課程論文：彈塑性力學(xué)廣義變分原理

1、彈塑性力學(xué)中的廣義變分原理課程論文題目：廣義變分原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用姓名：儲迅易專業(yè)：工程力學(xué)學(xué)號：131310040008老師：邵國建河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院2014年4月1日2彈塑性力學(xué)中的廣義變分原理課程論文摘要：把一個力學(xué)問題用變分法化為求泛函極值的問題，就稱為該物理問題的變分原理。如果建立了一個新的變分原理，它解除了原有的某問題變分原理的某些約束條件，就稱為該問題的廣義變分原理；如果解除了所有的約束條件，就稱為無條件廣義變分原理，或稱為完全的廣義變分原理。本文在總結(jié)部分課程內(nèi)容的基礎(chǔ)上，運用廣義變分原理探討了結(jié)構(gòu)力學(xué)中柱體扭轉(zhuǎn)問題。關(guān)鍵字：變分法 彈性力學(xué)變分原理 柱體的扭轉(zhuǎn)問題 1

2、 概述變分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公開信的方式提出最速降線命題，并在1697年進(jìn)行了解決。關(guān)于變分法的一般理論是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我們稱之為Euler-Lagrange變分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利學(xué)者Castigor提出了最小功原理。德國學(xué)者Hellinger于1914年發(fā)表了有關(guān)不完全廣義變分原理，后來美國學(xué)者Reissner發(fā)表了與Hellinger相類似的工作，此工作被稱之為Hellinger-Reissner變分原理。我國學(xué)者錢令希于1950年發(fā)表“余能原理”論文。我

3、國學(xué)者胡海昌于1954年發(fā)表了有關(guān)廣義變分原理的論文，日本學(xué)者鷲津久一郎(Washizu)于1955年發(fā)表了與有胡海昌相類似的工作，此工作被稱之為胡-鷲變分原理。1956年Biot建立了熱彈性力學(xué)變分原理。1964年錢偉長提出用Lagranger乘子構(gòu)造廣義 分原理的方法。1964年Gurtin提出了線彈性動力學(xué)變分原理。1967年意大利學(xué)者Tonti提出了四類變量的廣義變分原理，在這類變分原理中，位移、應(yīng)變、應(yīng)力及Beltrami應(yīng)力函數(shù)都是變分變量。2 變分法變分法是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數(shù)的積分和它的導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造。變分法最終

4、尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。在函數(shù)論中，自變量對應(yīng)著另一變量，則變量稱為自變量的函數(shù)。假如自變函數(shù)對應(yīng)著另一個函數(shù)，則稱為泛函。泛函是函數(shù)的函數(shù)，是函數(shù)的廣義函數(shù)。自變函數(shù)的變分所引起的泛函的增量，即：類似地，其可展開為線性項和非線性項 其中L是對的線性泛函項，而是非線性泛函項，是的同階或高階微量，當(dāng)時，同時也趨近于零，這時泛函的增量等于的線性部分，叫做泛函的變分，用來表示。 所以泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個主部對于函數(shù)變分來說是線性的。求泛函在邊界條件下的極值。=0的條件是： 這個方程稱為歐拉方程，就是說，泛函極值的積分方程轉(zhuǎn)換成歐拉方程微分方程。3 彈性力學(xué)中的

5、變分原理3.1廣義勢能泛函和廣義余能泛函關(guān)于位移和應(yīng)變（兩類變量）的廣義勢能泛函：在該泛函中位移和應(yīng)變是獨立的自變函數(shù), 不需要滿足位移的邊界條件和變形協(xié)調(diào)條件，從而使得與變分原理相對應(yīng)的數(shù)值計算在處理某些特殊問題的時候變得更加簡單，更加有效。關(guān)于位移和應(yīng)力(包括邊界上的約束力)的兩類變量廣義勢能泛函：用位移和應(yīng)力表示兩類變量的廣義勢能原理（Hellinger-Reissner）：兩類變量廣義變分原理）彈性力學(xué)的精確解，應(yīng)使上述廣義勢能的泛函取駐值。二類變量廣義余能泛函：對于線彈性體有二類變量的廣義余能原理：彈性力學(xué)的精確解應(yīng)該使得上述二類變量的廣義余能取駐值。三類變量的廣義勢能泛函：也稱該H

6、-Z泛函，是由胡海昌1954年和鷲津一郎1955年分別提出來。 在三類變量的廣義勢能中有三類自變函數(shù),它們都是獨立的。三類變量的廣義勢能原理（胡-鷲津變分原理）：彈性力學(xué)的精確解應(yīng)使上述的廣義勢能取駐值。三類變量的廣義余能原理：在三類變量的廣義余能中有三類自變函數(shù),它們都是獨立的。三類變量的廣義余能原理：彈性力學(xué)的精確解應(yīng)使上述的廣義余能取駐值。由三類變量的廣義余能原理也可以得到彈性力學(xué)的所有方程和邊界條件。3.2各種變分原理綜述變分原理連續(xù)條件應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系平衡條件應(yīng)變能形式應(yīng)變余能形式最小勢能原理先補(bǔ)反最小余能原理反補(bǔ)先兩類變量廣義變分原理(余能)反補(bǔ)反三類變量廣義變分原理(勢能)反反反注

7、: 先指先決條件，補(bǔ)指補(bǔ)充條件，反指反應(yīng)的規(guī)律。4 待定邊界泛函的變分問題4.1 泛函為的邊界待定的變分原理設(shè)泛函泛函的積分限及都可以是待定的，也可以一個為已給，而另一個為待定的。在一般情形下，端點不是獨立的，它可以沿某一已給曲線如 （4-1）而移動。于是，有極值條件從上式很容易看到，滿足歐拉方程還不能使達(dá)到零，除非在端點上還滿足補(bǔ)充條件 （4-2）所以，歐拉方程 （4-3）只有在始點定點條件， （4-4）終點待定條件（4-1）式和補(bǔ)充條件（4-2）式在一起時，泛函的極值問題，才有充分和必要的條件求解。在這三個條件中，有兩個條件可用來決定待定積分常數(shù)和，第三個條件用來決定待定的端點坐標(biāo)。補(bǔ)充條

8、件（4-2）式是一個函數(shù)的斜率和已知端點曲線的斜率之間的關(guān)系，我們稱（4-2）式為交換條件（或貫截條件）。一般說來，滿足定點條件（4-4）式的歐拉方程（4-3）式的解中，尚有一個積分常數(shù)未定，或可以寫成。在利用了待定端點條件(4-1)式和補(bǔ)充條件（4-2）式之后，總能確定與這兩個待定量，而在這樣決定的一條曲線上，泛函必為極值。如果邊界點也是待定的，也可以假定它能沿著一條曲線上移動，則在這一待定始點上有下面的交接條件4.2 泛函的邊界待定的變分原理問題設(shè)泛函上限是待定的，變分為按之間關(guān)系不同，有下列各種情況：（1）都是獨立的這是最一般情況，由給出歐拉方程， （4-5）同時給出處的邊界條件， （4

9、-6）于是可以利用歐拉方程（4-5）式，和極值曲線通過固定點的條件和處的邊界條件（4-6）式這三個邊界條件，來決定本題的極值曲線和的待定值。（2）邊界點可以沿某一曲線任意移動給出相同的歐拉方程， （4-7）同時給出處的補(bǔ)充邊界條件 （4-8）這也代表極值曲線和已給端點曲線之間的交接條件。當(dāng)從歐拉方程（4-7）式求解極值曲線時，它必須滿足：在處通過固定點；在點滿足；在點滿足交接條件（4-8）式。（3）邊界點可以沿某一曲面任意移動由給出歐拉方程， （4-9）同樣，也給出了極值曲線和曲面的交接條件 （4-10）當(dāng)從（4-9）式中解出極值曲線時，其端點條件為：在處通過固定點；在點滿足；在點滿足交接條件

10、（4-10）式。不論那種情況，在待定端點上有三個獨立的邊界條件必須得到滿足，在這個變分問題中，歐拉方程式（4-9）式有四個積分常數(shù)，其中兩個由的固定邊界條件決定，還有兩個積分常數(shù)和值共有三個待定量由（4-10）兩式與等三個處的邊界條件決定的。當(dāng)然，如果點也是可以移動的待定邊界，其處理過程與上面所討論的完全相似，這里就不再重復(fù)。4.3 泛函的邊界待定的變分原理問題對泛函的極值問題，如果假定已給不變，邊界條件為待定的情況，如果邊界已給，為固定邊界，且有而為待定的問題，這時的變分可以寫成如果都是獨立的，給出歐拉方程：補(bǔ)充邊界條件：補(bǔ)充邊界條件和固定邊界條件加在一起，可以決定由解歐拉方程的極值曲線中的

11、五個待定量。一般說來，并不都是獨立的，它們可能有各種各樣的聯(lián)系。（1）點可以在曲線 （4-11）上任意移動，于是有得 時，給出歐拉方程和有關(guān)邊界條件 （4-12） （4-13）求解歐拉方程時，在端，仍有三個條件（4-11）式和（4-12）、（4-13）式。（2）點可以在曲線 （4-14）上任意移動，而且點上的極值曲線的端點斜率為的另一函數(shù) （4-15）這里應(yīng)該注意，并不一定等于，也包括了的情況，于是有消去得當(dāng)時給出歐拉方程和邊界條件 （4-16）所以，求解歐拉方程時，在端，仍有三個條件，即（4-14）、（4-15）和（4-16）式。（3）在點上，也可以存在著某一種之間的關(guān)系 （4-17）于是，

12、之間有關(guān)系設(shè)，則有把（4-60）式代入（4-46）式中，得當(dāng)給出歐拉方程（4-47）式和有關(guān)端點條件 （4-18） （4-19）這指出求解歐拉方程時，在端仍有三個條件，即（4-17）式、(4-18)式及（4-19）式。5變分原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用柱體的扭轉(zhuǎn)5.1 柱體扭轉(zhuǎn)的基本方程圖5.1柱體扭轉(zhuǎn)5.1.1變形假設(shè) 柱體扭轉(zhuǎn)時，其橫截面在原平面上的投影只有剛體轉(zhuǎn)動、但允許有軸向的自由翹曲。如果取軸向為軸，橫截面為平面，為單位長度的轉(zhuǎn)角，為某個橫截面的轉(zhuǎn)角。在平面內(nèi)某一點在變形前后的位置分別為圖5.2橫截面變形其中為該點變形前的角度，為該點轉(zhuǎn)過的角度。因此位移場為這里為自由翹曲函數(shù)，由此對應(yīng)的應(yīng)

13、變?yōu)?對應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件為 5.1.2 平衡方程根據(jù)廣義Hook定律，由于從而有， 因此應(yīng)力平衡方程只剩一個 5.1.3 邊界條件柱體兩端邊界上應(yīng)用圣維南原理，有 其中為作用在柱體上的扭矩。 柱體兩個側(cè)面自由, 沒有任何載荷, 那么應(yīng)力邊界條件為 其中為側(cè)面的外法線方向。5.2 柱體扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù)解法根據(jù)應(yīng)力平衡方程可以引進(jìn)應(yīng)力函數(shù)，也就是說假設(shè) 這樣的和自動滿足平衡方程。變形協(xié)調(diào)條件再結(jié)合彈性本構(gòu)關(guān)系得到 把用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力代入該方程得到 也就是說, 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該滿足Poisson方程。由于柱體側(cè)面是自由，根據(jù)應(yīng)力邊界條件其中為側(cè)面邊界(橫截面的邊界)的外法線方向 圖5.3外法線分量的計

14、算用應(yīng)力函數(shù)表示的邊界條件為 由此得到沿著邊界應(yīng)力函數(shù)為常數(shù) 更進(jìn)一步, 如果橫截面是單連通區(qū)域，可以令邊界上 而不影響分析結(jié)果。圖5.4多連通區(qū)域如果橫截面是多連通區(qū)域，那么可以令外邊界上應(yīng)力函數(shù)為零而在內(nèi)部每個邊界上應(yīng)力函數(shù)滿足 該邊界條件和應(yīng)力函數(shù)所必須滿足的泊松方程構(gòu)成了微分方程的邊值問題.當(dāng)邊界比較簡單時(如圓和矩形截面), 可以直接求解。在兩個端面上的力等效邊界條件為應(yīng)用Green公式得到 式中為內(nèi)邊界所圍成的面積（這里注意內(nèi)邊界的走向）。對于單連通區(qū)域情況下 其中我們稱為扭轉(zhuǎn)剛度。5.3 柱體扭轉(zhuǎn)的最小余能定理扭轉(zhuǎn)問題對應(yīng)的應(yīng)變余能 用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)變余能為 為了去除剛體位移,

15、假設(shè)一個端面(比如)處固定，另外一個側(cè)面轉(zhuǎn)過的角度為，那么在另外一個端面上轉(zhuǎn)動所對應(yīng)的余能為 對于橫截面是單連通區(qū)域情況下，外力余能為 所以總的余能為 根據(jù)最小余能定理,彈性力學(xué)的精確解要求要求總余能取最小值?，F(xiàn)在總余能是關(guān)于應(yīng)力函數(shù)的泛函, 總余能泛函的變分為 應(yīng)用格林公式得到所以有 由余能泛函取極小值()可以得到用應(yīng)力函數(shù)表示的平衡方程為 這和我們前面用平衡條件得到的方程。6、總結(jié)通過學(xué)習(xí)本課程，我了解到變分原理是工程力學(xué)一個重要的組成部分，是力學(xué)分析中重要數(shù)學(xué)工具之一。廣義變分原理在彈塑性力學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的。然而隨著研究的不斷深入，各種更為精確和更為符合實際的計算模型及理論也在被不斷的提出。所以這就要求我們也要不斷的更新我的知識庫及知識面，跟上科學(xué)發(fā)展的腳步，為今后的