積分、疊加法求變形

1、6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 在在小變形小變形，是線性的；是線性的； 材料材料服從胡克定律服從胡克定律的情況下，的情況下，)()(xMxEI 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程彎矩彎矩)(xM與載荷之間的關(guān)系與載荷之間的關(guān)系對(duì)應(yīng)于幾種不同的載荷，對(duì)應(yīng)于幾種不同的載荷，是線性的；是線性的；彎矩可以疊加，彎矩可以疊加，近似微分方程的解也可以疊加。近似微分方程的解也可以疊加。計(jì)算彎矩時(shí)，使用變形前的位置計(jì)算彎矩時(shí)，使用變形前的位置FFMEI qqMEI MEI qFMMxM)(設(shè)彎矩設(shè)彎矩 MqFqFMMEIEI )( qFEI)(qFEI qF撓曲線撓曲線分別滿足各自

2、的近似微分方程分別滿足各自的近似微分方程將兩個(gè)微分方程疊加將兩個(gè)微分方程疊加M分別計(jì)算出每一載荷單獨(dú)引起的變形，分別計(jì)算出每一載荷單獨(dú)引起的變形，將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形疊加原理。疊加原理。總的近似微分方程：總的近似微分方程：)( qFEI證明證明 梁的梁的變形微小變形微小, 且梁且梁在線彈性在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)范圍內(nèi)工作時(shí), 梁在幾項(xiàng)荷梁在幾項(xiàng)荷載載(可以是集中力可以是集中力, 集中力偶或分布力集中力偶或分布力)同時(shí)作用下的撓度和轉(zhuǎn)同時(shí)作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊角，分別等于每一荷載單獨(dú)作

3、用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加加. 當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿如均沿w軸方向軸方向), 其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在如均在 xy 平面內(nèi)平面內(nèi))時(shí)時(shí),則疊加就是代數(shù)則疊加就是代數(shù)和和. 這就是疊加原理這就是疊加原理.121122(,)()()()nnnF FFFFF 121122(,)()()()nnnw F FFw Fw FwF1 1、載荷疊加、載荷疊加2 2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）例例1 1 按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。36P

4、 CF awE I 24P AF aE I 4524qCqLwE I 33qAqaE I qF=+ABCaaFABqABq 疊加疊加2(34)12APAqAaFqaEI435246CPCqCwwwqaFaEIEI 36P CF awE I24P AF aE I4524qCqLwE I33qAqaE IF=+ABCaaFABqAB例例2 2 ：q、l、 EI，求求：yC , B C , B1、載荷分解、載荷分解,2431EIqlBEIqlC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC48343,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(322查表：?jiǎn)为?dú)載荷作用下

5、查表：?jiǎn)为?dú)載荷作用下321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql3841143、變形疊加、變形疊加例例3 3 wwwwww,631EIqlCEIqlC841w,6)2(32EIlqB2222lBBCEIlq8)2(422lB2cw21CCCEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874 將將梁的撓曲線分成幾段梁的撓曲線分成幾段;首先分別計(jì)算各段梁的變形在首先分別計(jì)算各段梁的變形在需求位移處需求位移處引起的位引起的位移（撓度和

6、轉(zhuǎn)角）移（撓度和轉(zhuǎn)角）;然后計(jì)算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移。然后計(jì)算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時(shí)，在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時(shí)，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。例例3 3 ：ABalFC1）考慮）考慮AB段變形引起的截面的撓度段變形引起的截面的撓度(BC段看作剛體段看作剛體)外力向研究的段上簡(jiǎn)化外力向研究的段上簡(jiǎn)化ABalCFFaF F：作用在支座上，不產(chǎn)生變形。作用在支座上，不產(chǎn)生變形。FaFa：使使ABAB梁產(chǎn)生變形。梁產(chǎn)生變形。B()3BFa

7、lEI 1CaBC1aEIlFa3)()(32EIlFaABalCFFaFa引起梁的變形形狀為引起梁的變形形狀為段上凸；段上凸；2）考慮）考慮BC段變形引起段變形引起C截面的撓度截面的撓度a2Cw)(332EIFawC21CCC)(3332EIFaEIlFaABalFCAB段看作剛體段看作剛體FBCC截面的總撓度截面的總撓度剛度條件剛度條件（stiffness condition)剛度條件的應(yīng)用剛度條件的應(yīng)用maxmax ww是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角. w (1)(1)校核剛度校核剛度(2)(2)設(shè)計(jì)截面尺寸設(shè)計(jì)截面尺寸(3)(3)求許可載荷求許可載荷6.5 6.5 簡(jiǎn)單超

8、靜定梁簡(jiǎn)單超靜定梁基本概念基本概念1.1.超靜定梁超靜定梁?jiǎn)螒{靜力平衡方程不能求出全單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁部支反力的梁 , , 稱為超靜定梁稱為超靜定梁FABABCFFRAFRBFRC2.“2.“多余多余”約束約束多于維持其靜力平衡所必需的多于維持其靜力平衡所必需的約束約束3.“3.“多余多余”反力反力“多余多余”相應(yīng)的支座反力相應(yīng)的支座反力4.4.超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)超靜定梁的超靜定梁的 “ “多余多余” ” 約束的約束的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù)數(shù)目就等于其超靜定次數(shù). .n = 未知力的個(gè)數(shù)未知力的個(gè)數(shù) - 獨(dú)立平衡方程的數(shù)目獨(dú)立平衡方程的數(shù)目FABABCFFRAFRBFRC

9、二、求解超靜定梁的步驟二、求解超靜定梁的步驟1、把超靜定梁在形式上轉(zhuǎn)變?yōu)殪o定、把超靜定梁在形式上轉(zhuǎn)變?yōu)殪o定梁梁將可動(dòng)絞鏈支座作看多余約束將可動(dòng)絞鏈支座作看多余約束,解解除多余約束代之以約束反力除多余約束代之以約束反力 RB.得到得到原超靜定梁的基本靜定系原超靜定梁的基本靜定系.2、列、列幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程超靜定梁在多余約束處的約束條超靜定梁在多余約束處的約束條件，梁的件，梁的 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件ABql0BwqABRB根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程：根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程：變形幾何方程為變形幾何方程為BBBqBRwww0BBqBRww BqwBBRw3 3、

10、列、列物理方程物理方程變形與力的關(guān)系變形與力的關(guān)系 查表得查表得qAB將力與變形的關(guān)系代入將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程變形幾何方程得補(bǔ)充方程4 4、建立補(bǔ)充方程、建立補(bǔ)充方程48BqqlwEI 33BBBRlRwEI BARBqABRB補(bǔ)充方程為補(bǔ)充方程為由該式解得由該式解得5 5、求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、變形等）、求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、變形等）43083BqllREIEI38BqlRqABqABBABqwBBRwRBRBRAmA求出該梁固定端的兩個(gè)支反力求出該梁固定端的兩個(gè)支反力58AqlR218Aqlm代以與其相應(yīng)的多余反力偶代以與其相應(yīng)的多余反力偶 mA 得基本靜定系

11、得基本靜定系.變形相容條件為變形相容條件為請(qǐng)同學(xué)們自行完成請(qǐng)同學(xué)們自行完成 ！方法二方法二:取支座取支座 A 處阻止梁轉(zhuǎn)動(dòng)的約束處阻止梁轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為多余約束為多余約束.0A ABqlABqlmA例例5 如圖示結(jié)構(gòu)，已知如圖示結(jié)構(gòu)，已知AB梁截面的慣性矩為梁截面的慣性矩為I，桿，桿BD的截面的截面積為積為A,二者材料相同，彈性模量為二者材料相同，彈性模量為E。試求。試求BD桿所受的拉力桿所受的拉力FN。FFFFFFABCDFFFFFFABCDlwwwBFBFBNEAlFlNawwCFCFBF 6-6 6-6 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施( )zM xwEI w)(xM E zI一、改善結(jié)構(gòu)、

12、減少?gòu)澗匾?、改善結(jié)構(gòu)、減少?gòu)澗?、合理安排支座；、合理安排支座；、合理安排受力；、合理安排受力；、集中力分散；、集中力分散；?w一般與跨度有關(guān)，一般與跨度有關(guān)，、增加約束：、增加約束：3l成正比，成正比，與與故可減小跨度；故可減小跨度；CdxEIxMw)( DCxdxdxEIxMw)(尾頂針、跟刀架或尾頂針、跟刀架或加裝中間支架；加裝中間支架；較長(zhǎng)的傳動(dòng)軸采用三較長(zhǎng)的傳動(dòng)軸采用三支撐；支撐；橋梁增加橋墩。橋梁增加橋墩。、增加約束：、增加約束：采用超靜定結(jié)構(gòu)采用超靜定結(jié)構(gòu)改變支座形式改變支座形式FF改變載荷類型改變載荷類型q=F/LFzI二、選擇合理的截面形狀二、選擇合理的截面形狀A(yù)幾乎不變，大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸處，幾乎不變，大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸處， 工字形、槽鋼等；工字形、槽鋼等；起重機(jī)大梁常采工字形或箱形