捕捉三角信息巧解代數(shù)問(wèn)題學(xué)法指導(dǎo)

1、捕捉三角信息 巧解代數(shù)問(wèn)題三角變換在數(shù)學(xué)中屬于工具性的內(nèi)容，通過(guò)三角代換把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，不僅可使題中各量之間 的關(guān)系變得直接明了、結(jié)構(gòu)特征顯現(xiàn)，而且代數(shù)中原來(lái)繁瑣、復(fù)雜的運(yùn)算變成了簡(jiǎn)單、靈活多變的三角運(yùn)算， 因此在解代數(shù)問(wèn)題時(shí)，要關(guān)于捕捉已知條件或結(jié)論中體現(xiàn)出的三角函數(shù)的各種信息，選取適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q，從 而將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題。1.捕捉“ x2 y2 < a2 ”的信息 1例1.解不等式. 3 - x - x T 2分析：由于(3 -x)2 (x 1)2 =4，于是令，八2sin x 2co，0,21，則原不等式化為2 si nr - 2 cos ,所以:212 sin v

2、 2 cos .2乞x 1 _31，故原不等式的解集是_ 8由0 ,'可知2cos 丄 0.式(* )兩邊平方并整理得32cos2 v - 8cos - 1 2 215<0 ,解得 0 豈 cos 二 * 31 1。由 x = 4cos2 r -1 可得，8x|_1 乞 x :：: 1 一 31。例2.給正整數(shù) n和正數(shù)m ,對(duì)于滿足條件a-2a2nm的所有等差數(shù)列試求S =anan2a2n 1的最大值。22、由a1 an d 乞 m,可設(shè) a1 =rcosvan d = r sin v, o乞r乞、m , 貝卩 由an i =ai nd,r sin J - r cos- d =

3、S = a n 1 ' an 2 a2n 1n 1(2a1 3nd)2* 3n r sin 日 一 r cos日=(n 1)( r cos)21(3sin r - cos v) 21(n 1) 10r sin( v - ) 21 3其中 sin ® = f= , cos® = j=。V10V10當(dāng)且僅當(dāng)sin(v - ;：) =1,且r = m時(shí)等式成立。a1 二這時(shí) sin 日=, cosT =,V10V102.捕捉“ |x|1或.1 -X2 ”的信息例 3.設(shè)0 ；：刈：1, n _2, nN,求證：(1 x)n (1 x)n : 2n.r=1,可設(shè) X =co

4、s2r, -|0,r JI且-4例4.已知a、b為非負(fù)數(shù)，且 Ul-b2.1 - a2 = ab,求證 a . 1 - b2b . 1 - a2 =1.分析：-1 - a2、, 1 -b2有意義,暗示 |a|_1, |b|_1,故可設(shè) a 二 sin口 1 -X 1 + X分析：由于0 ：|x| ：1且2 2(1 -x)n(1 x)n= (2si n v)n (2cos2 Rn=2n(sin2 )n(cos2 v)n I : 2n(sin20,-。由已知條件可得,cos 二 cos： =si n-：sin :, 即 cos()-=0，所以-：廠一 一，2a、1-b2 b,1-a2 =sinco

5、s： cos s in： = si n：( ：)=1.3.捕捉“ ；a ”的信息例5.數(shù)列an 滿足a0 =1, an = J a (n n )，求證an是單調(diào)數(shù)列。3 V 21 + a分析：由于an=、u與余弦函數(shù)的半角公式的結(jié)構(gòu)完全一致,n 2故可設(shè)a。=cosT=，日Gb,王1。3'、2)因?yàn)閍n =J(n = N *),所以a11 coscos 二2a2cos,4ean且Or2necos尹 cosnre=cosr ,2ne< < 62e_acos coscost .42JI2，0即 a0 < a1 : a2 :an 訂:an。故數(shù)列：an f是單調(diào)數(shù)列。4.捕

6、捉“ '.x2 _1 ”的信息例6解不等式x22-x 01 x2分析：考慮到關(guān)鍵是去根號(hào),2 2聯(lián)想到公式1 - tan v - sec二，則原不等式可化為 si nr - cos2r - 0即(2sin=1)(sin -1) ： 0,解得 -1 : sin : 1，所以2-<eit，2原不等式的解為x。5.捕捉“ x_- y ”的信息1 "xy例7.數(shù)列 an 沖，a1=3,an1 an 1 - an/(n - 2)，求 an。分析：由an1 - an4聯(lián)想到rtan：1 tan由此可令a1 = tan，且<aa2 -1a11 tana31 ai1a21 - a

7、2丄i兀 tan亠很1 -t an41ta$ +a<4丿= ta*2 5 I,< 4 丿an 二 tan -1):4證明略。故所求通項(xiàng)公式為an=t a n 1)46.捕捉“ 2x1 _ x22一x ”的信息1 x2例8.解方程組(12 * Xk )Xk 1 =2Xk(k =1, 2，n, n N )且xn d = x1。分析:若把原式變形為Xk 12xk2 ,則可發(fā)現(xiàn)它與正切函數(shù)的倍角公式結(jié)構(gòu)一致，因此可令1 Xk，則k _1Xk = tai2(k =1, 2，n, n 1)因?yàn)?xn1 =x1，所以 tan2nv - tan, 2*二 m二 *m Z), J (m Z).2 1

8、于是原方程組的解為k4m-：(m Z，心，2,n 1).例9.求 f(x)二2341 x-2x x x41 2x x的值域。分析:將f (x)的表達(dá)式裂項(xiàng)變形得,x x3-2x2 x4八八+1f (x)1 2x2 x4 1 2x2 x4x21 - x21 x2a fitajix = t a n < < 2 1222)si n " cos2 :2sin :1 Y4>17(：16 (_,二）1 17當(dāng) sin ，即 x = 4 二 '、15時(shí)，ymax4 161 當(dāng) sin > - -1 , 即卩 x - -1 時(shí),ymin2故f(x)的值域是 _丄 H。

9、L 2 ' 167.捕捉“ x y z二xyz ”的信息例10.已知x、y、z- R，求證：xy y -z z-x 二(x-y)(y -z)(z - x)1 xy 1 yz 1 xz 一 (1xy)(1yz)(1 xz)分析：由等式的結(jié)構(gòu) 聯(lián)想到 ABC 中有t anA - t anB t anC二t anAt anB t anC。由此可設(shè)x=tan，y=ta n：，z = ta n ，貝Uy = tan(:£I-'), -_z = tan(,1 xy1 yzz - x1 xz二 tan（ r二）.由于(.：-：!) (：_ )-(訐二)二 0,所以tan - -) t a n (- ) t an ( _ ：)二 t a n：(.') tan (') tan (二)原式成立。8.捕捉“ a2 -b2 =1”的信息221 V例11.已知x - v =4，求二的取值范圍。x x分析：由已知條件 x2 - y2 =4聯(lián)想