2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.1向量加法運算及其幾何意義導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修4

1、1221向量加法運算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運 算.3. 了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理 性.西問題導(dǎo)學(xué)-知識點一向量加法的定義及其運算法則分析下列實例：（1）飛機從廣州飛往上海，再從上海飛往北京（如圖），北京廣州這兩次位移的結(jié)果與飛機從廣州直接飛往北京的位移是相同的有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是Fi= 3 000 N ,F2= 2 000 N，牽引繩之間的夾角為0= 60 （如圖），如果只

2、用一條拖輪來牽引，也能產(chǎn)生跟原來相同的效果思考 1 從物理學(xué)的角度，上面實例中位移、牽引力說明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運算？答案后面的一次位移叫做前面兩次位移的合位移，四邊形OACB勺對角線0C表示的力是OA與6戰(zhàn)示的力的合力.體現(xiàn)了向量的加法運算.思考 2 上述實例中位移的和運算、力的和運算分別用什么法則？答案三角形法則和平行四邊形法則.梳理（1）向量加法的定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法（2）向量求和的法則向量求和的法則三角形法則已知非零向量a,b,在平面上任取一點A,作AB= a,BC=b,則向量AC叫做a與b的和，記作a+b,即a+b=XB+C= AC2z片-Ba這種求向量和的方

3、法，稱為向量加法的 三角形法則.對于零向量與任一向量a的和有a+ 0 0+aa平行四邊形法則以同一點0為起點的兩個已知向量a,b為鄰邊作?OACB則以0為起點的對角線 &就是a與b的和.把這種作兩個向量和 的方法叫做向量加法的平行四邊形法則向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實際上就是向量加法的幾何意義知識點二 向量加法的運算律思考 1 實數(shù)加法有哪些運算律？答案交換律和結(jié)合律思考 2 根據(jù)圖中的平行四邊形ABCD驗證向量加法是否滿足交換律 .（注：KB= a,Kb= b）答案 /AC=XB BC AC= a+b.AC= Ab+ DC - AC= b+a.a+b=b+a.思考 3 根據(jù)圖中的四

4、邊形ABCD驗證向量加法是否滿足結(jié)合律 .(注：AB= a,BC=b, &=c)3答案/XD=XC6b=(ABF Bq+CbAb=(a+b) +c, 又Ab= AB+ Bb= AB+(BC+CD),Ab= a+ (b+c) ( a+b) +c=a+ (b+c).梳理向量加法的運算律交換律a+b=b+a結(jié)合律(a+b) +c=a+ (b+c)題型探究類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則例 1 如圖（2），已知向量a，b,c,求作向量a+b和a+b+c.在平面內(nèi)任意取一點0,作0A=a,AB= b, BC=c,則Oc= a+b+c.反思與感悟向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系解

5、（1）作法：在平面內(nèi)任意取一點0,作OA= a,AB= b,則OB= a+b.(1)B h O4區(qū)別：（1）三角形法則中強調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點”；角形法則適用于任意兩個非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和聯(lián)系：(1)當(dāng)兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半跟蹤訓(xùn)練 1 如圖所示，0為正六邊形ABCDE的中心，化簡下列向量.(1)OAF0C=_;(2) BCrFE=_;(3)6AFE=_.山-U答案6B(2)AD(3) o類型二向量加法運算律的應(yīng)用例 2 化簡：(

6、1)討AB(2)陥 CDTE3QXB 6F+CDTBCFFA解BCFAB= AB+ BC= AC!?B SDBC=BCFSD1?B=(BCFCD+DB= BD DB= 0.AB DFFCDFBCFFA=AB+ BC+CDFDFF FA=心CDFDFFFA=ADFDF+FA=AF+FA= 0.反思與感悟(1)根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接，再運用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加.(2)向量求和的多邊形法則：AAT+ A3+AA+ +A-1AT=AA.特別地，當(dāng)A和A重合時，AA+AA+AA+ +A= o.跟蹤訓(xùn)練 2 已知正方形ABCD勺邊長等于 1，則|ABADFBCF DC =_答案 2

7、 2解析 |AB+ADFBCFDC=|AB+ BCFADFDC=|ACFAC= 21AC= 2.2.5類型三向量加法的實際應(yīng)用6例 3 在靜水中船的速度為 20 m/min，水流的速度為 10 m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于 水流的航線到達(dá)對岸，求船行進(jìn)的方向解 作出圖形，如圖所示船速V船與岸的方向成a角，由圖可知V水+V船=V實際，結(jié)合已知 條件，四邊形ABCD平行四邊形, 在 RtACD中,|CD= |AB= |v水| = 10 m/min ,|ADD= |v船| = 20 m/min ,COSa船是沿與水流的方向成 120的角的方向行進(jìn).引申探究1. 若本例中條件不變，則經(jīng)過 1

8、h，該船的實際航程是多少？解 由例 3 知v船=20 m/min ,v實際=20Xsin 60 = 10 3(m/min), 故該船 1 h 行駛的航程為 10 3x60=600 3(m) = 5(km).2. 若本例中其他條件不變，改為若船沿垂直水流的方向航行，求船實際行進(jìn)的方向與岸方向的夾角的正切值.解 如圖，作平行四邊形ABDC則AD=v實際，設(shè)船實際航向與岸方向的夾角為a，則 tana即船實際行進(jìn)的方向與岸方向的夾角的正切值為2.反思與感悟向量既有大小又有方向的特性在實際生活中有很多應(yīng)用，準(zhǔn)確作出圖象是解題關(guān)鍵. a= 60,從而船與水流方向成120的角.|BD=|AB20礦2.710

9、 N 的物體W吊在水平桿子AB上，/ACW150, /BCW/FCG=180 120= 60I CE =|CQCos 30=10X-2=5 .3(N),|CF=|CGcos 601=10X - =5(N).A處所受的力為 5 3 N ,B處所受的力為 5 N.當(dāng)堂訓(xùn)練1.如圖，在正六邊形ABCDEFF,BA C葉EF等于（）A.0C.AD答案 D解析BA+CU EF=6E+CUEF=屁EF=SF2.如圖，D,E,F分 別 是 ABC的 邊AB BC CA的 中 點 ， 則 下 列 等 式 中 錯 誤 的 是（）=120,求A和B處所受力的大小解如圖所示，設(shè)CE6盼別表示A B所受的力，10 N

10、 的重力用 &表示，則CECF= &G易得/ECG=180150= 30,跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，用兩根繩子把重B.BED.CF.（繩子的重量忽略不計）B A8A.FD-AA-DE=oB.AD-BE-CF=oC.FEH DE AD=ABD.AD-EC- FD=BD答案 D解析FD+ DA DE FA+DEF0,AD-AE-CF=AD-AF-FA=o,FD)+DE AD= FE+AD= AD-DB= ABADMEC FD= AD-0= AD=DBBD故選 D.3.(AB AB- (BO-BC-AM等于(A.BCC.AC答案 CA.矩形B. 正方形C. 平行四邊形D. 菱形 答案 C解析 /AC=AB

11、ADc即D(=AB四邊形ABCD為平行四邊形B.AB4.如圖所示，在四邊形ABCD中,AC= AB+ AD則四邊形為(95.小船以 10 3 km/h 的靜水速度沿垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為10 km/h，則小船的實際航行速度的大小為 _km/h.答案 20解析 如圖，設(shè)船在靜水中的速度為 |vi| = 10 3 km/h，河水的流速為|V2| = 10 km/h，小船 的實際航行速度為V。，則由 |V1|2+|V2|2=|VO|2,得（103）2+ 1O2=|Vo|2,所以 |vo| = 20 km/h,即小船實際航行速度的大小為 20 km/h.廠規(guī)律與方法-1. 三角形法則和

12、平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統(tǒng)一的，當(dāng)兩個向量 首尾相連時常選用三角形法則，當(dāng)兩個向量共起點時，常選用平行四邊形法則2. 向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意 的組合去進(jìn)行.3. 使用向量加法的三角形法則時要特別注意“首尾相接”.和向量的特征是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0，而不應(yīng)寫成 0.課時作業(yè)、選擇題1作用在同一物體上的兩個力F1= 60 N ,F2= 60 N，當(dāng)它們的夾角為120時，則這兩個力的合力大小為（）答案 B答案C3.下列等式錯誤的是（A.30 N B.6

13、0 N C.90 ND.120 N2.如圖，在平行四邊形ABC中,o是對角線的交點，下列結(jié)論正確的是（A.AB=6D BC=ADB.ADOD=5AC.AO SD=心CDD.AB+BC+ 2D=DAC10A.a+ 0= 0+a=a B.AB+ BC+AC= 0C.AB+BA= 0D.CA+AC=MN+NP+ PM答案 B解析AB+BC+AC=AC+AC= 2AC 0,故B錯.4. 已知四邊形ABC為菱形，則下列等式中成立的是（）A.AB+BC=CAB.AB+AC=BCC.AC+BA=ADD.AC+AD=DC答案 C解析 對于 A,ABBC=ACCA對于 B,AB+ACM BC對于 C,AC+BA

14、=BAAC=BC,又AD=BC所以AC+BA=AD對于D,AC+AEMSC5. 已知a,b為非零向量，且 Ia+b| = |a| + |b|，則（）A.a/b,且a與b方向相同B.a,b是共線向量且方向相反C.a=bD.a,b無論什么關(guān)系均可答案 A6. 若在ABC中,AB= AC=1, |AB+ AC= 2,則厶ABC的形狀是（）A.正三角形B.銳角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形答案 D解析 以AB AC為鄰邊作平行四邊形ABDC：AB= AC=1,AD=車，二/ABD為直角，該四 邊形為正方形，/BAC=90,ABC為等腰直角三角形，故選 D.二、填空題7. 如圖，在平行四邊形ABC

15、DK O是AC和BD的交點.11（1）ABAD=12XCCDDO=_ABAD-cD=_心BAF5A=_答案AC(2)AO(3)AD(4)08.根據(jù)圖示填空，其中a=DC b=CO c=OB(1)a+b+c=b+d+c=答案DB(2)CA解析(1)a+b+c=DCCOOB= DB(2)b+d+c=COFBA+OB=CAA9.在平行四邊形ABCD中,BC+DC+BADA=_答案 010. 在菱形ABCDh/DA= 60, |AB| = 1,則 |BC+CD =_.答案 1解析 在菱形ABCD，連接BD/DAB=60,.仏BAD為等邊三角形，又/)AB=1,.|BD=1,|E3C+CD=|BD=1.

16、三、解答題11. 如圖，平行四邊形ABCD，對角線AC與BD交于O點，P為平面內(nèi)任意一點求證：PA+PB+PC+PD= 4PO證明 /PAPB PC+ PD=PC+ OA- PC+血PC+ 0(+ PC+ OD13=4POb( OA6聊OCOD=4pOb(OAO(C+(0聊OD=4PO 0 + 0= 4P0陥PB+ PCPD=4P012.如圖所示，試用幾何法分別作出向量 陥BeCACB解 以BA BC為鄰邊作?ABCE根據(jù)平行四邊形法則，可知0蹴是EHBC以CB CA為鄰邊作?ACBF根據(jù)平行四邊形法則，可知CF就是CM CB13.在水流速度為 4 3 km/h 的河中，要使船以 12 km/h 的實際航速與河岸成直角行駛，求船 的航行速度的大小和方向.解 如圖，設(shè)AB表示水流的速度，則AC表示船的實際航行速度， 連接BC作AD綊BC則AJ為 所求船的航