2019高考數學二輪復習專題五解析幾何第三講圓錐曲線的綜合應用第二課時圓錐曲線的定點、定

1、則X22 “5c=灤后訓練閉舲科第三講 圓錐曲線的綜合應用 第二課時 圓錐曲線的定點、定值、存在性問題(2)過橢圓C的右焦點F作直線I交橢圓C于A,B兩點，交y軸于M點，若族入iAF,IMB=入2麗求證：入1+入2為定值.橢圓C的標準方程為2尸 2/-a=5,b=1,2X2號+y=1.證明：設A(xi,yi) ,B(X2,y2),MO,y。),又易知F點的坐標為(2,0).顯然直線I存在斜率,設直線1的斜率為k，貝 U 直線I的方程是y=k(x 2)，將直線I的方程代入橢圓C的方程中，消去y并整理得(1 + 5k2)x2 20k2x+ 20k2 5= 0,2 220k20k 5.xi+X2=2

2、,XiX2=2.1 + 5k1 + 5k砧 沁入2匪將各點坐標代入得入1=總，入2=總X1入1+入2= 21+2 X2嫦袪巧:；聲力址1. (2018(1)求橢圓C的標準方程;2 X1+X22X1X2-云南師大附中質檢)已知橢圓C的焦點在x軸上，離心率等于學，且過點5解析：(1)設橢圓C的方程為2 2右+ 右=1(ab0),1* J52幕=1,X1+X2+X1X2424222” 20k20k 5 I1 + 5k21 + 5k222= 10,20k20k 54 2 2+1 + 5k1+ 5k即入l+入2為定值.2.(2018 貴陽一模)過拋物線C：y2= 4x的焦點F且斜率為k的直線I交拋物線C

3、于 A,B兩點，且|AB= 8.(1)求I的方程;(2)若A關于x軸的對稱點為D,求證：直線BD恒過定點，并求出該點的坐標.解析：(1)易知點F的坐標為(1,0)，則直線I的方程為y=k(x 1)，代入拋物線方程y= 4x得k x (2k+ 4)x+k= 0,由題意知k豐0,且(2k+ 4) 4kk= 16(k+1) 0,22k+ 4設A(X1,y,B(X2,y2), X1+X2 =由拋物線的定義知|AB=X1+X2+ 2 = 8,22k+ 42口戸-2-= 6, k= 1，即k= 1,kXlX2= 1,直線I的方程為y=(x 1). 由拋物線的對稱性知，D點的坐標為(X1,y，直線BD的斜率

4、kBD=4y2y1,y2+y1y2+屮=22X2X1y y44直線BD的方程為y+y1= (Xx,y2y12即(y2yjy+y?y1y1= 4x 4x1,2X 22y1= 4X1,y2= 4X2,X1X2= 1 , (yy) = 16x1X2= 16,/ / 即 yw = 4(y1,y2異號),直線BD的方程為 4(x+ 1) + (y1y2)y= 0,恒過點(1,0).213. ( 2 018 南寧模擬)已知拋物線C：y=ax(a 0)上一點F(t, 2)到焦點F的距離為 2t.(1) 求拋物線C的方程；(2)拋物線C上一點A的縱坐標為 1,過點Q3 , 1)的直線與拋物線C交于M N兩個

5、不同的點(均與點A不重合)，設直線AM AN的斜率分別為k1,k2，求證：kk2為定值.a解析：(1)由拋物線的定義可知|PF=t+ = 2t，則a= 4t,4341 1由點P(t, 2)在拋物線上，得at= 4, ax4a2=1,由a0,得a= 1,拋物線C的方程為y2=x./點A在拋物線C上，且yA= 1, -XA=1.A(1,1)，設過點 Q3 , - 1)的直線的方程為x-3 =m(y+ 1),即x=my+ nu3,22代入y=x得ymy- m 3= 0.設Mx1,y1),N(X2,y2)，貝Uy1+y2=m y1y2=n 3,yiy2-y1+y?+1my1y2+m nrFy1+y+1

6、2 kk 為定值.2 2x y4. (2018 福州四校聯考)已知橢圓 C：g+合=1(ab0)的兩個焦點分別為F1,F2,短軸的一個端點為P,APFF2內切圓的半徑為 3,設過點F2的直線I被橢圓C截得的線段為3RS當I丄x軸時，|RS= 3.(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 在x軸上是否存在一點T,使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關于x軸對稱? 若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.11b c1解析：(1)由內切圓的性質，得 2x2cxb=2x(2a+2c)xb，得a=2 2 .2將x=c代入a2+乍=1，得y=a，所以又a=b+c，所以a= 2,b=3,22故橢圓C的標

7、準方程為X+y= 1.43(2)當直線I垂直于x軸時，顯然x軸上任意一點T都滿足TS與TR所在直線關于x軸 對稱.當直線I不垂直于x軸時，假設存在T(t,0)滿足條件，設I的方程為y=k(x 1) ,R(x1,y1 1k1k2=X1y2 1X2- 12b2=3.5貝U t= 4,綜上所述，存在T(4,0)，使得當I變化時，總有TS與TR所在直線關于x軸對稱.yi),s(x2,y-聯立方程，得y=k xi ,I 223x+4y12=0,2 2 2 2得(3 + 4k)x 8k x+ 4k 12= 0,r8k2ixi+x2= 3 + 4k2，由根與系數的關系得2，其中0 恒成立,4k 12xix2= 3T4K2由TS與TR所在直線關于x軸對稱，得 +kTR= 0(顯然TS, TR的斜率存在)，yixity2X2t因為R S兩點在直線y=k(x 1)上， 所以y1=k(X1 1) ,y2=k(X2 1)，代入得k X1 |X2t+kX