高中數學一輪復習基礎講解拋物線

1、高中數學一輪復習基礎講解拋物線1.拋物線定義平面內與一個定點 F和一條定直線1（1不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線,點F叫做拋物線的焦點，直線 1叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2 二=2 Px(p>0)y2= - 2px(p> 0)圖形b范圍x>0, yC Rx<0, yC R對稱軸x軸頂點坐標原點0(0,0)焦點坐標P，0-P, 0準線方程x=P 2x=2離心率e= 1標準方程x2= 2py(p>0)x2= - 2py(p> 0)圖形1半;卡范圍y>0, xC Ry<0, xC R對稱軸y軸頂點坐標原點0(0

2、,0)焦點坐標。,20T準線方程yTy=2離心率e= 1小題能否全取1.（教材習題改編）已知拋物線的焦點坐標是（0, 3）,則拋物線的標準方程是（）A. x2= 12yC. y2= - 12xB. x2= 12yD. y2 = 12x解析：選 A - p= 3,，p=6,x2= - 12y.2.（教材習題改編）拋物線y= ax2的準線方程是y=2,則a的值是（）1 A.8C1B,-8C. 8D. - 8解析：選B拋物線的標準方程為 x2=1y.a則 a<0 且 2=一:,得 a= 1.4a83.已知傾斜角為60。的直線l通過拋物線x2=4y的焦點，且與拋物線相交于 A, B兩點， 則弦A

3、B的長為（）A. 4B. 6C. 10D. 16解析：選D 設點A（x1, y1）, B（x2, y2）,則依題意得焦點 F（0, 1）,準線方程是y= - 1,y= Sx+1直線 l：y=3x+1,由 y消去 x得 y214y+1=0, y + y2=14, RB|=|AF|十|BF|x2=4y,= （y+ 1）+（y2+ 1）= （y + y2）+2= 16.4. （2012鄭州*II擬）已知斜率為2的直線l過拋物線y2=ax（a>0）的焦點F,且與y軸相 交于點A,若OAF（O為坐標原點）的面積為4,則拋物線方程為 .解析：依題意得，|OF| = *又直線l的斜率為2,可知|AO|

4、=2|OF| = "2, AOF的面積1a2等于2 |AO| |OF|=4,則a2=64又a>0,所以a=8,該拋物線的萬程是 y2= 8x.答案：y2=8x5.設拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是解析：其準線方程為x=2,又由點P到y(tǒng)軸的距離為4,則P點橫坐標xP= 4,由定 義知 |PF|= xP + p=6.答案：61 .拋物線方程中，字母 p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，p等于焦點到拋物線頂點的距離，記牢對解題非常有幫助.2 .用拋物線定義解決問題，體現了等價轉換思想的應用.3 .由y2=mx(mw 0)或x2= my(mw

5、 0)求焦點坐標時，只需將 x或y的系數除以4,再確 定焦點位置即可.皿考點學技法拋物線的定義及應用1典題導入例1 (1)(2011遼寧高考)已知F是拋物線丫2=乂的焦點，A, B是該拋物線上的兩點,AF|十|BF|=3,則線段 AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()3A.4B. 15C.47D.4(2)(2012曲阜師大附中質檢)在拋物線C: y= 2x2上有一點P,若它到點A(1,3)的距離與它到拋物線C的焦點的距離之和最小，則點p的坐標是()A. (-2,1)B.(1,2)C. (2,1)D.(-1,2)自主解答(1)如圖，由拋物線的定義知,AM|十|BN|= RF|+ |BF|=3,3 _. .

6、 3 1 5CD|=3,所以中點C的橫坐標為 向1=5.(2)由題知點A在拋物線內部，根據拋物線定義，問題等價于求拋物線上一點P,使得該點到點 A與到拋物線的準線的距離之和最小，顯然點P是直線x=1與拋物線的交點,故所求 P點的坐標是(1,2).答案(1)C (2)B由題悟法涉及拋物線上的點到焦點(準線)的距離問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線(焦點)的距離問題求解.3以題試法1. (2012安徽高考)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于 =3,則 |BF尸.A, B兩點.若|AF|解析：由題意知，拋物線的焦點 F的坐標為(1,0),又|AF|=3,由拋物線定義知，點A到準

7、線x=- 1的距離為3, .點A的橫坐標為2.將x=2代入y2=4x得y2 = 8,由圖知，y=22,.內2,2/)，.直線AF的方程為y=22(x1).又 y=22x-1 ,y2= 4x,x=2, y=2成.線的漸近線的距離為43X01 x= T, 解得 2y=- 2,1由圖知，點B的坐標為2,一平，13|BF| = 21- (-1) = 2.3答案:2拋物線的標準方程及幾何性質1典題導入例2 (1)(2012山東高考)已知雙曲線 C1：弓一y2=1(a>0, b>0)的離心率為2.若拋物線 a bC2： x2=2py (p>0)的焦點到雙曲線 C1的漸近線的距離為 2,則

8、拋物線C2的方程為()2 8 32 16 3A. x2= -3B. x2= 3 yC. x2=8yD. x2=16y(2)(2012四川高考)已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點 O,并且經過點 M(2, yo).若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|=()A. 2/B. 2V3C. 4D. 275x2 y2c 'a2+ b2自主解答(1).雙曲線 Ci： 02-b2= 1(a>0, b>0)的離心率為 2, -a=2C_a =2, b = 'a,.雙曲線的漸近線方程為 y;3x±y=0, .拋物線 C2： x2 = 2py(p>0)的焦點

9、0, ?到雙曲 2=2,p = 8.，所求的拋物線方程為x2= 16y.(2)依題意，設拋物線方程是y2 = 2px(p>0),則有2 + = 3,得p=2,故拋物線方程是y2=4x,點 M 的坐標是(2, ±22), |OM|=-22+8 = 2寸9答案(1)D (2)B2由題悟法1 .求拋物線的方程一般是利用待定系數法，即求p但要注意判斷標準方程的形式.2 .研究拋物線的幾何性質時，一是注意定義轉化應用；二是要結合圖形分析，同時注意平面幾何性質的應用.以題試法2. (2012南京模擬)已知拋物線x2=4y的焦點為F,準線與y軸的交點為 M, N為拋物線上的一點，且 |NF|

10、=13MN,則/ NMF =.()3解析：過N作準線的垂線，垂足為 H,則|NF|=|NH|=B3|MN|,如圖.cos ZMNH =坐,，TT,_ TT./ MNH = 6，/ NMF=6：直線與拋物線的位置關系典題導入例3 (2012福建高考)如圖，等邊三角形 OAB的邊長為873,且其三個頂點均在拋物線E: x2 = 2py(p>0)上.(1)求拋物線E的方程;(2)設動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y= 1相交于點Q.證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.自主解答(1)依題意，|OB|=8f3, ZBOy=30°.設 B(x, y),則 x=|OB|sin 30=

11、4v3, y=|OB|cos 30 = 12.因為點 B(4V3, 12)在 x2=2py上，所以(4<3)2= 2pX 12,解得 p= 2.故拋物線E的方程為x2= 4y.(2)證明：由(1)知 y = 1x2, y' =1x.設 P(xo, y0),則 x0W0, y0=4x0,且 l 的方程為11yy0= 2*。僅一 x。)，即 y= 2*0*1 一y=2xox由 22xo 4得 x=WT，y=- 1,y=- 1.所以Q為x2 42x0 'uuir uum1設 M(0, yi),令 MP MQ = 0 對滿足 yo = 10(*0w 0)的 xo, yo恒成立.u

12、uuruumx2_4由于 MP =(X0, y0-yi), MQ = x0, 1 yi ,2X0uuur uuurx24由 MP MQ =0,得一2- y。一y0yi + yi+y2 = 0,即(y2+ yi 2) + (i yi)y0 = 0.(*)i c由于()式對滿足 y0=4x0(x0w 0)的yo恒成立,i yi = 0所以2解得yi=i.yi+ yi 2 = 0,故以PQ為直徑的圓恒過 y軸上的定點M(0,i).2由題悟法I,設拋物線方程為y2=2px(p>0),直線Ax+By+C=0,將直線方程與拋物線方程聯立，消去x得到關于y的方程my2+ny+q = 0.(i)若mw0

13、,當A>0時，直線與拋物線有兩個公共點；當A= 0時，直線與拋物線只有一個公共點；當Av 0時，直線與拋物線沒有公共點.(2)若m = 0,直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與拋物線的對稱軸平行.2.與焦點弦有關的常用結論.(以右圖為依據)小2 、,P2(i)yiy2= p2, xix2= 4.2p(2)|AB|=xi + x2+p = Sin2-0(。為 AB 的傾斜角).八p2字AOB=2sin-(。為ab的傾斜角)AF|+Bj為定值p.(5)以AB為直徑的圓與準線相切.(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切./CFD = 90 )3以題試法3. (20I2泉州模擬)如圖，點O為坐

14、標原點，直線 I若點O到直線l的距離為2,求直線l的萬程；l經過拋物線C: y2=4x的焦點F.點B是以點F(2)設點A是直線l與拋物線C在第一象限的交點.為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸的交點，試判斷 AB與拋物線C的位置關系，并給出證明.解：（1）拋物線的焦點F（1,0）,當直線l的斜率不存在時，即 x=1不符合題意.當直線l的斜率存在時，設直線 l的方程為：y=k（x 1）,即kx-y- k= 0.所以，量=：,解得k=除W + k2 23故直線l的方程為：y=¥3（x1）,即x±J3y- 1 = 0.（2）直線AB與拋物線相切，證明如下：設 A（x0, yo）,則

15、y2 = 4xo.因為 |BF|= |AF|= xo+1 ,所以 B（- xo,0）.所以直線AB的方程為：y=7y°-（x+ xo）,2xo'整理得：x=2x0yxo yo把方程代入 y2 = 4x 得：yoy2 8xoy+ 4xoyo = 0,A= 64x2 16xoyo = 64才 一 64xo = o,所以直線AB與拋物線相切.El.解題訓練要高效肌速度 服現也指絕蠢高手住"衽尻A級全員必做題1. （2。12濟南*II擬）拋物線的焦點為橢圓=1的下焦點，頂點在橢圓中心，則拋物線方程為（）B . y2= 4/5xD. y2= 4匹xA . x2= 4/yC.

16、x2= 4/T3y解析：選A 由橢圓方程知，a2=9, b2=4,焦點在y軸上，下焦點坐標為（。，一c）,其中c=小2 b2 =書.,.拋物線焦點坐標為（。，45）,拋物線方程為x2= 4（5y.2. （2。12東北三校聯考）若拋物線y2 = 2px（p。）上一點P到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別為1。和6,則p的值為（）B. 18D. 4 或 16A. 2C. 2 或 18解析：選C設P（X0, yo）,則xo+p= 10, |yo|= 6, y0= 2pxo, .36 = 2p 10 p ,即 p220p+ 36=0,解得 p=2 或 18.3. （2013大同模擬）已知拋物線y2=2px

17、（p>0）的準線與曲線x2+y2-6x- 7=0相切，則p的值為（）A. 2B. 11D.4解析：選A 注意到拋物線y2 = 2px的準線方程是x=昌，曲線x2+ y2- 6x-7= 0,即（x- 3）2+y2=16是圓心為（3,0）,半徑為4的圓.于是依題意有 p+3 =4.又p>0,因此有介3=4,解得 p=2.4. （2012鄭州*II擬）已知過拋物線y2=6x焦點的弦長為12,則此弦所在直線的傾斜角是()兀、,5兀A. I或 T66兀I、, 2兀c. w或工33兀D.2解析：選B 由焦點弦長公式|AB|=-2h得= 12, sin 0 sin 0所以sin 0=*,所以 0

18、=4bc竽5. （2012唐山*II擬）拋物線y2=2px的焦點為F,點A、B、C在此拋物線上，點 A坐標 為（1,2）,若點F恰為 ABC的重心，則直線 BC的方程為（）A.x+y=0B.x y= 0C. 2x+y-1=0D. 2x-y- 1= 0解析：選C二點A在拋物線上，4 = 2p, p = 2,拋物線方程為 y2 = 4x,焦點F（1,0）設點 B(x1, y)，點 C(x2, y2),則有 y2= 4x1,y2= 4x2,由一得(y1一y2)(y + y2) = 4(x1一&)/日,y1 一y24信 kBC=x1 x2 = yTy2.p y1 + y2 + 2 -.又, 2

19、=0, y1+y2=2)kBc= 2.3P . . X1 + X2 + 1.c又- 1 , xl+ X2= 2,3 BC 中點為(1, 1),則BC所在直線方程為 y + 1 = 2(x 1),即2x + y 1 = 0.6. (2013湖北模擬)已知直線y=k(xm)與拋物線y2=2px(p>0)交于A、B兩點，且OA ±OB, ODXAB于D.若動點D的坐標滿足方程 x2+y2-4x= 0,則m=()A. 1B. 2C. 3D. 4km則b=一市2' ab 1 、一， , 一 一二=一；，解析：選D 設點D(a, b),則由ODAB于D,得a kb= k a m ,

20、=bk;又動點D的坐標滿足方程 x2+y24x=0,即a2+b24a= 0,將a= bk代入上式, m)= 0,因此 m= 4.b2k2+b2+4bk=0,即 bk2+b+4k=0,k3m1 + k2km1 + k2+ 4k= 0,又 kw 0,貝 U(1+k2)(4 7. (2012烏魯木齊模擬)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交y軸于點A,拋物線上有一 點B滿足楣，=OA ,+ Our , (O為坐標原點)，則4 BOF的面積是.解析：由題可知F(1,0),可設過焦點F的直線方程為y=k(x- 1)(可知k存在)，則A(0,-k),B(1, k),由點 B 在拋物線上，得 k2=4, k=

21、i2,即 B(1,受)，-1 一 1、，空BOF=2 |OF| |yB|= -X 1X2= 1.答案：11 1 一8. (2012渭南模擬)已知拋物線C: y = 4x2,則過拋物線焦點F且斜率為2的直線l被拋 物線截得的線段長為 .1C解析：由題意得l的萬程為y=2x+1,即x=2(y1).代入拋物線方程得 y=(y-1)2,即y2 3y+1 = 0.設線段端點坐標為(x1，y1)，(x2, y2),則線段長度為y+y2+p=5.答案：59. (2012廣州模擬)已知直線y=k(x- 2)(k> 0)與拋物線y2 = 8x相交于A, B兩點，F為 拋物線的焦點，若|FA|=2|FB|,

22、則k的值為.y2 = 8x,解析：直線y=k(x2)恰好經過拋物線 y2=8x的焦點F(2,0),由可得ky2y= k x- 2888y 16k= 0,因為 |FA|= 2|FB |,所以 yA= - 2yB,則 yA + yB = 2yB+yB=,所以 yB=一 ， kkyA yB=- 16,所以一2yB= 16,即 yB= ±2/2,又 k>0,故 k=242.答案：2 .210 .已知過拋物線 y2 = 2px(p>0)的焦點，斜率為2熄的直線交拋物線于 A(xi, yi), B(x2, y2)(xi<xi)兩點,且 |AB|=9.(1)求該拋物線的方程；uu

23、iruuu uuu(2)0為坐標原點，C為拋物線上一點，若 OC = OA + QB ,求入的值.解：(1)直線AB的方程是y=22 x p ,與y2 = 2px聯立，從而有 4x25px+p2= 0,所以 x1 + x2=5p.4由拋物線定義得 AB|= x1 + x2+ p= 9,所以p=4,從而拋物線方程是 y2= 8x.(2)由 p= 4,4x2 5px+ p2= 0 可簡化為 x2 5x+4=0,從而 x = 1, x2= 4, y1= 2s/2, y2= 4 ,12,從而 A(1, 2串),B(4,44).uuir設 0C=(x3, y3)=(1, 2*) + 2(4,472) =

24、 (4 計 1, 4V2 入一2V2),又 y2=8x3,即272(2 入一1)2=8(4 1+ 1),即(2卜1)2= 4計1 ,解得仁0或入=2.11 .如圖，過拋物線 y2=4px(p>0)上一定點M(x°, y0)(y0>0)作兩條直*一線，分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2, y2).(1)求該拋物線上縱坐標為4P的點到點(p,0)的距離；(2)當MA與MB的斜率都存在，且y1上口=-2時，求MA與MB的斜率之和；y0(3)證明：直線 AB不可能平行于x軸.解：(1)當y=4p時，x=4p,拋物線的準線方程為x= - p,焦點為(p,0),拋物線上縱坐標為

25、4p的點到點(p,0)的距離，就是該點到焦點的距離，由拋物線的定義得，所求距離為 4p -(-p) = 5p.(2)設直線MA的斜率為kMA, MB的斜率為kMB,由 y2= 4px1, y2= 4px0,得 kMA = *=-，x1 x0 y1 + y0同理 kMB=y2?%'又=-2,所以 y1 + y2=2y。，因為 kMA+kMB = *+ +4p +匕2y0y03 Jy1 + y0 y2+ y y1 + y y2+ y0,所以 kMA + kMB = 0,故MA與MB的斜率之和為 0.(3)證明：設直線 AB的斜率為kAB,則kAB=y二x二y；y2 = 4p-,由(2)知y

26、i + y2= X2 xi y2 _ _yi yi + y24p 4p2yo,所以kAB=型，由于M(xo yo)為定點，所以一 型為定值且一如W0,故直線AB不可 yoyoyo能平行于x軸.12 . (2012安徽模擬)已知橢圓Ci: + '= 1(0vb<2)的離心率為 與 拋物線 C2 ： x2 =2py(p > 0)的焦點是橢圓的頂點.(1)求拋物線C2的方程；(2)過點M(1,0)的直線l與拋物線C2交于E, F兩點，過 巳F作拋物線C2的切線li,12,當|i_Ll2時，求直線l的方程.解：(1)二.橢圓Ci的長半軸長a=2,半焦距c=14-b2.由e=介亞式=

27、*得b2= 1,，橢圓Ci的上頂點為(0,1),即拋物線C2的焦點為(0,1),故拋物線C2的方程為x2 = 4y.(2)由已知可得直線l的斜率必存在，設直線l的方程為y=k(x+1),E(xi,yi),F(x2,y2).由x2= 4y 得 y= %2,1-y =,x.，切線li, l2的斜率分別為 $1, 52.,i 1-當 li，l2 時，？xi 2x2= 1 ,即 xix2= 4.,y=kx+1八八一，、-由得 x24kx 4k=0,A= (4k)24X(4k)>0,解得 kv 1 或 k> 0.x2=4y且Xix2= 4k= 4,即k= 1,滿足式，直線 l的方程為x y+

28、 1=0.B級重點選做即1. (2013鄭州模擬)如圖，過拋物線 y2=2px(p>0)的焦點F的直線 l交拋物線于點 A、B,交其準線于點 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則 此拋物線的方程為()A . y2= 9xB. y2= 6x解析：選C過點B作準線的垂線,垂足為Bi,記準線與x軸的交點C. y2= 3xD. y2 = >/3x為Fi,則依題意得 修+搭=3,所以|BBi|=3|FFi|= 2f，由拋物線的定2 2p義得|BF|= 陽|=第過A,B作x軸的垂線，垂足分別為D,E,由 BEFsADF彳3 = 3, 333 P3解得P= 2.所以此拋物線的方程是 y

29、2=3x.2. (2012安徽高考)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于 A, B兩點，。為坐標原點.若AF|=3,則 AOB的面積為()：2,A.yB. ;2C.嚶D. 2v2解析：選C由題意，拋物線 y2=4x的焦點為F(1,0),準線方程為l: x= 1,可得A點的橫坐標為2,代入y2=4x得y2=8,不妨設A(2, 2/2),則直線AB的方程為y=2/2(x111),與 y2=4x 聯立得 2x25x+ 2=0,可得 B,小，所以 S；aAOB= SaAOf+ SaBOF =-x1X|yA yB尸嚶 .1 3. (2012浙江局考)如圖，在直角坐標系 xOy中，點P 1,萬到拋

30、物5線C: y2 = 2px(p>0)的傕線的距離為4.點M(t,1)是C上的定點，A, B是C上的兩動點，且線段 AB被直線OM平分.求p, t的值；解：(1)由題意知1t= 1.(2)求4 ABP面積的最大值.p 51 + -= 一2 4(2)設 A(x1, y1), B(x2, y2),線段 AB 的中點為 Q(m, m), 設直線AB的斜率為k(kw 0).y2 = x1, 由yi,得(y1一 y2)(y1 + y2)= xi x2,故 k 2m= 1,所以直線ab的方程為y-m=2m(X曬 即 x 2my+ 2m2 m= 0.x 2my + 2m2 m= 0,y2= x,消去

31、x,整理得 y22my + 2m2m= 0,所以 = 4m 4m2>0, y + y2=2m, y1y2=2m2m.從而 |AB|=1+£ 加y2| =1+4m2 *4m 4m2.設點P到直線AB的距離為d,則d =|1 2m+ 2m2|小 + 4m2,設 ABP的面積為S,1。則 S=2|AB| d= |1 2(m m2)|m m2.由 A= 4m 4m2>0,得 0<m<l.1令 u = m m2, 0<uW2,貝U S=u 2u3,S' (u)=1 6u2.由 S' (u)=0,得 u = *e 0, 2 ,所以 S(u)max= S=9.故 ABP面積的最大值為害.| 一嘛備選上1. (2012北京高考)在直角坐標系xOy中，直線l 物線相交于A, B兩點，其中點A在x軸上方.若直線過拋物線y2=4x的焦點F,且與該拋l的傾斜角為60°,則 OAF的面積解析:3直線l的萬程為y=V3(x-1),即x= "y+1,代入拋物線方程得y2-乎y-4答案:=0,解得3=2g3(yBV 0,舍去)，故 OAF的面積為2X1X2 3= 3.2.(20