高等工程數(shù)學(xué)-過關(guān)秘籍

1、1. 高等工程數(shù)學(xué)總體框架2. Nim取子問題：理解：什么是平衡狀態(tài)，從2堆開始。上面這個圖讓我們明白，整個游戲中只有兩種狀態(tài)，一種是平衡狀態(tài)，另一種是非平衡狀態(tài)。2堆的平衡狀態(tài)很簡單就是。那么k堆的呢？k堆的平衡狀態(tài)就是上面的。（那平衡狀態(tài)跟輸贏啥關(guān)系呢？）如何去理解這個呢？我們從最后結(jié)果開始分析，如果游戲人1要贏，最后肯定要在最后一堆取（即取最后一堆所有的，而這個狀態(tài)時非平衡狀態(tài)。）由平衡狀態(tài)的性質(zhì)可知平衡狀態(tài)的下一個狀態(tài)必須是不平衡狀態(tài)。那么反過來推，如果游戲人1要贏就必須一致保持非平衡狀態(tài)，讓游戲人2保持平衡狀態(tài)（因為游戲人1具有制造平衡狀態(tài)的主動權(quán)，可以讓游戲人2一直處于平衡狀態(tài)，那

2、么游戲人2就會不得不給游戲人1制造不平衡狀態(tài)，1就必贏）。因此nim取子的核心在于給對方制造平衡狀態(tài)，這樣對方就不得不給自己制造不平衡狀態(tài)。不停循環(huán)，最后自己必將得到最后一個不平衡狀態(tài)，獲得勝利。例題：4堆硬幣7,9,12,15.有了上面的理解，下面要玩游戲就是如何算得平衡狀態(tài)和制造平衡狀態(tài)的問題了。步驟：1. 將每堆硬幣化為二進(jìn)制。 2. 變成平衡狀態(tài)每列和為0.那么問題來了3. 乘法原理數(shù)字問題：解題思路：一般分個位十位百位千位，分部去分析。這種題目一般都比較簡單，主要分為奇數(shù)偶數(shù)（個位），幾位數(shù)，特定數(shù)字?jǐn)?shù)，非0數(shù)等情況，注意默認(rèn)條件0123456789.注意：先看個位和千位（先特殊后一

3、般），5*8*8*7=2240解法一：分一位數(shù)，二位數(shù)，三位數(shù)，四位數(shù)分別求出其中包含5的情況，加起來。解法二： 4. 鴿巢原理對鴿巢原理的理解：做題：湊鴿巢原理，先判斷是否存在整除的，有則得結(jié)論，沒有就鴿巢。分析：拿什么進(jìn)行鴿巢原理。根據(jù)問題來，采用前n項和。第一步：判斷Si，若存在整除得結(jié)論。第二步：若無，則每個Si對應(yīng)m一個余數(shù)總共m個，而m的余數(shù)除去0就剩m-1個了即1.m-1。則必然存在兩個S余數(shù)相等。一減就得到m的倍數(shù)，即Sl-Sk=(ql-qk)m=得證。分析：1. 容斥原理理解：正方向求取比較難，反其道而行。一般容斥原理分層次，總的減去第一層的多減去了，加上第二層的又多加了，再

4、減去第三層的又多減去了，以此類推，知道最后全部包括。每個層次的系數(shù)：例題：求解步驟：1. 定義總體和取反元素2. 求出每層的值3. 套用公式。分析：正著求比較難，容斥原理第二章1. 利用乘法原理得到r-排列全排列例題：分析：碰到不連續(xù)出現(xiàn)的問題，一般使用間隔發(fā)。首先將剩余的21個字母全排列然后通過插空法在22個間隔中全排5個元音字母。即是2. 循環(huán)排列問題：理解：r-排列去除首位的順序，即是N個物體的n-循環(huán)排列：例題：分析： 1）不挨著使用插空法。，現(xiàn)將剩余的8個循環(huán)排列，然后在8個空里面2-排列這兩個人，即（8！/8）*8*7=7*8！2）書上是使用減法原理，先全部循環(huán)排，然后減去兩個人挨

5、著坐的情況。3. 組合問題組合的理解：由組合的定義可以知道，組合就是排列除去順序。例題：分析：題目要求求3,4,5個元音。所以求解分為3個元音的，4個元音的，5個元音的。3個元音的求解：從8個里面選3個位置放元音，有種放法。再是這三個放什么有剩下的5個位置放什么有分步最后都乘起來為做這種題目時要分清球放盒子和從n里面選幾個，從而明白什么時候用冪次方，什么時候用集合。4. 多重集合的n-排列1）理解：例題：分析：有相同的怎么辦？先拍一個的。8有5種方式3有4種，剩下的三個一就只有一種即是5*4*1=202）定理16理解：從第一個位置開始有k種，第二個由于不會減少還是k種，以此類推，K*k*k*.

6、= 3）上面是無限次的，若是對于種有有限個數(shù)呢？還是分步去做，排列的都是分步去做的依次類推最后得到4）由上面的兩種情況，找到一個很普遍的問題：的全排列問題，其中書上說這是從n個里面取p個的另一種解釋。（上一種是通過排列得到的。）5. 多重集合的組合1）貫穿課程的核心問題等價于即上面三個式子同一個概念。又等價于的（全）排列數(shù)目。2）沒有實質(zhì)性限制的多重集同上見書上p92例題：分析：1. 定義系數(shù)Xi得到多重集組合表達(dá)式2. 約束條件3. 轉(zhuǎn)換成多重集組合的約束條件。4. 若滿足無限多或無實質(zhì)性限制，套用公式。5. 不滿足則使用轉(zhuǎn)換，或者填補(bǔ)法，或者分解求解，或者容斥原理。經(jīng)典例題分析：1. 已經(jīng)

7、是多重集合表達(dá)式，且約束條件符合。直接進(jìn)入第三步2. 無法套用公式3. 轉(zhuǎn)換，可以。轉(zhuǎn)換不行再思考如何使用容斥原理求解。分析：1. 定義全集和取反元素2. 求全集和各取反元素第一層第二層第三層：3. 根據(jù)容斥原理得到答案：分析：1. 化為多重集標(biāo)準(zhǔn)約束的多重集表達(dá)式2. 轉(zhuǎn)換為求標(biāo)準(zhǔn)多重集3.分析：1. 是否可轉(zhuǎn)換，不可以，但有希望2. 使用分解方式（分解了第一個a類）第三章：1）排列的生成算法如何根據(jù)該算法得到之前的或者之后的排列。分析：1. 最大的活動整數(shù)是什么？2. 交換箭頭指向的數(shù)3. 遇到大的改變大的箭頭（激活大的）2）排列的逆序?qū)Γ嫘蛄信c排列一一對應(yīng)）得到逆序列3）排列的字典生成

8、法分析：1. 明確數(shù)列最大和最小2. 明確帶前綴的最大和最小3. 從尾部找最長的單調(diào)降子段4. 交換5. 倒置2）組合的生成1）gray碼分析：1. 明確開始于與結(jié)束2. 和為偶數(shù)簡單，變換最后一位。3. 為奇數(shù)，找最后一個1，變換其左邊的值。（理解隔1變換）2）分析：1. 明確開始12342. 從最后一位開始根據(jù)集合種數(shù)不斷變大到最大12363. 變換倒數(shù)第二位為124,后面繼續(xù)從第二位開始變大4. 依次類推到最大。3）1）楊輝三角由下面推導(dǎo)上圖即2）一些常見的公式(由二項式定理推導(dǎo)) 也是數(shù)列f(n)=1,即1,1,1,1,1,1.的母函數(shù)核心公式理解：1. 設(shè)定k次冪的系數(shù)得到的方式，由

9、每一個因子提供2. 得到經(jīng)典多重集組合標(biāo)準(zhǔn)形式3. 這個數(shù)目為思考：這個數(shù)目代表了什么？ 每一個組合都是一個Xk，最后有個，即是Xk的系數(shù)。4）數(shù)列求值1. 分析：1）漢諾塔是個什么樣的問題這里使用的是湊冪次方法2. 介紹了斐波那契數(shù)列3. 齊次方程組理解：1. 寫出特征方程2. 求出特征解2. 寫出通解表達(dá)式3. 帶入邊界值求出通解。1）基本類型分析：1. 特征方程2. 求解，寫出表達(dá)式3. 帶入邊界值，求出答案自己做2）重根情況的處理分析：處理方式其他的同上1. 寫出特征方程2. 求出解3. 寫出表達(dá)式（重根的不斷乘以n）4. 帶入邊界值求解4. 非齊次方程組分析：1）根據(jù)齊次特征方程求解

10、得齊次通解2）求特解（根據(jù)條件設(shè)置特解性質(zhì)）得通解3）帶入邊界值求得答案1）求齊次通解2）求特解3）帶入邊界值求解分析：1. 求其次通解2）求特解3）帶入邊界值（將通解的得到放到這了）注意求特解經(jīng)驗該題直接更具上面求解方式簡單。該題涉及到特解與特征根重復(fù)，使用乘以n區(qū)別。該題跟上面一樣，在求特解的時候與特征根重復(fù)，乘以n區(qū)別。5）母函數(shù)也是求遞歸的序列的一種方式。理解：原數(shù)列對應(yīng)為母函數(shù)次冪的系數(shù)。對應(yīng)關(guān)系分析：之前我們求了n等于某一個數(shù)的情況?，F(xiàn)在要求n從1到5+2+4=11的所有情況。他們組成的一個數(shù)列就是gn。怎么求呢？一個一個求。當(dāng)然根據(jù)組合的性質(zhì)對應(yīng)關(guān)系可以只求一半。使用母函數(shù)表示出來。這個是定理，記住。用法分析：如何寫出其母函數(shù)表達(dá)式1）轉(zhuǎn)換為組合表達(dá)方式T=<偶數(shù)>蘋果，<奇數(shù)>香蕉，<0,1,2,3,4>橘子，<1,2,3,.>梨2）根據(jù)定理66得到母函數(shù)同理寫出下面例子這題怎么做，先轉(zhuǎn)換為多重集組合表達(dá)式遞歸關(guān)系與母函數(shù)分析：根據(jù)表達(dá)式