矩形波導(dǎo)中電磁波截止波長(zhǎng)的計(jì)算(1)(1).

1、樂(lè)山師范學(xué)院畢業(yè)論文設(shè)計(jì)矩形波導(dǎo)中電磁波截止波長(zhǎng)的計(jì)算 周和偉 物理與電子信息工程學(xué)院 07物理學(xué) 07234030摘要:本文從麥克斯韋方程組出發(fā)，從理論上推導(dǎo)了電磁場(chǎng)遵循的波動(dòng)方程和時(shí)諧電磁波遵循的波動(dòng)方程；根據(jù)邊值關(guān)系從理論上求出了時(shí)諧電磁波在矩形波導(dǎo)中的解，并對(duì)矩形波導(dǎo)管中傳播的電磁波波解進(jìn)行了討論；計(jì)算了不同尺寸的矩形波導(dǎo)管的截止波長(zhǎng)，截止波長(zhǎng)大多屬于厘米量級(jí)，說(shuō)明波導(dǎo)管只適用于傳播微波。關(guān)鍵詞:矩形波導(dǎo) 電磁波 截止波長(zhǎng)1 緒言波導(dǎo)是一種用來(lái)約束或引導(dǎo)電磁波傳輸?shù)难b置，矩形波導(dǎo)是指橫截面是矩形的波導(dǎo)，一般是中空的金屬管。也有其他形式的波導(dǎo)裝置，如介質(zhì)棒或由導(dǎo)電材料和介質(zhì)材料組成的混合

2、構(gòu)件1。因此，在廣義的定義下，波導(dǎo)不僅是指矩形中空金屬管，同時(shí)也包括其他波導(dǎo)形式如矩形介質(zhì)波導(dǎo)等，還包括雙導(dǎo)線(xiàn)、同軸線(xiàn)、帶狀線(xiàn)、微帶和鏡像線(xiàn)、單根表面波傳輸線(xiàn)等。根據(jù)波導(dǎo)橫截面的形狀不同還有其他形狀波導(dǎo)，如圓波導(dǎo)等。盡管已存在很多不同波導(dǎo)形式，且新的形式還不斷出現(xiàn)，但直到目前，在實(shí)際應(yīng)用中矩形波導(dǎo)是一種最主要的波導(dǎo)形式。由于無(wú)線(xiàn)信號(hào)傳輸媒介，具有傳輸頻帶寬、傳輸損耗小、可靠性高、抗干擾能力強(qiáng)等特點(diǎn)，因此波導(dǎo)技術(shù)在電子技術(shù)領(lǐng)域運(yùn)用非常廣泛，主要用于鐵氧體結(jié)環(huán)形器，窄壁縫隙天線(xiàn)陣2，速調(diào)管矩形波導(dǎo)窗，高精度矩形彎銅波導(dǎo)管加工研究【3】等器件設(shè)備的制造生產(chǎn)，以及在地鐵信號(hào)系統(tǒng)中的應(yīng)用都很廣泛。為了加

3、深對(duì)波導(dǎo)傳輸特性的理解，本文從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)了電磁場(chǎng)遵循的波動(dòng)方程和時(shí)諧電磁波遵循的波動(dòng)方程；根據(jù)邊值關(guān)系從理論上求出了時(shí)諧電磁波在矩形波導(dǎo)中的解，并對(duì)矩形波導(dǎo)管中傳播的電磁波波解進(jìn)行了討論；計(jì)算了不同尺寸的矩形波導(dǎo)管的截止波長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)其截止波長(zhǎng)都在厘米量級(jí)，說(shuō)明波導(dǎo)管只適用于傳播微波。2 電磁波基本原理2.1建立麥克斯韋方程組的歷史背景麥克斯韋首先從論述力線(xiàn)著手，初步建立起電與磁之間的基本關(guān)系。1855年，他發(fā)表了第一篇電磁學(xué)論文論法拉第的力線(xiàn)。在這篇論文中，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述了法拉第的電緊張態(tài)和力線(xiàn)概念，引進(jìn)感生電場(chǎng)概念，推導(dǎo)出了感生電場(chǎng)與變化磁場(chǎng)之間的關(guān)系。1862年他發(fā)表了第二篇論

4、文論物理力線(xiàn)，不但進(jìn)一步發(fā)展了法拉第的思想，擴(kuò)充到磁場(chǎng)變化產(chǎn)生電場(chǎng)，而且得到了新的結(jié)果：電場(chǎng)變化產(chǎn)生磁場(chǎng)。因此預(yù)言了電磁波的存在，并且證明了這種波的速度等于光速，揭示了光的電磁本質(zhì)。1864年他的第三篇論文純磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論，這篇文章包括了麥克斯韋電磁理論研究的主要成果，麥克斯韋主要從幾個(gè)基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，運(yùn)用場(chǎng)論的觀(guān)點(diǎn)，引進(jìn)了位移電流概念，按照電磁學(xué)的基本原理推導(dǎo)出全電流定理，最后建立起電磁場(chǎng)的基本方程。麥克斯韋在總結(jié)庫(kù)侖、高斯、歐姆、安培、畢奧薩伐爾、法拉第等前人的一系列發(fā)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)成果的基礎(chǔ)上。結(jié)合自己提出的渦旋電場(chǎng)和位移電流的概念，建立了第一個(gè)完整的電磁理論體系。這個(gè)重要的研究結(jié)果以論文

5、的形式發(fā)表在1865年的英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的會(huì)報(bào)上。論文中列出了最初形式的方程組，由20個(gè)等式和20個(gè)變量組成，其中包括麥克斯韋方程組的分量形式。2.2 麥克斯韋方程組2.2.1 渦旋電場(chǎng)假說(shuō)、位移電流假說(shuō)一個(gè)閉合回路固定在變化的磁場(chǎng)中，則穿過(guò)閉合回路的磁通量就要發(fā)生變化。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，閉合回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。因而在閉合回路中，必定存在一種非靜電性電場(chǎng)。麥克斯韋對(duì)這種情況的電磁感應(yīng)現(xiàn)象作出如下假設(shè)：任何變化的磁場(chǎng)在它周?chē)臻g里都要產(chǎn)生一種非靜電性的電場(chǎng)，叫做感生電場(chǎng)，感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)用符號(hào)E表示。感生電場(chǎng)與靜電場(chǎng)有相同處也有不同處。它們相同處就是對(duì)場(chǎng)中的電荷都施以力的作用。而不同處是4：

6、(1)激發(fā)的原因不同，靜電場(chǎng)是由靜電荷激發(fā)的，而感生電場(chǎng)則是由變化磁場(chǎng)所激發(fā)：(2)靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)起源于正電荷，終止于負(fù)電荷，靜電場(chǎng)是勢(shì)場(chǎng)，而感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)則是閉合的，其方向與變化磁場(chǎng)的關(guān)系滿(mǎn)足左旋法則，因此感生電場(chǎng)不是勢(shì)場(chǎng)而是渦旋場(chǎng)。正是由于渦旋電場(chǎng)的存在，才在閉合回路中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，其大小等于把單位正電荷沿任意閉合回路移動(dòng)一周時(shí)，感生電場(chǎng)所作的功表示為： (2.1)應(yīng)當(dāng)指出：法拉第建立的電磁感應(yīng)定律，只適用于由導(dǎo)體構(gòu)成的回路，而根據(jù)麥克斯韋關(guān)于感生電場(chǎng)的假設(shè)，電磁感應(yīng)定律有更深刻的意義，即不管有無(wú)導(dǎo)體構(gòu)成閉合回路，也不管回路是在真空中還是在介質(zhì)中，式(2.1)都是適用的。如果有閉合的導(dǎo)

7、體回路放人該感生電場(chǎng)中，感生電場(chǎng)就迫使導(dǎo)體中自由電荷作宏觀(guān)運(yùn)動(dòng)，從而顯示出感生電流；如果導(dǎo)體回路不存在，只不過(guò)沒(méi)有感生電流而已，但感生電場(chǎng)還是存在的。從式(2.1)還可看出：感生電場(chǎng)E的環(huán)流一般不為零，所以感生電場(chǎng)是渦旋場(chǎng)。位移電流概念是麥克斯韋在建立電磁場(chǎng)理論過(guò)程巾提出的重要假設(shè)。它表明，磁碭不僅可以由電流產(chǎn)生，變化的電場(chǎng)也可以產(chǎn)生磁場(chǎng)。位移電流和有旋電場(chǎng)的概念從兩個(gè)方面深刻而完整地揭示了電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的內(nèi)在聯(lián)系和相互依存，即電磁場(chǎng)是統(tǒng)一的不可分割的整體。傳導(dǎo)電流和位移電流都能產(chǎn)生磁場(chǎng)，兩種磁場(chǎng)都能對(duì)其中的電流或運(yùn)動(dòng)電荷施加磁力，兩種磁場(chǎng)的性質(zhì)也相同，即都是有旋無(wú)源的。但是，兩種磁場(chǎng)也有區(qū)別

8、，除了產(chǎn)生原因不同外，由于位移電流并不表示電荷在空間的運(yùn)動(dòng)，所以它與傳導(dǎo)電流不同，沒(méi)有熱效應(yīng)和化學(xué)效應(yīng)，只有磁效應(yīng)?？臻g的總磁場(chǎng)是傳導(dǎo)電流和位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)之和，是無(wú)源有旋的矢量場(chǎng)，其磁力線(xiàn)閉合。位移電流假設(shè)的提出，消除了把安培環(huán)路定理從恒定情形推廣到變化情形時(shí)遇到的矛盾和困難，使麥克斯韋得以建立完備的電磁場(chǎng)方程組。麥克斯韋方程組關(guān)于電磁波等理論預(yù)言實(shí)驗(yàn)的證實(shí)，不僅具有深刻的理論意義和巨大的應(yīng)用價(jià)值，也證明了位移電流假設(shè)的正確性。2.2.2 麥克斯韋方程組的簡(jiǎn)易推導(dǎo)(1)麥克斯韋方程組的積分形式5在電磁學(xué)中我們知道，一個(gè)電荷發(fā)出的電通量總是正比于，與附近有沒(méi)有其他電荷存在無(wú)關(guān)。由庫(kù)侖定律可以

9、推出關(guān)于電通量的高斯定理： (2.2)因靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)分布沒(méi)有旋渦狀結(jié)構(gòu)，因而可推導(dǎo)靜電場(chǎng)是無(wú)旋的。1831年法拉第發(fā)現(xiàn)當(dāng)磁場(chǎng)發(fā)生變化時(shí)，附近閉合線(xiàn)圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與通過(guò)該線(xiàn)圈內(nèi)部的磁通量變化率成正比，可表示為： (2.3)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是電場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合回路的線(xiàn)積分，因此電磁應(yīng)定律可寫(xiě)為： (2.4)若回路L是空間中的一條固定回路，則(2.4)式中對(duì)的全微分可代為偏微分： (2.5)下面研究電流和磁場(chǎng)的相互作用。實(shí)驗(yàn)指出，一個(gè)電流元?dú)v在磁場(chǎng)中所受的力可以表為： (2.6)恒定電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律由畢奧一薩伐爾定律給出。設(shè)為源點(diǎn)上的電流密度，為由到場(chǎng)點(diǎn)的距離，則場(chǎng)點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： (2.7)試（2

10、.7）中的為真空磁導(dǎo)率，積分遍及電流分布區(qū)域。細(xì)導(dǎo)線(xiàn)上恒定電流激發(fā)磁場(chǎng)的畢奧一薩伐爾定律寫(xiě)為： (2.8)根據(jù)安培環(huán)路定律，對(duì)于連續(xù)電流分布，在計(jì)算磁場(chǎng)沿回路的環(huán)量時(shí)，只需考慮通過(guò)以為邊界的曲面的電流，在以外流過(guò)的電流沒(méi)有貢獻(xiàn)。因此，環(huán)路定律表為： (2.9)上面研究了變化磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)，由麥克斯韋位移電流假設(shè)的結(jié)論變化電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)可推廣得： (2.10)由電磁學(xué)的知識(shí)，我們知道由電流激發(fā)的磁感應(yīng)線(xiàn)總是閉和曲線(xiàn)，因此，磁感應(yīng)強(qiáng)度雪是無(wú)源場(chǎng)，表示無(wú)源性的積分形式是雪對(duì)任何閉和曲面的總通量為零，即利用磁場(chǎng)高斯定理得： (2.11)由上得出麥克斯韋方程組的積分形式： (2.12)（2）麥克斯韋方程組的

11、微分形式【7】由麥克斯韋方程組的積分形式和數(shù)學(xué)公式： (2.13)推導(dǎo)出微分形式如下： (2.14)2.2.3 麥克斯韋方程組的意義麥克斯韋方程組最重要的特點(diǎn)是它揭示了電磁場(chǎng)的內(nèi)部的作用和運(yùn)動(dòng)。不僅電荷和電流可以激發(fā)電磁場(chǎng)，而且變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)也可以相互激發(fā)。因此只要某處發(fā)生電磁擾動(dòng)。由于電磁場(chǎng)相互激發(fā)，它就在空間中運(yùn)動(dòng)傳播，形成電磁波。麥克斯韋首先從這個(gè)方程組在理論上預(yù)言了電磁波的存在，并且指出光波就是一種電磁波【10】。麥?zhǔn)戏匠探M不僅揭示了電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，更揭示了電磁場(chǎng)可以獨(dú)立于電荷之外而存在，這樣就加深了我們對(duì)電磁場(chǎng)物質(zhì)性的認(rèn)識(shí)。2.3 從麥克斯韋方程組出發(fā)推導(dǎo)電磁波的波動(dòng)方程2.3.

12、1 電磁波波動(dòng)方程一般情況下，電磁波的基本方程是麥克斯韋方程組5: (2.15)現(xiàn)在我們?cè)谘芯吭跊](méi)有電荷電流分布的自由空間或均勻的絕緣介質(zhì)中的電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)形式。在自由空間中，電磁和磁場(chǎng)互相激發(fā)，電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是齊次得到麥克斯韋方程組: (2.16)先討論真空情形。在真空中， ，。取( 2.16 )第一式子的旋度并利用第二式得： (2.17)用矢量分析公式及 得 代入（2.17）式得電場(chǎng)的偏微分方程： (2.18)在方程組(2.16)式子中消去電場(chǎng)，可以得到磁場(chǎng)的偏微分方程: (2.19)令 (2.20)則和的方程可以寫(xiě)為 (2.21) 形式如（2.21）的方程稱(chēng)為波動(dòng)方程2.4 時(shí)諧電磁波的波

13、動(dòng)方程在很多實(shí)際情況下，電磁波的激發(fā)源往往以大致確定的頻率作正弦振蕩，因而輻射出的電磁波也以相同的頻率作正弦振蕩，這種以一定頻率作正弦振蕩的波稱(chēng)為時(shí)諧電磁波【8】。下面就只討論一定頻率的電磁波，設(shè)角頻率為，電磁場(chǎng)對(duì)時(shí)間的依賴(lài)關(guān)系是,或用復(fù)數(shù)形式表示為 (2.22)我們研究時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M，在一定頻率下對(duì)線(xiàn)性均勻介質(zhì)有 ， 把（2.22）式子(2.16)式，得 (2.23)在的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。由于，因而，取（2.23）第一式旋度并用第二式的 由 ，上式子變?yōu)?加上式子 得到時(shí)諧電磁波方程 (2.24) 3 矩形波導(dǎo)中的電磁波的求解圖3-1是矩形波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)示意圖，波導(dǎo)四壁

14、由良導(dǎo)體構(gòu)成，其截面長(zhǎng)為，寬為?，F(xiàn)在求矩形波導(dǎo)內(nèi)的電磁波解，選擇一直角坐標(biāo)系，取波導(dǎo)內(nèi)壁面為和，和 ； 圖 3-1 矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)z軸沿傳播方向，在一定頻率下，管內(nèi)時(shí)諧電磁波遵循亥姆霍茲方程： (3.1)滿(mǎn)足條件的解 ，此解在管壁上還需要滿(mǎn)足邊界條件 及電場(chǎng)在管壁上的切向分量為0，由于電磁波沿軸方向傳播，它應(yīng)有傳播因子，因此，我們把電場(chǎng)取為 (3.2)代入（3.1）式得 (3.3)用直角坐標(biāo)分離變量，設(shè) 為電磁波的任一直角分量，它滿(mǎn)足方程（3.3）,設(shè) 則上式可分解為兩個(gè)方程： (3.4)解（3.4）式，得的特解 (3.5)是任意常數(shù)，具體表示的某特定分量時(shí)，考慮邊界 和 還可以得到對(duì)這些常數(shù)的

15、一些限制條件。由和面上的邊界條件可得 (3.6)再考慮面上的邊界條件，得必須為的整數(shù)倍，即 （） 和 分別代表沿矩形兩邊的半波數(shù)目。對(duì)解（3.6）式還必須加上條件，由此條件得 (3.7)因此，在中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，對(duì)于每一組（）值，有兩種獨(dú)立波模。的解出后，磁場(chǎng)由式子 給出 (3.8)由（3.7）式，對(duì)一定的(m, n)如果選一種波模具有，則該波模的就完全確定，因而另一種波模必須有，由（3.8）式可看出，對(duì)的波模，。因此，在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波由如下特點(diǎn)：電場(chǎng)和磁場(chǎng)不能同時(shí)為橫波。通常選一種波模為的波，稱(chēng)橫電波（）,另一種波模為稱(chēng)橫電波（）.波和波又按（m, n）值的不同而分為和波，一般情形下，在波

16、導(dǎo)中可以存在這些波的疊加。4 截止波長(zhǎng)的推算4.1 截止波長(zhǎng)公式的理論推導(dǎo)在（3.7）式中，為介質(zhì)內(nèi)的波數(shù)，它由激發(fā)頻率確定；和由式確定，它們決定于管截面的幾何尺寸以及波模的（m ,n）數(shù)。若激發(fā)頻率降低到，則變?yōu)樘摂?shù)，這時(shí)傳播因子變?yōu)樗p因子9。在這種情形下，電磁場(chǎng)不在是沿波導(dǎo)傳播的波，而是沿z軸方向振幅不斷衰減的電場(chǎng)振蕩。能夠在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率稱(chēng)為該波模的截止頻率。由和 （） ()型的截止角頻率為 (4.1)由 ， ，得： (4.2)若，則波有最低截止頻率 (4.3)若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為c/2a 相應(yīng)的截止波長(zhǎng)為 (4.4)4.2矩形波導(dǎo)管截止波長(zhǎng)的數(shù)值計(jì)算上一節(jié)得到了電

17、磁波在矩形波導(dǎo)中傳播的截止波長(zhǎng)，為了加深對(duì)矩形波導(dǎo)管截止波長(zhǎng)的理解，我們利用（4.2）式實(shí)際計(jì)算了幾種不同幾何尺寸的矩形波導(dǎo)管的較低階模式的截止波長(zhǎng)，計(jì)算結(jié)果如表（4.1）、（4.2）、（4.3）所示。 表（4.1） mn（cm） 1 1 3.3 1 0 4.0 0 1 6.0 表（4.2） mn（cm） 1 1 3.6 1 0 4.0 0 1 8.0 表（4.2） mn（cm） 1 1 5.1 1 0 6.0 0 1 10.0 表（4.1）是 橫截面尺寸為的矩形波導(dǎo)管的三種模式的截止波長(zhǎng)，從表中可看出隨模序數(shù)的增加，截止波長(zhǎng)減小，能夠在該波導(dǎo)管中傳輸?shù)淖铋L(zhǎng)波長(zhǎng)是模，其截止波長(zhǎng)為；表（4.2）

18、是 橫截面尺寸為的矩形波導(dǎo)管的三種模式的截止波長(zhǎng)，從表中可看出隨模序數(shù)的增加，截止波長(zhǎng)減小，能夠在該波導(dǎo)管中傳輸?shù)淖铋L(zhǎng)波長(zhǎng)是模，其截止波長(zhǎng)為；表（4.3）是 橫截面尺寸為的矩形波導(dǎo)管的三種模式的截止波長(zhǎng)，從表中可看出隨模序數(shù)的增加，截止波長(zhǎng)也減小，能夠在該波導(dǎo)管中傳輸?shù)淖铋L(zhǎng)波長(zhǎng)是模，其截止波長(zhǎng)為。 5 結(jié)論通過(guò)對(duì)在矩形波導(dǎo)中傳播的電磁波的求解，可以知道電磁波在矩形波導(dǎo)中傳播存在一個(gè)截止波長(zhǎng)，并且波長(zhǎng)較短，大都屬于厘米量級(jí)波微波，也就是存在一個(gè)截止頻率，所以波導(dǎo)管相當(dāng)于一個(gè)高通濾波器，頻率比截止頻率低的電磁波不能在波導(dǎo)管中傳輸，只有頻率比截止頻率高的電磁波才能在波導(dǎo)管中傳輸。 參考文獻(xiàn)：1劉覺(jué)平

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