2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)II）數(shù)學(xué)理

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新課標(biāo)II)數(shù)學(xué)理1.已知集合A=-2，-1，0，1，2，B=x|(x-1)(x+2)0，則AB=()A.-1，0B.0，1C.-1，0，1D.0，1，2解析：B=x|-2x1，A=-2，-1，0，1，2，AB=-1，0.故選：A2.若a為實(shí)數(shù)，且(2+ai)(a-2i)=-4i，則a=()A.-1B.0C.1D.2解析：因?yàn)?2+ai)(a-2i)=-4i，所以4a+(a2-4)i=-4i，4a=0，并且a2-4=-4，所以a=0.故選：B3.根據(jù)如圖給出的2004年至2020年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()A.逐年

2、比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B(niǎo).2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)解析：A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；B2004-2006年二氧化硫排放量越來(lái)越多，從2007年開(kāi)始二氧化硫排放量變少，故B正確；C從圖中看出，2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，故C正確；D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，而不是與年份正相關(guān)，故D錯(cuò)誤.故選：D4.已知等比數(shù)列an滿足a1=3，a1+a3+a5=21，則a

3、3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84解析：a1=3，a1+a3+a5=21，a1(1+q2+q4)=21，q4+q2+1=7，q4+q2-6=0，q2=2，a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3×(2+4+8)=42.故選：B5.設(shè)函數(shù)f(x)=，則f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12解析：函數(shù)f(x)=，即有f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3，f(log212)=12×=6，則有f(-2)+f(log212)=3+6=9.故選C6.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分

4、體積的比值為()A.B.C.D.解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為以棱錐，正方體切掉部分的體積為××1×1×1=，剩余部分體積為1-=，截去部分體積與剩余部分體積的比值為.故選：D7.過(guò)三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，-7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|=()A.2B.8C.4D.10解析：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，D=-2，E=4，F(xiàn)=-20，x2+y2-2x+4y-20=0，令x=0，可得y2+4y-20=0，y=-2±2，|MN|=4.故選：C8.如圖程序抗土的算法思路源于我國(guó)古

5、代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b分別為14，18，則輸出的a=()A.0B.2C.4D.14解析：模擬執(zhí)行程序框圖，可得a=14，b=18，滿足條件ab，不滿足條件ab，b=4，滿足條件ab，滿足條件ab，a=10，滿足條件ab，滿足條件ab，a=6，滿足條件ab，滿足條件ab，a=2，滿足條件ab，不滿足條件ab，b=2，不滿足條件ab，輸出a的值為2.故選：B9.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于

6、垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=××R2×R=16R3=36，故R=6，則球O的表面積為4R2=144.故選C10.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記BOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y=f(x)的圖象大致為()A.B.C.D.解析：由對(duì)稱性可知函數(shù)f(x)關(guān)于x=對(duì)稱，且當(dāng)0x時(shí)，BP=tanx，AP= ，此時(shí)f(x)= +tanx，0x，此時(shí)單調(diào)遞增，排除A，C(不是直線遞增)，D.故選：B11.

7、已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為()A.B.2C.D.解析：設(shè)M在雙曲線的左支上，且MA=AB=2a，MAB=120°，則M的坐標(biāo)為(-2a，a)，代入雙曲線方程可得，可得a=b，c=，即有e=.故選：D12.設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x0時(shí)，xf(x)-f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是()A.(-，-1)(0，1)B.(-1，0)(1，+)C.(-，-1)(-1，0)D.(0，1)(1，+)解析：設(shè)g(x)=，則g(x)的導(dǎo)數(shù)為：g(x)=，當(dāng)x0時(shí)總有

8、xf(x)f(x)成立，即當(dāng)x0時(shí)，g(x)恒小于0，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g(x)=為減函數(shù)，又g(-x)=f(x)x=g(x)，函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù)又g(-1)=0，函數(shù)g(x)的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f(x)0x·g(x)0或，0x1或x-1.故選：A13.設(shè)向量，不平行，向量+與+2平行，則實(shí)數(shù)= .解析：因?yàn)橄蛄浚黄叫?，向?與+2平行，所以+=(+2)，所以，解得=.故答案為：14.若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為 .解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，z最大，由得D(1，)，所以z=x+y的最大值為1+=.故答案為

9、：15. (a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a= .解析：設(shè)f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a5x5，令x=1，則a0+a1+a2+a5=f(1)=16(a+1)，令x=-1，則a0-a1+a2-a5=f(-1)=0.-得，2(a1+a3+a5)=16(a+1)，所以2×32=16(a+1)，所以a=3.故答案為：316.設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，則Sn= .解析：an+1=SnSn+1，an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1，=1，即=-1，又a1=-1，即=-1，數(shù)列是以首項(xiàng)和公差均

10、為-1的等差數(shù)列，=-1-1(n-1)=-n，Sn=-.故答案為：-17. ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求；(2)若AD=1，DC=，求BD和AC的長(zhǎng).解析：(1)如圖，過(guò)A作AEBC于E，由已知及面積公式可得BD=2DC，由AD平分BAC及正弦定理可得，sinC=，從而得解.(2)由(1)可求BD=.過(guò)D作DMAB于M，作DNAC于N，由AD平分BAC，可求AB=2AC，令A(yù)C=x，則AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的長(zhǎng).答案：(1)如圖，過(guò)A作AEBC于E，=2，BD=2DC，AD平分BAC，BAD=DAC，在ABD中，sinB=

11、；在ADC中，sinC=；.(2)由(1)知，BD=2DC=2×=.過(guò)D作DMAB于M，作DNAC于N，AD平分BAC，DM=DN，=2，AB=2AC，令A(yù)C=x，則AB=2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得：，x=1，AC=1，BD的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為1.18.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

12、93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的頻率，求C的概率.解析：()根據(jù)莖葉圖的畫(huà)法，以及有關(guān)莖葉圖的知識(shí)，比較即可；()根據(jù)概率的互斥和對(duì)立，以及概率的運(yùn)算公式，計(jì)算即可.答案：(1)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下：通過(guò)莖葉圖可以

13、看出，A地區(qū)用戶滿意評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意評(píng)分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散；()記CA1表示事件“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”，記CA2表示事件“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為非常滿意”，記CB1表示事件“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為不滿意”，記CB2表示事件“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意”，則CA1與CB1獨(dú)立，CA2與CB2獨(dú)立，CB1與CB2互斥，則C=CA1CB1CA2CB2，P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2)，由所給的數(shù)據(jù)CA1，CA2，CB1，CB2，發(fā)生的頻率為，所以P(C

14、A1)=，P(CA2)=，P(CB1)=，P(CB2)=，所以P(C)=0.48.19.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)；(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.解析：(1)容易知道所圍成正方形的邊長(zhǎng)為10，再結(jié)合長(zhǎng)方體各邊的長(zhǎng)度，即可找出正方形的位置，從而畫(huà)出這個(gè)正方形；(2)分別以直線DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，考慮用空間向量解決本問(wèn)，能夠確定A，H，E，F(xiàn)幾點(diǎn)的

15、坐標(biāo).設(shè)平面EFGH的法向量為=(x，y，z)，根據(jù)即可求出法向量，坐標(biāo)可以求出，可設(shè)直線AF與平面EFGH所成角為，由sin=|cos，|即可求得直線AF與平面所成角的正弦值.答案：(1)交線圍成的正方形EFGH如圖：(2)作EMAB，垂足為M，則：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；MH=6，AH=10；以邊DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(xiàn)(0，4，8)；=(-10，0，0)，=(0，6，-8)；設(shè)=(x，y，z)為平面EFGH的法向量，則：，取z=3，則=(0，4，3)；若設(shè)直

16、線AF和平面EFGH所成的角為，則：sin=|cos，|=；直線AF與平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓C：9x2+y2=m2(m0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)(，m)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由.解析：(1)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出對(duì)應(yīng)的直線斜率即可得到結(jié)論.(2)四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論.答案：(1)設(shè)直線l：y=kx+b

17、，(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，將y=kx+b代入9x2+y2=m2(m0)，得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0，則x1+x2=，則xM=，yM=kxM+b=，于是直線OM的斜率kOM=，即kOM·k=-9，直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.(2)四邊形OAPB能為平行四邊形.直線l過(guò)點(diǎn)(，m)，l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k3，由(1)知OM的方程為y=-x，設(shè)P的橫坐標(biāo)為xP，由得xP2=，即xP=，將點(diǎn)(，m)的坐標(biāo)代入l的方程得b=，因此xM=，四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，

18、即xP=2xM，于是，解得k1=4-或k2=4+，ki0，ki3，i=1，2，當(dāng)l的斜率為4-或4+時(shí)，四邊形OAPB能為平行四邊形.21.設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.(1)證明：f(x)在(-，0)單調(diào)遞減，在(0，+)單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于任意x1，x2-1，1，都有|f(x1)-f(x2)|e-1，求m的取值范圍.解析：(1)利用f'(x)0說(shuō)明函數(shù)為增函數(shù)，利用f'(x)0說(shuō)明函數(shù)為減函數(shù).注意參數(shù)m的討論；(2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在-1，0單調(diào)遞減，在0，1單調(diào)遞增，則恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問(wèn)題.從而求得m的取值范圍.答案：(1)f

19、9;(x)=m(emx-1)+2x.若m0，則當(dāng)x(-，0)時(shí)，emx-10，f'(x)0；當(dāng)x(0，+)時(shí)，emx-10，f'(x)0.若m0，則當(dāng)x(-，0)時(shí)，emx-10，f'(x)0；當(dāng)x(0，+)時(shí)，emx-10，f'(x)0.所以，f(x)在(-，0)時(shí)單調(diào)遞減，在(0，+)單調(diào)遞增.(2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在-1，0單調(diào)遞減，在0，1單調(diào)遞增，故f(x)在x=0處取得最小值.所以對(duì)于任意x1，x2-1，1，|f(x1)-f(x2)|e-1的充要條件是，即; 設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1，則g'(t)=e'-1.當(dāng)

20、t0時(shí)，g'(t)0；當(dāng)t0時(shí)，g'(t)0.故g(t)在(-，0)單調(diào)遞減，在(0，+)單調(diào)遞增.又g(1)=0，g(-1)=e-1+2-e0，故當(dāng)t-1，1時(shí)，g(t)0.當(dāng)m-1，1時(shí)，g(m)0，g(-m)0，即合式成立；當(dāng)m1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)0，即e-m+me-1.當(dāng)m-1時(shí)，g(-m)0，即e-m+me-1.綜上，m的取值范圍是-1，1.22.如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，O與ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn).(1)證明：EFBC；(2)若AG等于O的半徑，且AE=MN=2，求四邊形EB

21、CF的面積.解析：(1)通過(guò)AD是CAB的角平分線及圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，利用相似的性質(zhì)即得結(jié)論；(2)通過(guò)(1)知AD是EF的垂直平分線，連結(jié)OE、OM，則OEAE，利用SABC-SAEF計(jì)算即可.答案(1)ABC為等腰三角形，ADBC，AD是CAB的角平分線，又圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，AE=AF，ADEF，EFBC.(2)由(1)知AE=AF，ADEF，AD是EF的垂直平分線，又EF為圓O的弦，O在AD上，連結(jié)OE、OM，則OEAE，由AG等于圓O的半徑可得AO=2OE，OAE=30°，ABC與AEF都是等邊三角形，AE=2，AO=4，OE=2，OM=OE=2，DM=MN=，OD=1，AD=5，AB=，四邊形EBCF的面積為.23.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0，0)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：=2sin，曲線C3：=2cos.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C2與C1相交于點(diǎn)A，