體系。（2）權(quán)函數(shù)的類型及其參數(shù)的大小對(duì)無網(wǎng)格方法的精度和收斂性有較大的影響。一般是對(duì)這些參數(shù)應(yīng)用數(shù)值試探的方法給出一個(gè)合理的范圍，然而這一范圍往往又和具體的問題有關(guān)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)及分布、基函數(shù)階次變化時(shí)，權(quán)函數(shù)中的參數(shù)也要作相應(yīng)的調(diào)整，可是到目前為止還沒有確定這些參數(shù)的理論方法。如何選取權(quán)函數(shù)及其參數(shù)需要進(jìn)行理論研究。綜上所述，無網(wǎng)格法才剛剛起步，相應(yīng)的誤差分析體系雛形尚未形成，需要我們一起慢慢探索研究。1.4 課題的難點(diǎn)、重點(diǎn)、核心問題及方向本課題的核心問題是利用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程以及Maxwell方程組，并做相應(yīng)的誤差分析。重點(diǎn)放在分析徑向基

17、函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程以及Maxwell方程組的誤差。由于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法才剛剛起步，沒有比較完整的誤差分析框架，相應(yīng)的參考文獻(xiàn)和資料也很少，本課題的難點(diǎn)是在前人沒有對(duì)徑向基函數(shù)求解Maxwell方程組進(jìn)行誤差分析的前提下，探索出一種方法能對(duì)徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法進(jìn)行誤差分析。本課題的主要工作內(nèi)容如下：（1）介紹用基于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程，借助有限差分作為橋梁，比較兩種方法的相對(duì)誤差，理論分析與推導(dǎo)，求出相對(duì)誤差范圍，進(jìn)而理論分析出徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程的理論的誤差。（2）把波動(dòng)方程化成等價(jià)的單向波疊加形式，介紹用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解，并做理論誤差分析。（3）介紹用徑向基函

18、數(shù)無網(wǎng)格法求解Maxwell方程組，并重點(diǎn)放在分析徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差。由于問題由方程擴(kuò)展到了方程組形式，加大了問題的難度。但仍利用有限差分作為橋梁，比較兩種方法存在的相對(duì)誤差，理論分析與推導(dǎo)，得出相對(duì)誤差的范圍，進(jìn)而分析出徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解Maxwell的誤差。（4）把Maxwell方程組通過變換化為常微分方程組形式，介紹用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解方程，并做理論誤差分析。（5）引入算子，利用徑向基函數(shù)插值理論，結(jié)合常微分方程的相關(guān)理論，直接分析徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解Maxwell的誤差。第2章 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法第2章 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法 本章首先介紹幾種常見數(shù)值方法及其優(yōu)缺點(diǎn)，然后重

19、點(diǎn)介紹了無網(wǎng)格方法、徑向基函數(shù)以及徑向基函數(shù)的插值原理，為后面章節(jié)求解用基于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法求解波動(dòng)方程以及Maxwell方程組做鋪墊。下面首先簡要介紹下常見數(shù)值方法。工程實(shí)際中許多力學(xué)問題都可以歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解一組偏微分方程組。對(duì)于偏微分方程的求解方法可分為解析法與數(shù)值方法兩大類。解析法是直接求解問題的基本方程，得到解析解，這種方法通常只對(duì)某些簡單問題才能得出閉合形式的解答，一般難以求得解析解。這是由于邊界的幾何形狀或問題本身的一些特性很復(fù)雜。對(duì)此類問題的解決通常是引入簡化假設(shè)，將方程和幾何邊界簡化為能夠處理的情況，從而得到問題在簡化狀態(tài)下的解答。但是這種方法只在有限的情況

20、下是可行的，因?yàn)檫^多的簡化可能導(dǎo)致誤差很大甚至錯(cuò)誤的解答，然而解出問題又是十分必要的，由此人們想出了各種近似方案，雖然不能精確滿足方程式，但這對(duì)解決問題己經(jīng)可以達(dá)到要求了。這種求解途徑和方法就是一數(shù)值解法。 雖然對(duì)所有數(shù)值方法來說，得到的都是近似解，但是他們能利用計(jì)算機(jī)程 序得到足夠準(zhǔn)確的結(jié)果。特別是近40年來，隨著電子計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)值解法己成為求解科學(xué)技術(shù)問題的主要工具。無網(wǎng)格方法是近年來迅速興起的一種數(shù)值分析方法。它克服了有限元和邊界元等數(shù)值方法有網(wǎng)格的缺陷，采用基于點(diǎn)的近似，徹底或部分地消除網(wǎng)格，完全避免了網(wǎng)格的再生成，比傳統(tǒng)的有限元更加靈活和有效，因此成為求解微分方程的

21、一種重要且具有廣闊發(fā)展和應(yīng)用前景的方法。2.1 計(jì)算力學(xué)中的主要數(shù)值方法簡介2.1.1 有限差分方法最早出現(xiàn)的數(shù)值方法以有限差分法(Finite Difference Method，簡記為 FDM)為代表，其基本思想是將求解域劃分為網(wǎng)格，在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上用差分方程近似微分方程，通過直接求解基本方程和相應(yīng)定解條件的近似差分方程獲得問題的近似解。借助于有限差分法，能夠求解某些相當(dāng)復(fù)雜的問題。 特別是求解建立于空間坐標(biāo)系的流體流動(dòng)問題，具有自己的優(yōu)勢(shì)，因此在流體力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)占有重要地位。但是用于幾何形狀復(fù)雜的問題時(shí)，它的精度將會(huì)降低，甚至發(fā)生困難12。2.1.2 有限元法 有限元法(或稱有限單元法)，它是

22、將要分析的連續(xù)物體或工程結(jié)構(gòu)分割為很多較小的區(qū)域(稱為單元或元素)，這些單元的集合體就代表原來的物體或工程結(jié)構(gòu)，然后建立每個(gè)單元的有關(guān)特性的關(guān)系式，再組合起來就能求得相應(yīng)物體或工程結(jié)構(gòu)問題的解答。從數(shù)學(xué)角度來說，有限元法是從變分原理或加權(quán)殘數(shù)法出發(fā)，通過區(qū)域剖分和分片插值，把微分方程的邊值問題化為等價(jià)的一組線性代數(shù)方程來求解。有限元法作為數(shù)值分析方法的另一個(gè)重要特點(diǎn)是利用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)或及其 導(dǎo)數(shù)在單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值和其插值函數(shù)來表達(dá)。這樣一來，一個(gè)問題的有限元分析中，未知場(chǎng)函數(shù)或及其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值

23、就成為新的未知量(也即自由度)，從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。一經(jīng)求解出這些未知量，就可以通過插值函數(shù)計(jì)算出各個(gè)單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的近似值，從而得到整個(gè)求解域上的近似解。在有限元法中，最終求解的是線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)矩陣總是對(duì)稱和稀疏的。有限元法不僅適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，而且很容易通過對(duì)不同的單元規(guī)定不同的性質(zhì)，成功地用于多種介質(zhì)和非均勻連續(xù)介質(zhì)的問題，這是其它數(shù)值方法最難于處理的問題。人們己用有限元法來求解各種力學(xué)和非力學(xué)問題，線性和非線性問題，均取得很好的成效。有限元法特別適合于求解大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)問題。盡管有限元法己經(jīng)發(fā)展的十分成熟，但由于其網(wǎng)

24、格的存在使得它在求解一些工程問題時(shí)變得相對(duì)困難。歸納起來，有限元的弱點(diǎn)主要體現(xiàn)在34：首先，在應(yīng)用有限元分析一個(gè)問題時(shí)，很多人力都用在網(wǎng)格的劃分上。真正用于分析計(jì)算的CPU時(shí)間一般較短。在人力越來越昂貴，而CPU費(fèi)用越來越便宜的今天，這一問題顯得尤為突出。其次，有限元采用了分片連續(xù)的形函數(shù)，并且形函數(shù)的階次較低，使得有限元所求得的應(yīng)力精度相對(duì)較低，因此在有限元應(yīng)用中需要復(fù)雜和費(fèi)時(shí)的后處理過程。再次，有限元在處理一些復(fù)雜的問題時(shí)會(huì)遇到困難，如:極度大變形問題、動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展問題、高速?zèng)_擊及幾何畸變問題、材料裂變問題、金屬材料成型問題和多相變問題等。用有限元分析這些問題時(shí)，由于巨大的網(wǎng)格畸變或單元分

25、裂等造成有限元求解的困難甚至導(dǎo)致求解的失敗。 2.1.3 邊界元法邊界元法是繼有限元法之后的一種別具特色的新的數(shù)值方法，它是將描述彈性力學(xué)問題的偏微分方程邊值問題化為邊界積分方程并吸收有限元的離散化技術(shù)而發(fā)展起來的。它包含有限元法的思想，把有限元法的按求解域劃分單元離散的概念移植到邊界積分方程方法中，但邊界元法不是有限元法的改進(jìn)或發(fā)展，二者存在著本質(zhì)的差異。邊界元法的實(shí)踐證明，它對(duì)于一般單一介質(zhì)問題，尤其是無限區(qū)域問題、三維空間問題或帶奇異性的問題，具有明顯的優(yōu)越性。其主要優(yōu)點(diǎn)有:(1)在邊界上劃分單元，這樣研究的空間維數(shù)降低了一維，單元數(shù)和未知數(shù)少，數(shù)據(jù)準(zhǔn)備簡單，所需機(jī)時(shí)和內(nèi)存少，使解題較為

26、經(jīng)濟(jì)。此外，由離散引起的誤差僅限于邊界，從而提高了計(jì)算精度; (2)易于求解無限域問題; (3)工程中的奇異問題，如裂縫尖端的應(yīng)力集中問題，用有限元法求解時(shí)，在尖端處要把單元分得更密，而邊界元法的基本解本身就具有奇異性，無需在域內(nèi)劃分單元。 實(shí)際上，任何一種方法都不是完美的，邊界元法也有其不足的方面: (1)其線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是滿秩而不對(duì)稱的; (2)當(dāng)計(jì)算區(qū)域包含有許多種不同性質(zhì)的介質(zhì)時(shí)，要?jiǎng)澐譃槿舾蓚€(gè)分區(qū)，增加了各分區(qū)交界面上的未知數(shù); (3)當(dāng)存在域內(nèi)作用源如體力、滲流荷載或熱源等，以及進(jìn)行彈塑性分析塑性影響要化為體力作用時(shí)，往往還要把計(jì)算區(qū)域(或一部分)劃分單元進(jìn)行域內(nèi)數(shù)值積分

27、的計(jì)算，加大了編程、輸入和計(jì)算的工作; (4)在分析非線性問題時(shí)，需要在域內(nèi)離散，則維數(shù)降低的作用不明顯。2.1.4 無網(wǎng)格法有限元、邊界元等方法都是以單元為基礎(chǔ)的，因此存在一個(gè)共同的缺點(diǎn)是，每次計(jì)算前都要剖分網(wǎng)格，數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作量大，尤其是對(duì)三維問題。當(dāng)這類方法用于涉及到網(wǎng)格畸變或網(wǎng)格移動(dòng)的問題時(shí)，往往得不到滿意的計(jì)算結(jié)果，對(duì)于大變形問題，有限元等方法在處理時(shí)往往需要網(wǎng)格重構(gòu)(remeshing)，這就使得計(jì)算成本大幅度提高，盡管目前已有一些網(wǎng)格自動(dòng)生成器，但對(duì)于復(fù)雜的幾何模型，計(jì)算成本還是十分昂貴，而且計(jì)算精度也無法保證。因此，人們不斷地探索不用網(wǎng)格單元的數(shù)值方法，無網(wǎng)格方法就是在這樣的背景

28、下產(chǎn)生的。下面將重點(diǎn)介紹無網(wǎng)格方法。2.2 無網(wǎng)格法簡介 2.2.1 無網(wǎng)格定義無網(wǎng)格法(也稱無單元法)是相對(duì)于單元離散型數(shù)值方法(有限元，邊界元等)提出的，也是把一個(gè)無限自由度問題化為有限維問題的數(shù)值方法。但無網(wǎng)格法是將計(jì)算域通過一系列互不相干的點(diǎn)來離散的，而非單元離散。它與有限元的主要不同之處在于形函數(shù)的構(gòu)造上，這是無網(wǎng)格法最基本，又是最核心的問題。前者是通過全域的點(diǎn)來插值或擬合，而后者是在局部單元上由節(jié)點(diǎn)插值得來。由此定義:只要一個(gè)邊值問題的離散模型不依賴于事先定義好的固定的網(wǎng)格，即離散點(diǎn)之間無固定的連接，就可以認(rèn)為該方法是一種無網(wǎng)格方法。它的最低要求是:至少在進(jìn)行場(chǎng)量近似時(shí)不需要事先定

29、義好的網(wǎng)格。2.2.2 無網(wǎng)格法的基本思想以有限差分法、有限元法和邊界元法為代表的傳統(tǒng)數(shù)值方法，其基本思想是將求解域離散為網(wǎng)格。雖然邊界元法將求解問題的維數(shù)降低了一階， 但是在求解三維問題時(shí)仍需要在二維邊界上劃分網(wǎng)格，求解非線性問題時(shí)更要在求解域內(nèi)劃分網(wǎng)格計(jì)算積分項(xiàng)。這種近似思想稱為基于網(wǎng)格的近似。無網(wǎng)格法的基本思想是將整個(gè)求解域離散為一系列獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)，然后采用一種與權(quán)函數(shù)(或稱為核函數(shù))有關(guān)的近似方案，使求解域上的節(jié)點(diǎn)可以影響整個(gè)域上任何一點(diǎn)的力學(xué)特性，進(jìn)而求得問題的解，這樣就完全拋棄了網(wǎng)格的生成和重化。無網(wǎng)格法的發(fā)展和研究中，如何成功地構(gòu)造無網(wǎng)格形函數(shù)是我們所面臨的核心問題，目前，無網(wǎng)格方

30、法形函數(shù)的構(gòu)造法主要有:核函數(shù)法、移動(dòng)最小二乘法、單位分解法、徑向基函數(shù)和點(diǎn)插值法等。近二十年來，產(chǎn)生了基本解方法、Trefftz方法、移動(dòng)最小二乘逼近、徑向基無網(wǎng)格方法等無網(wǎng)格法。下面重點(diǎn)介紹徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法。2.2.3 無網(wǎng)格法的優(yōu)缺點(diǎn)無網(wǎng)格法獨(dú)特的算法思路，具有以下優(yōu)點(diǎn)5:（1）無網(wǎng)格法的近似函數(shù)基于節(jié)點(diǎn)展開，沒有網(wǎng)格依賴性，減少了因網(wǎng)格畸變而引起的困難，適用于處理高速碰撞、動(dòng)態(tài)斷裂、塑性流動(dòng)等涉及大變形和需要?jiǎng)討B(tài)調(diào)整節(jié)點(diǎn)位置的各類應(yīng)用問題。（2）無網(wǎng)格法的基函數(shù)可以包含能夠反映待求問題特性的函數(shù)系列，適用于分析各類具有高梯度、奇異性等特殊性質(zhì)的應(yīng)用問題。（3）采用緊支函數(shù)的無網(wǎng)格法

31、和有限元法一樣具有帶狀稀疏矩陣的特點(diǎn)，適用于求解大型科學(xué)與工程問題。（4）無網(wǎng)格法以節(jié)點(diǎn)分布，自適應(yīng)很強(qiáng)，可擬合任意區(qū)域和多尺度結(jié)構(gòu)問題。（5）無網(wǎng)格法的前處理只要節(jié)點(diǎn)位置信息，不用網(wǎng)格信息，抗畸變能力強(qiáng)，容易分析復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)。 （6）無網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果是光滑連續(xù)的，不需要后期插值處理。當(dāng)然無網(wǎng)格法也存在一些需待解決的問題: (1)由于大多數(shù)無網(wǎng)格法的形函數(shù)不具有delta函數(shù)性質(zhì)，處理本質(zhì)邊界條件便成為一個(gè)難點(diǎn); (2)計(jì)算量大是一個(gè)很突出的問題，無網(wǎng)格法一般比傳統(tǒng)的有限元、邊界元法更費(fèi)機(jī)時(shí)，其主要原因是它在每一點(diǎn)都需計(jì)算一次形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，這其中都涉及矩陣求逆及多個(gè)矩陣的相乘，從而影響計(jì)算效率

32、; (3)在一些影響精度的關(guān)鍵問題上，比如說影響域半徑的確定、節(jié)點(diǎn)分布方式、權(quán)函數(shù)及參數(shù)的選取上，目前仍沒有具體的章法可循。往往是具體問題具體分析，具有很大的人為性; (4)無網(wǎng)格法在工程中的應(yīng)用有待不斷研究和探索，各具特色的無網(wǎng)格方法找到最適宜解決的工程問題還需大量的工程實(shí)踐檢驗(yàn)。 總之，由于無網(wǎng)格法在場(chǎng)函數(shù)近似和對(duì)局部特性的描述方面具有有限元法等方法不可比擬的優(yōu)點(diǎn)，因此，無網(wǎng)格方法必將對(duì)計(jì)算力學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生巨大的影響。 2.3 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法插值原理2.3.1 徑向基函數(shù)及其應(yīng)用背景基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法是無網(wǎng)格方法的一種，它取徑向函數(shù)為插值基函數(shù)。RBF法的計(jì)算模型取為配點(diǎn)形式，近似

33、函數(shù)為全域RBF或緊支撐RBF，這使得它相對(duì)其它方法具有優(yōu)勢(shì)。首先，在近似函數(shù)方面，RBF較網(wǎng)格法中的低階多項(xiàng)式有更高近精度且具有連續(xù)性和無限可微優(yōu)點(diǎn)，而相對(duì)于移動(dòng)最小二乘近似，其計(jì)算大幅減小，尤其是徑向函數(shù)定義為距離的函數(shù)，因此對(duì)空間的維數(shù)不敏感，高維空間（二維和三維）問題分析中優(yōu)勢(shì)更加突出；其次，RBF法采用配點(diǎn)形求解中無需背景網(wǎng)格支持，徹底擺脫網(wǎng)格的限制，是純粹的無網(wǎng)格法；最后于采用插值而不是擬合近似，避免了強(qiáng)制邊界條件的處理問題。綜合上述種種特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，RBF法將是無網(wǎng)格法中很有應(yīng)用潛力的方法，也將成為電磁場(chǎng)計(jì)算重要方法。徑向基函數(shù)又稱距離基函數(shù)，是一種特殊的函數(shù)，具有形式簡單、空間維

34、數(shù)無關(guān)和各向同性等優(yōu)點(diǎn)，它可以逼近幾乎所有的函數(shù)。因此，用其進(jìn)行插值在多元逼近論中已成為一種強(qiáng)有力的工具。以徑向基函數(shù)為基礎(chǔ)的近似方法，數(shù)學(xué)界的學(xué)者們已做了大量的工作，然而在工程應(yīng)用中卻很少涉及。因此，將徑向基函數(shù)應(yīng)用于工程實(shí)際計(jì)算中具有重要意義。徑向基函數(shù)插值方法在過去的二十年廣泛應(yīng)用于多元函數(shù)插值、圖像重構(gòu)、結(jié)構(gòu)逼近、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等數(shù)學(xué)及工程應(yīng)用領(lǐng)域，在理論上及應(yīng)用上都取得了極大地成功，并在十年前應(yīng)用于偏微分方程的數(shù)值求解技術(shù)，但這方面的研究目前仍處于不太成熟的階段。徑向基函數(shù)是定義在以點(diǎn)到離散節(jié)點(diǎn)的距離為自變量的函數(shù)，具有形式簡單、各向同性、空間維數(shù)無關(guān)等優(yōu)點(diǎn)，是多變量函數(shù)插值的有力工具。徑

35、向基函數(shù)插值的基本過程是6：設(shè)為中的離散點(diǎn)集合，為Euclidean范數(shù)，則點(diǎn)集的密度定義為： （2-1）記,若存在常數(shù)，使得，就稱點(diǎn)集X為擬一致分布。記為插值矩陣的最小特征值，權(quán)函數(shù)，為函數(shù)在由徑向基函數(shù)生成的本性空間中的插值， （2-2）和有關(guān)系 （2-3）這種關(guān)系說明插值誤差越小，插值矩陣的條件數(shù)就越大，這種情況被稱為不穩(wěn)定性。若點(diǎn)集為擬一致分布的，關(guān)于，有以下估計(jì)： （2-4）其中的和的表達(dá)式依賴于基函數(shù)的選擇。 徑向基函數(shù)可分為全域徑向基函數(shù)(GBLRBF)和正定緊支徑向基函數(shù)(CSRBF)。 全域徑向基函數(shù)是作用范圍在全域內(nèi)的徑向基函數(shù)，常見全域徑向基函數(shù)有：Polyharmoni

36、cs plines多諧波樣條徑向基函數(shù) ，其中為偶數(shù) （2-5）Multiquadrics(MQ)多重二次曲面徑向基函數(shù) （2-6）Gaussians高斯徑向基函數(shù) （2-7）其中稱為形參數(shù)，是大于零的常數(shù)。正定緊支徑向基函數(shù)是作用范圍在局部域內(nèi)的徑向基函數(shù)，常見的正定緊支徑向基函數(shù)有：Wendland提出的正定緊支徑向基函數(shù)： （2-8） （2-9）吳宗敏的CS-RBF為： （2-10）上面介紹的均為常用的徑向基函數(shù)，在插值計(jì)算中，使用全域徑向基函數(shù)精度很高，F(xiàn)rank曾做了大量的各種離散數(shù)據(jù)插值方法的實(shí)例比較7，得出徑向基函數(shù)插值的結(jié)果最使人滿意，并且發(fā)現(xiàn)Hardy提出的MQ函數(shù)8和Dnc

37、hon提出的TPS函數(shù)的插值精度最高。 利用徑向基函數(shù)進(jìn)行無網(wǎng)格偏微分方程數(shù)值解的研究還只是剛剛起步。在偏微分方程數(shù)值解中大量的研究結(jié)果都可以移植到這個(gè)新方法上。 由于RBF所具有的重要優(yōu)點(diǎn):其表示與計(jì)算均非常簡單(由一個(gè)給定的一元函數(shù)表示)，RBF插值將是一種很有發(fā)展前景的無網(wǎng)格形函數(shù)構(gòu)造法。下面介紹基于徑向基函數(shù)的插值近似原理。2.3.2 徑向基函數(shù)插值近似數(shù)據(jù)插值過程即是通過給定的離散數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)，尋求一個(gè)能逼近未知函數(shù)的近似函數(shù)，要求近似函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值與原函數(shù)相等。RBF插值即是在插值中選用徑向函數(shù)作為基函數(shù)的插值方式。對(duì)數(shù)值精度的影響因素：（1）節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取與分布情況 （2）徑向

38、基種類。通常在插值中可根據(jù)問題給定條件的差異，將插值大體分為直接插值方法（包括拉格朗日插值和牛頓插值）和帶導(dǎo)數(shù)條件的Hermite插值方法。同樣，對(duì)于RBF插值，與之對(duì)應(yīng)的方法包括Kansa插值、Hermite插值和擬插值等。本文重點(diǎn)介紹Kansa提出的不對(duì)稱配置插值，并采用不對(duì)稱配置插值求解波動(dòng)方程和Maxwell方程組。給定一連續(xù)的實(shí)值函數(shù)，若滿足，其中為歐幾里德范數(shù)，則稱為徑向基函數(shù)。所有形如及其線性組合張成的函數(shù)空間稱為由函數(shù)導(dǎo)出的徑向基函數(shù)空間。在一定的條件下，只要取兩兩不同，就是線性無關(guān)的,從而形成徑向基函數(shù)空間中某子空間的一組基。當(dāng)幾乎充滿R時(shí)，及其線性組合可以逼近幾乎任何函數(shù)。

39、下面具體介紹徑向基函數(shù)插值近似原理。徑向基函數(shù)插值近似,首先將求解區(qū)域以節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散，然后將待求函數(shù)的近似函數(shù)通過各節(jié)點(diǎn)上徑向基函數(shù)進(jìn)行插值 （2-11） 其中為待求系數(shù), 表示各節(jié)點(diǎn)上的徑向基函數(shù)，因?yàn)樗屈c(diǎn)到節(jié)點(diǎn)距離的函數(shù)，具有對(duì)稱性，所以徑向基函數(shù)近似是以節(jié)點(diǎn)為中心的徑向基函數(shù)展開。令近似函數(shù)在個(gè)節(jié)點(diǎn)處的近似值等于函數(shù)在該節(jié)點(diǎn)處的值，即 （2-12） 從而可以得到關(guān)于待定系數(shù)的個(gè)線性方程組： （2-13）其中. 用矩陣和向量符號(hào)描述上述方程,令 （2-14） （2-15） （2-16）則可以將（213）寫成矩陣方程形式： （2-17）又因?yàn)閺较蚧瘮?shù)具有對(duì)稱性，其在兩點(diǎn)的互作用相等，即,

40、所以矩陣為對(duì)陣矩陣。從而得出： （2-18）將（2-18）代入（2-11），得到任意節(jié)點(diǎn)上的近似函數(shù)插值表達(dá)式： （2-19） 向量成為新的待求系數(shù)向量，上式構(gòu)造出新的形函數(shù)向量： （2-20） 因?yàn)閺?qiáng)制在每個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的近似值等于準(zhǔn)確值，這樣（2-20）構(gòu)造出的形函數(shù)的值滿足Delta性質(zhì) （2-21）由（2-19）知，待求函數(shù)可以由形函數(shù)和待求函數(shù)在離散節(jié)點(diǎn)值表示出來。在求解具體的偏微分方程中，未知函數(shù)可能具有多階導(dǎo)數(shù)形式，從（2-19）可以看出，其近似函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只與形函數(shù)相關(guān)，而形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)從方程（2-20）可以看出，矩陣A為常矩陣，其形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只與徑向基函數(shù)相關(guān)。2.4 本章小節(jié) 本

41、章簡要介紹了無網(wǎng)格方法、無網(wǎng)格方法的思想、徑向基函數(shù)、徑向基函數(shù)的種類以及徑向基函數(shù)的插值理論，這是本課題的基礎(chǔ)章節(jié)。后面的章節(jié)將介紹用基于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程和Maxwell方程組以及相應(yīng)的誤差分析。第3章 波動(dòng)方程中的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法第3章 波動(dòng)方程中的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法本章主要介紹用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程，以及對(duì)其進(jìn)行理論誤差分析，其中重點(diǎn)分析徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差。國內(nèi)復(fù)旦大學(xué)的吳宗敏教授已經(jīng)對(duì)拋物方程的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差進(jìn)行了比較完整的分析9，而波動(dòng)方程由于對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)，加大了問題的難度。分析徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差時(shí)，本文借助有限差分(FDTD)作為橋

42、梁，比較有限差分和徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的相對(duì)誤差，理論推導(dǎo)求出相對(duì)誤差的范圍，進(jìn)而得出徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差。下面首先簡要介紹用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程。3.1 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程拋物方程和雙曲型偏微分方程均依賴于時(shí)間，這類方程稱為發(fā)展方程。對(duì)于發(fā)展方程，需要初始條件和一定的邊界條件。對(duì)于只給出初始條件的問題，我們稱其為Cauchy問題；而給出邊界條件的為初邊值問題。由于吳宗敏教授已經(jīng)對(duì)徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法求解拋物方程做出了比較完整的分析9，所以本章節(jié)只分析徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程。本課題著重討論初邊值問題的波動(dòng)方程，至于Cauchy問題的波動(dòng)方程的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格解法

43、及誤差分析類同，所以不另作討論?？紤]波動(dòng)方程 （3-1）用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程，由第二章中徑向基函數(shù)插值近似原理知，可令待求函數(shù)的近似函數(shù)為 （3-2）其中,此向量為待求系數(shù), N表示離散節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。.把（3-2）式代入（3-1），然后依次在點(diǎn)取值。則原偏微分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的常微分方程： （3-3）其中,，由第二章的分析可知，是對(duì)稱矩陣，可逆。另外.因?yàn)槭强赡婢仃嚕苑匠蹋?-3）可以轉(zhuǎn)化為 （3-4）采用差分法離散（3-4），得 （3-5）由（3-5）式，結(jié)合（3-1）式，可以得出，再由（3-2）式，得出，從而得出波動(dòng)方程的數(shù)值解。上面介紹了用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法求解波動(dòng)方程的具

44、體步驟和過程，下面探究徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法的誤差。3.2 徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程誤差分析.誤差定義為準(zhǔn)確值減去近似值，但是由于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解的波動(dòng)方程得出的數(shù)值解與精確解很難建立相應(yīng)關(guān)系式，如果直接求兩者的差，存在較大的困難。所以本課題借助有限差分(FDTD)作為橋梁，比較有限差分和徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的相對(duì)誤差，理論推導(dǎo)求出相對(duì)誤差的范圍，進(jìn)而得出徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差。3.2.1 建立無網(wǎng)格法和有限差分法相對(duì)誤差關(guān)系式令,則表示徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程所得的近似解。由（3-5）可以得出波動(dòng)方程近似解的關(guān)系式，令等式兩邊同乘以矩陣，從而得出： （3-6）又因?yàn)橛糜邢薏罘?/p>

45、求解波動(dòng)方程時(shí)，波動(dòng)方程可差分離散化為： （3-7）其中表示有限差分求解波動(dòng)方程所得的近似解。為方便起見，用表示，用表示，并且令，從而得出如下遞推關(guān)系式： （3-8）為了建立徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法與有限差分法的相對(duì)誤差關(guān)系式，需要把（3-6）式轉(zhuǎn)化成（3-8）一樣的格式，對(duì)于（3-6）式，統(tǒng)一取向量的第個(gè)分量得： （3-9）其中表示的第個(gè)分量，即無網(wǎng)格法所求的解對(duì)求兩次導(dǎo)后在指定節(jié)點(diǎn)處的值，而剩余量 （3-10）因?yàn)楸硎镜牡趥€(gè)分量，即無網(wǎng)格法所求的解對(duì)求兩次導(dǎo)后在指定節(jié)點(diǎn)處的值，則根據(jù)徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法插值理論10,17可以得出： （3-11）其中表示徑向基函數(shù)呈階單調(diào)衰減。又因?yàn)楦鶕?jù)有限差分理論

46、可知： （3-12）結(jié)合（3-11）與（3-12），由（3-10）可以得出： （3-13）現(xiàn)引進(jìn)相對(duì)誤差：，則（3-8）減去（3-9），可建立相對(duì)誤差的關(guān)系式： （3-14） （3-15） 這是一個(gè)三重格式，相比二重格式，加大了分析相對(duì)誤差范圍的難度，所以研究波動(dòng)方程的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法誤差比研究拋物方程要難很多。下面給出徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程誤差的定理1。定理1 當(dāng)時(shí)，徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程的誤差為 。下面給出定理的具體證明過程。3.2.2 求徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法誤差上小節(jié)已經(jīng)給出了相對(duì)誤差的關(guān)系式，是一個(gè)三重格式。欲求徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法誤差，得先求相對(duì)誤差的范圍，而欲求相對(duì)

47、誤差范圍，得求相對(duì)誤差的表達(dá)式，所以本節(jié)分三部分講述如何求徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法誤差。（1）求相對(duì)誤差的表達(dá)式把（3-14）的三重格式化為二重格式，為此引進(jìn)兩個(gè)參數(shù)，令，于是（3-14）轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的二重格式： （3-16）把（3-16）寫成向量形式，令,則得出： （3-17）為求出相對(duì)誤差的表達(dá)式，引入,則可以得出遞推表達(dá)式： （3-18）其中矩陣是由（3-17）確定，并且為三對(duì)角塊矩陣，.于是由于（3-18），可以逐步迭代求出最終表達(dá)式： （3-19）從而得出： （3-20）又因?yàn)?，以及?-13）推算出的剩余量的范圍，可以得出： (3-21)所以欲確定相對(duì)誤差的范圍，關(guān)鍵是確定，下面將主要

48、介紹怎么確定。（2）利用差分穩(wěn)定性，確定范圍從上面的推導(dǎo)過程可以看出，推導(dǎo)格式與用有限差分求解波動(dòng)方程時(shí)做誤差和穩(wěn)定性分析的格式類似，只是多了個(gè)剩余變量。所以欲討論的范圍，只需要討論有限差分的穩(wěn)定性。下面介紹具體過程：考慮到用差分法求解波動(dòng)方程，則得出(3-22)同理，令，則可以把（3-22）的三重格式化為二重格式： （3-23）令,同理可以得出： （3-24） （3-25） 所以欲求出 范圍轉(zhuǎn)化為探求的穩(wěn)定性，從而轉(zhuǎn)化為探求（3-24）格式的穩(wěn)定性。令，于是（3-24）轉(zhuǎn)化為：于是得出增長矩陣： （3-26）特征值滿足方程，當(dāng)時(shí)，此格式穩(wěn)定。而若使得，分析特征方程得出。所以綜上所述，當(dāng)，此格

49、式穩(wěn)定，進(jìn)而由穩(wěn)定性定理知，使得 . （3-27）（3）求徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差 由（3-20）式知，欲確定相對(duì)誤差的范圍，現(xiàn)在只需確定的范圍即可。又因?yàn)?，?,其中，所以得出： （3-28）綜上所述，結(jié)合（3-20）、（3-21）、（3-27）與（3-28）知，當(dāng) ，有 (3-29)其中為任意大于或者等于的常數(shù)，各向量的范數(shù)均定義為上確界范數(shù)。綜上所述，從（3-29）可以看出，兩種方法相對(duì)誤差的范圍小于或等于，而有限差分的誤差為，所以得出徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程的誤差為，或者誤差更小。3.3 波動(dòng)方程的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格解法二前面介紹的是直接采用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程，本節(jié)將介

50、紹先把波動(dòng)方程等價(jià)形式，然后采用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解，最后對(duì)徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法進(jìn)行誤差分析。對(duì)于波動(dòng)方程，通過一系列變換把波動(dòng)方程化為等價(jià)的單向波方程組形式，首先令，于是原波動(dòng)方程可以轉(zhuǎn)化為如下等價(jià)的方程組形式： （3-30）再令,則（3-30）轉(zhuǎn)化為等價(jià)的單向波方程組形式： （3-31）現(xiàn)在采用無網(wǎng)格法求解方程組（3-31），得出的解，進(jìn)而求出的解，對(duì)積分，再利用初始條件得出波動(dòng)方程的近似解。吳宗敏教授對(duì)徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法求解拋物方程做出了比較完整的誤差分析知9，的徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法誤差范圍均為，又因?yàn)?，從而得出徑向基函?shù)無網(wǎng)格法誤差范圍均為，最后對(duì)積分，最終得出徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差范圍為。3.4 本章小節(jié) 本章介紹了用徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法求解波動(dòng)方程，并重點(diǎn)放在分析徑向基函數(shù)無網(wǎng)格法的誤差。由于無網(wǎng)格方法作為一種新的數(shù)值方法，