川省綿陽市高考數(shù)學(xué)一診試卷文科

1、2021年四川省綿陽市高考數(shù)學(xué)一診試卷(文科)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的.1. (5 分)設(shè)集合 A=x Z| (x-4) (x+1)V 0 , B=2, 3, 4，那么 AH B=()A. (2，4) B. 2，4 C. 3 D. 2，32. (5分)假設(shè)x>y,且x+y=2,那么以下不等式成立的是()A. x2<y2 B.C. x2> 1D. y2v 1x y3. (5分)向量a=(x-L, 2), 1=(為1)，假設(shè)力"b,那么x的值是()A. - 1 B. 0 C. 1D. 24.

2、(5分)假設(shè)t皿(斗)二2,那么tan2 a( )A.- 3 B. 3 C D.5. (5分)某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米3元收費(fèi)；用水超過10立方米的，超過的局部按每立方米 5元收費(fèi).某職工某月繳水 費(fèi)55元，那么該職工這個(gè)月實(shí)際用水為()立方米.A. 13 B. 14 C. 15 D. 166. (5 分)命題 p： ?x° R,使得 ex0<0:命題 q： a, b R,假設(shè)| a- 1| =| b - 2|，那么 a-b=- 1,以下命題為真命題的是()A. p B. ?q C. p V q D. p A q7.

3、 (5 分)函數(shù) f (x)滿足 f (x+2) =f (x),且當(dāng)-1 <x< 1 時(shí)，f (x) =| x| .假設(shè)函數(shù) y=f (x)的圖象與函數(shù)g (x) =logax (a> 0,且a 1)的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，貝U a的取值集合為()A. (4, 5) B. (4, 6) C. 5 D. 68. (5分)函數(shù)f (x) =sin?x+；cos?x(?>0)圖象的最高點(diǎn)與相鄰最低點(diǎn)的距離是.7 ,假設(shè)將 y=f (x)的圖象向右平移 個(gè)單位得到y(tǒng)=g (x)的圖象，那么函數(shù)y=g (x)圖象的一條對(duì)稱軸方程是( )1|15A. x=0 B.區(qū)="D

4、.TT9. (5 分)在厶 ABC中，“Cy是 “sinA=cos的)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件10. 5分Ovavbv 1,給出以下結(jié)論：丄 丄/；5壯喬I壯b.y y那么其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是A. 3個(gè)B. 2個(gè)C. 1個(gè)D. 0個(gè)11. 5分xi是函數(shù)f x =x+1 - In x+2的零點(diǎn)，X2是函數(shù)g x =x求函數(shù)f x的解析式； 設(shè)a E Os羋，且玫a月¥，求sin2 a勺值. - 2ax+4a+4的零點(diǎn)，且滿足| X1 - x2| < 1,那么實(shí)數(shù)a的最小值是A. 2- 2 : B. 1- 2 : C.- 2 D

5、.- 112. 5分a,b,c R,且滿足b2+c2=1,如果存在兩條互相垂直的直線與函數(shù) fx=ax+bcosx+csinx的圖象都相切，貝U a+YX-r丸的取值范圍是A. - 2, 2 B.框，V5】C.框，晶D.噸莎 也二、填空題每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上613. 5分變量x, y滿足約束條件x-3y<-2，那么z=2x+y的最小值是.14. 5分偶函數(shù)f x在0, +x上單調(diào)遞增，且f 2 =1，假設(shè)f 2x+1v 1,那么x的取值范圍是. 11| t E15. 5分在厶ABC中，AB=2,AC=4, :二，且M ,N是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，貝U=.16. 5分

6、數(shù)列an的首項(xiàng)a1=m,且an+1+an=2n+1,如果an是單調(diào)遞增數(shù)列，那么實(shí)數(shù) m的取值范圍是.三、解答題本大題共5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.TTTT17. 12分假設(shè)函數(shù)f x =Asi nQQ、Q>Q、< tp <的局部圖象如下圖.0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S3=15,且a1, a4, a13成等比數(shù) 列，記數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn.anarrl-l(I )求 Tn；19. (12 分)在厶 ABC中，,D 是邊 BC上一點(diǎn)，且' | -；, BD=2(U)假設(shè)對(duì)于任意的n N*, tTnV an+11恒成立，求實(shí)數(shù)t的取

7、值范圍.(1) 求/ ADC的大??；(2) 假設(shè)一二二；，求 ABC的面積.20. (12 分)函數(shù) f (x) =x3+x2- x+a (a R).(1 )求f (x)在區(qū)間-1 , 2上的最值；(2)假設(shè)過點(diǎn)P (1, 4)可作曲線y=f (x)的3條切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21. (12 分)函數(shù) f (x) =- lnxu 丁2+ (a- 1) x- 2 (a R).(1 )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)a>0,求證：f (x)?-亠.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. (10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，

8、曲線C的參數(shù)方程是廠:,：(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)0 尸4十5宮in 口為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；TTTF(2 )設(shè)113專，L才9 弋，假設(shè)"，12與曲線C分別交于異于原點(diǎn)的A, B兩點(diǎn)，求 AOB 的面積.選修4-5:不等式選講23. 函數(shù) f (x) =|2x- 1|+| 2x+3| .(1 )解不等式f (x)> 6;(2)記f (x)的最小值是 m,正實(shí)數(shù)a, b滿足2ab+a+2b=m,求a+2b的最小值.2021年四川省綿陽市高考數(shù)學(xué)一診試卷(文科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分.在每

9、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的.1. (5 分)設(shè)集合 A=x Z| (x-4) (x+1)V 0 , B=2, 3, 4，那么 AH B=()A. (2，4) B. 2，4 C. 3 D. 2，3【解答】 解：集合 A=x Z| (x-4) (x+1)V 0=x Z| - 1vxv4=0，1，2, 3，B=2, 3, 4，那么 AH B=2, 3,應(yīng)選：D2. (5分)假設(shè)x>y,且x+y=2,那么以下不等式成立的是( )A.y2 B. ：- 一 C. x2> 1D. y2v 1* y【解答】解x> y,且x+y=2, x>2- x, x> 1,

10、故x2> 1正確，應(yīng)選：C3. (5分)向量a=(x-l, 2),(為1),假設(shè)畀b,那么x的值是()A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2【解答】解：根據(jù)題意，向量a=(x-l, 2), &儀，D ,假設(shè)30 b,那么有2x= (x- 1),解可得x=- 1,應(yīng)選：A.4. (5 分)假設(shè) tan(a-_)=2,那么 tan2 a ()A. 3 B. 3 C. D.44【解答】解：如(口丄)二尸說_1，可求tan a 3,as4 丿乙 Rtana. tan2 a亠；匚.1-tan2 1-(-3)2 4應(yīng)選：D.5. (5分)某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出如下規(guī)定：每位職工每

11、月用水不超過10立方米的，按每立方米3元收費(fèi)；用水超過10立方米的，超過的局部按每立方米 5元收費(fèi).某職工某月繳水 費(fèi)55元，那么該職工這個(gè)月實(shí)際用水為()立方米.A. 13 B. 14 C. 15 D. 16【解答】解：設(shè)該職工這個(gè)月實(shí)際用水為 x立方米，每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米3元水費(fèi)收費(fèi)，用水不超過10立方米的繳水費(fèi)不超過30元，該職工這個(gè)月繳水費(fèi)55元，該職工這個(gè)月實(shí)際用水超過10立方米，超過局部的水費(fèi)=(x- 10)X 5，由題意可列出一元一次方程式： 30+ (x 10)X 5=55，解得：x=15，應(yīng)選：C.6. (5 分)命題 p： ?xo R,使得 ex

12、0<0:命題 q： a, b R,假設(shè)| a- 1| =| b 2|，那么 a b= 1,以下命題為真命題的是()A. p B. ?q C. p V q D. p A q【解答】解：由指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0, +x)可得：命題p： 2co R,使得ex0<0為假命題，假設(shè)| a 1| =| b 2|，貝U a 1=b 2或 a1= b+2即a b= 1,或a+b=3，故命題q為假命題，故?q為真命題；pV q, pA q為假命題，應(yīng)選：B7. (5 分)函數(shù) f (x)滿足 f (x+2) =f (x),且當(dāng)-1 <x< 1 時(shí)，f (x) =| x| .假設(shè)函數(shù) y=f

13、 (x)的圖象與函數(shù)g (x) =logax (a>0,且a 1)的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，貝U a的取值集合為()A. (4, 5) B. (4, 6) C. 5 D. 6【解答】解：因?yàn)閒 (x+2) =f (x),所以f (x)的周期為2, 在 x - 1, 1時(shí)，f (x) =| x| .畫出函數(shù)f (x)與g (x) =logax的圖象如以下圖所示;假設(shè)函數(shù)y=f (x)的圖象與函數(shù)g (x) =logax (a>0，且a 1)的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn), 那么函數(shù)g (x) =logax的圖象過(5, 1)點(diǎn)，即 a=5,應(yīng)選：C8. (5分)函數(shù)f (x) =sin?x+；

14、cos?x(?>0)圖象的最高點(diǎn)與相鄰最低點(diǎn)的距離是.7 ,假設(shè)將 y=f (x)的圖象向右平移 二個(gè)單位得到y(tǒng)=g (x)的圖象，那么函數(shù)y=g (x)圖象的一條對(duì)稱軸方程是6( )A. x=0 B. x=C.D.宣二卡【解答】解：函數(shù)f (x) =sin?x+. icos?x=2sin) (?>0)圖象的最高點(diǎn)與相鄰最低點(diǎn)的距離是.L,設(shè)函數(shù)f (x)的周期為T,那么(丄)2+2 -( -2) 2=(廣)2,解得：t=2, T=2= ，解得：3 = n憐,W f (x) =2sin ( n=2sin n (x-=2sin ( n ), y=g (x) =f (x-令養(yǎng)=k,k乙

15、解得：x=,k Z,當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=g x圖象的一條對(duì)稱軸方程是: 應(yīng)選：C.9. 5 分在厶 ABC中，“C是 “sinA=cos的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解答】解：“Cj？ “+B= ？ “- B'?sinA=cosB2 2 2反之 sinA=cosB A+B= ，或 A=一+B,“C不一定成立,2 2 2 A+B是sinA=cosB成立的充分不必要條件，2應(yīng)選：A.10. 5分Ovavbv 1,給出以下結(jié)論：£ 丄寺嚴(yán)沖嚴(yán);注邛;“轡生b那么其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是A. 3個(gè)B. 2個(gè)C. 1個(gè)D. 0個(gè)【解答】解：

16、0v av bv 1,故y=才為減函數(shù)，y=xa在o, +x上為增函數(shù), 故:, ： 丄，即正確;y=bx為減函數(shù)，y='在0, +x上為增函數(shù)，丄 丄 丄aT<bT<by，即錯(cuò)誤； y=logax與廠丨 .:在0, +X上均為減函數(shù)，亍I故 t：<J - - _丄，lei引已1 呂嚴(yán)>1口呂b .即正確；T T T應(yīng)選：B11. (5分)xi是函數(shù)f (x) =x+1 - In (x+2)的零點(diǎn)，X2是函數(shù)g (x) =x2 - 2ax+4a+4的零點(diǎn), 且滿足|xi- x2| < 1,那么實(shí)數(shù)a的最小值是()A. 2- 2 B. 1- 2 C.- 2

17、D.- 1【解答】解： f'(x) =1-呂L,x+2 k+2當(dāng)-2v xv- 1 時(shí)，f'( x)v 0,當(dāng) x>- 1 時(shí)，f'( x)> 0,當(dāng)x=- 1時(shí)，f (x)取得最小值f (- 1) =0,二f (x)只有唯一一個(gè)零點(diǎn)x=- 1，即卩冷=1,I X1 X2| < 1 , - 2 < x2< 0, g (x) 在 - 2, 0上有零點(diǎn)，(1 )假設(shè)厶=4否-4 (4a+4) =0，即 a=2± 2_ ,此時(shí)g (x)的零點(diǎn)為x=a,顯然當(dāng)a=2 - 2_ ；符合題意；(2)假設(shè)厶=4s2 - 4 (4a+4)>

18、0，即 av2 -2 .：或 a>2+2. :,假設(shè)g (x)在-2, 0上只有一個(gè)零點(diǎn)，那么g (-2) g (0)< 0, a= 1,rgC-2)>0假設(shè)g (x)在-2, 0上有兩個(gè)零點(diǎn)，那么gCo)-2<a<02-22 或厲>2+2 近解得-K av2 -2 I.:.綜上，a的最小值為-1.應(yīng)選：D.12. (5分)a,b,c R,且滿足b2+c2=1,如果存在兩條互相垂直的直線與函數(shù) f(x)=ax+bcosx+csinx 的圖象都相切，貝U a+Y>n；：p的取值范圍是()A. - 2, 2 B.衛(wèi)，晶c.Ve Id. -22 也【解答】解

19、：函數(shù) f (x) =ax+bcosx+csinx, b2+c2=1, f'( x) =a+ccosx- bsin x=a- sin (x- ©), 其中 tan © =,b那么 f (x) a- 1, a+1,假設(shè)存在兩條互相垂直的直線與函數(shù) f (x) =ax+bcosx+csinx的圖象都相切，那么存在 ki, k2 a- 1, a+1，使 kik2=- 1, 由(a - 1) (a+1) ra2 1 >- 1 得：a=0,那么 ab&3c=pb+7cMsin (©+B),其中 tan B=,故 a+： -,應(yīng)選：B.二、填空題每題5分

20、，總分值20分，將答案填在答題紙上613. 5分變量x, y滿足約束條件x-3y<-2，那么z=2x+y的最小值是 3【解答】解：作出約束條件 -：.-： -：對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：陰影局部.L>i由 z=2x+y 得 y=- 2x+z,平移直線y= - 2x+z,由圖象可知當(dāng)直線y= - 2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y= - 2x+z的截距最小，此時(shí)z最小.由|滬1 ，解得A 1, 1,Lx-3y=-2代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2X 1+仁3.即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為3.故答案為：3.-2-3-4-514. 5分偶函數(shù)f x在0, +x上單調(diào)遞增，且f 2 =1，假設(shè)f 2

21、x+1v值范圍是【解答】解：根據(jù)題意，f (x)為偶函數(shù)，貝U( 2x+1) =f (| 2x+1| )， 又由f (x)在0，+x)上單調(diào)遞增，且f (2) =1，那么 f (2x+1 )v 1?f (| 2x+1| )v f (2) ?|2x+1| v2,解可得-TT15. (5 分)在厶 ABC 中，AB=2, AC=4 二一- 1，且M , N是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，貝U ,1|1【1 =203【解答】解：根據(jù)題意，如圖 ABC中，AB=2, AC=4,一，且M , N是邊BC的兩個(gè)三等分* . IH -=14 IH 1 -=M i 1 | * ；-=M有寸BOAS住(AC-AB),T

22、 -上+ N =(L.小)那么,'1=(?( =+")27+£忑，即丁.；203故答案為:B16. (5分)數(shù)列?的首項(xiàng)ai=m，且ai+i+an=2n+1，如果an是單調(diào)遞增數(shù)列，那么實(shí)數(shù) m的 取值范圍是(丄23127那么x的取值范圍是(-)；312故答案為：(-)【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列 ®中，an+i+an=2n+1,對(duì)其變形可得an+i ( n+1) + (an n) =0, 即卩 an+i ( n+1) = (an - n), 又由 ai=m，貝U ai -仁m 1,當(dāng)m=1時(shí)，an - n=0,那么an=n,符合題意，當(dāng)m 1時(shí)，數(shù)列an-

23、n是以m- 1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，那么 an - n= (m 1)x( - 1) n，即 an= (m - 1)x( - 1) n+n，那么 an-1= (m - 1)x( - 1) n-1+n - 1，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，an - an-1=2 (m - 1) +1，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，an - an-1= - 2 (m - 1) +1，如果an是單調(diào)遞增數(shù)列，那么有解可得：_v mv，即m的取值范圍是(丄,)U( 1, 故答案為：(號(hào)，呂).三、解答題(本大題共5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)TTTT17. (12分)假設(shè)函數(shù)f (x) =Asi n(A&

24、gt;0, >0, < Cp <)的局部圖象如下圖.(1)求函數(shù)f (x)的解析式;(2)設(shè)a £ (Qa 羋)，且求 sin2 a勺值.A=2.( 1 分)3兀，解得T=n，于是由Th"二兀，得3 =2 - 3分T趙二2，即“訛+二 1亠7V二2k兀片百k Z,k Z,H2<*<T所以4=,屮6JT即6 分2由 2sin2a因?yàn)閍 E 0 ,cosC2&匸'6j tT 4 1-sin2d-=5112口s2口 -j_-_Jsin 8 分二二"I 一二工-L :=-10 12 分18. 12分設(shè)公差大于0的等差數(shù)列an的

25、前n項(xiàng)和為Sn,S3=15,且ai, a4, ai3成等比數(shù) 列，記數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn.計(jì)rrHI 求 Tn；U 假設(shè)對(duì)于任意的n N*, tTnVan+11恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解答】解：I設(shè)an的公差為d d>0,由S3=15有3ai + =15，化簡得a什d=5,2分又T ai, a4, ai3成等比數(shù)列，' a42=aiai3,即ai+3d 2=ai ai +12d,化簡得 3d=2ai，- 4 分聯(lián)立解得ai=3, d=2 , an=3+2 n- 1 =2n+1.5 分加+3廠2勺卅1 2屮3八 ° “:1' ' ! ='

26、I H I: '_ 丄 -'.7 分(n)v tTnV ch+11，即 r tn G口十 12,3 C2n+3 J上3(2屮 12)(2n+引二3(4r?+：30n+咒)二龐缶+色聽,(9 分) nnn又、一-亠?6,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，等號(hào)成立，nr二 162, ( 11 分)n t v 162.(12 分)19. (12分)在厶ABC中，乙氏愛3,D是邊BC上一點(diǎn)，且'；, BD=2(1) 求/ ADC的大??；(2) 假設(shè)二二；，求 ABC的面積.【解答】解：(1) ABD中，由正弦定理ADBDginZB_sinZ BAD得亠1AD九廣厶n 一 -、二丁 一=.取 O

27、(2)由(1)知，/ BAD=Z BDA，故 AB=BD=26在厶ACD中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2- 2AD?CD?coX ADC,5Z=12+CD2'2X2V3-CD-(整理得C序+6CD- 40=0, 解得 CD=- 10 (舍去)，CD=4, BC=BD+CD=¥2=6. SABC=J一：一；,20. (12 分)函數(shù) f (x) =x3+x2-x+a (a R).(1 )求f (x)在區(qū)間-1 , 2上的最值；(2)假設(shè)過點(diǎn)P (1, 4)可作曲線y=f (x)的3條切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解：(1) f (x) =3«+2x- 1=

28、(3x- 1) (x+1), - (1 分)由f (x)> 0解得宀寺或xv- 1 ；由f (x)v 0解得- W* ,(3 分)又x - 1, 2，于是f (x)在-，一-上單調(diào)遞減，在.-上單調(diào)遞增.1 1一；一 - 一.i+節(jié)一二斗一刁， f (x)最大值是10+a,最小值是 寺十目.(5分)(2)設(shè)切點(diǎn) Q (x, x3+x2- x+a), P (1 , 4),32那么整理得 2x3- 2x2- 2x+5-a=0 , - (7 分)由題知此方程應(yīng)有3個(gè)解.令 fl (x) =2疋-2x2 - 2x+5 - a ,u'x) =6«-4x- 2=2 (3x+1) (

29、x- 1),由i(x)> 0解得x> 1或廠一丄，由3即函數(shù)i(x)在-.,(1,3l'x)V 0 解得-A-<S<1 , (10 分)S上單調(diào)遞增，在1) 上單調(diào)遞減.要使得1(x) =0有3個(gè)根，貝U仏(丄)>0,且1( 1)< 0,3解得27即a的取值范圍為(3 , 器).( 12分)21. (12 分)函數(shù) f (x) =- Inx+-2+ (a- 1) x- 2 (a R).(1 )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)a>0,求證：f (x)?-厶.2a【解答】解: (1 廠 ；.( 1 分) 當(dāng)a< 0時(shí)，f (x)< 0

30、,那么f (乂)在(0, +x)上單調(diào)遞減；(3分) 當(dāng)a> 0時(shí)，由f (x)> 0解得丄，由f (x)< 0解得 二：宀.二.aa即f (x)在(0 , 丄)上單調(diào)遞減；f (x)在(丄，+°°)上單調(diào)遞增；aa綜上，a< 0時(shí)，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, +x)；a> 0時(shí)，f (X)的單調(diào)遞減區(qū)間是E勻，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是& S (5 分)f (x)在一 +'上單調(diào)遞增,(2)由(1)知f (x)在(0 ,丄)上單調(diào)遞減;3.要證f x一即證即 In a丄 _ > 0,>.8分即證lna構(gòu)造函數(shù).:-=b-.-f9-1