方法技巧專題05,,立體幾何中平行與垂直證明（原卷版）

1、方法技巧專題05,立體幾何中平行與垂直證明（原卷版） 方法技巧專題 5 立體幾何中平行與垂直證明 一、立體幾何中平行與垂直知識框架 【一】"平行關(guān)系'常見證明方法 二、立體幾何中的向量方法 ccbab a Þ1.1 直線與直線平行的證明 1.1.1 利用某些平面圖形的特性：如 平行四邊形的對邊互相平行等 1.1.2 利用 三角形中位線性質(zhì) 1.1.3 利用空間平行線的傳遞性（即公理 4）： 平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 1.1.4 利用直線與平面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平 面 相交，那么這條直線和交線平行。 1.

2、1.5 利用平面與平面平行的性質(zhì)定理： 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 1.1.6 利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理： 垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。 1.1.7 利用平面內(nèi)直線與直線垂直的性質(zhì)： 在 同一個平面 內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。 1.1.8 利用定義： 在同一個平面內(nèi)且兩條直線沒有公共點 1.2 直線與平面平行的證明 1.2.1 利用直線與平面平行的判定定理： 平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一 條直線平行，則該直線與此平面平行。 1.2.2 利用平面與平面平行的性質(zhì)推論： 兩 個 平 面 互 相 平 行 ， 則 其 中 一 個 平 面 內(nèi) 的

3、 任 一 直 線 平 行 于 另 一 個 平 面 。abaa b baa= ÇÌb aba b a Þbaa= ÇÌb aba b a Þb aba /Þïþïýü=g bg ab aiibabab a Þb abaaaÌËa a Þaab 1.2.3 利用定義： 直線在平面外，且直線與平面沒有公共點 1.3 平面與平面平行的證明 1.3.1 利用平面與平面平行的判定定理： 一個平面內(nèi)的兩 條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

4、 1.3.2 利用某些空間幾何體的特性：如 正方體的上下底面互相平行等 1.3.3 利用定義： 兩個平面沒有公共點 1. 例題 例 【例 1 1 】 如圖，已知菱形 abcd ，其邊長為 2， 60 bad Ð = ， abd d 繞著 bd 順時針旋轉(zhuǎn) 120 得到pbd d ， m 是 pc 的中點 （1）求證： / / pa 平面 mbd ； （2）求直線 ad 與平面 pbd 所成角的正弦值 【例 2 2】 】 已知四棱錐 p-abcd，底面 abcd 是o60 = Ða 、邊長為 a 的菱形，又 abcd pd 底 ，且 pd=cd，點 m、n 分別是棱 ad、p

5、c 的中點 證明：dn/平面 pmb。 ab aaÌ ab a Þaabb/bap b aba=a b / abb ap nmbpdca 例 【例 3 3 】如圖，已知點 p 是平行四邊形 abcd 所在平面外的一點， e ， f 分別是 pa ， bd 上的點且pe ea bf fd = ，求證： ef/ 平面 pbc 2. 鞏固提升綜合練習 習 【練習 1 1 】如圖，在六 面體 abcdefg 中，平面 abc 平面 defg ， ad 平面 defg ，ac ab , dg ed , ef dg ,且 2 = = = = dg de ad ab , 1 = = ef

6、 ac 求證： bf 平面 acgd ； 【練習 2 2 】如圖， e ， f ， g ， h 分別是正方體1 1 1 1abcd abc d - 的棱 bc ，1cc ，1 1c d ，1aa 的中點 求證：（1） eg 平面1 1bb d d ； （2）平面 bdf 平面1 1b d h a b c d e g f 習 【練習 3 3 】在如圖所示的五面體 abcdef 中，四邊形 abcd 為菱形，且 60 dab Ð = ， / / ef 平面abcd ， 2 2 ea ed ab ef = = = = ， m 為 bc 中點. 求證： / / fm 平面 bde . 【二】

7、 "垂直關(guān)系'常見證明方法 1 2.1 直線與直線垂直的證明 2.1.1 利用某些平面圖形的特性：如 直角三 角形的兩條直角邊互相垂直, , 等邊、等腰三角形（中線即高線），正方形、矩形鄰邊垂直，正方形菱形對角線垂直等。 2.1.2 看夾角： 兩條共（異）面直線的夾角為 90 ，則兩直線互相垂直。 2.1.3 利用直線與平面垂直的性質(zhì)： 如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。 2.1.4 利用平面與平面垂直的性質(zhì)推論： 如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內(nèi)分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。 2.1.5 利用常用結(jié)論： 如果兩條直線互相平行

8、，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于第三條直線。 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么這兩條直線互相垂直。 2.2 直線與平面垂直的證明 2.2.1 利用某些空間幾何體的特性：如 長方體側(cè)棱垂直于底面 等 2.2.2 看直線與平面所成的角： 如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂直于此平面。 2.2.3 利用直線與平面垂直的判定定理： 一條直線與一個平面內(nèi)的兩 條 相 交 直線都垂直，則該直線垂直于此平面。 l a b l bl abal Ì ÌÌ Ì= = Ç Ç b ba ab b a

9、ab b a ab a Þc ab ac b Þbala aa Þïïþïïýülb la la b aba=ÌÌiaab a c a b aaÌbaa b Þ ab aa ba b a Þ abÌaab a Þaabab a ab Þ aa p b c f e d 2.2.4 利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理： 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。 2.2.5 利用常用結(jié)論： 一條直線平行于一個

10、平面的一條垂線，則該直線也垂直于此平面。 兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一個平面。 2.3 平面與平面垂直 的證明 2.3.1 利用某些空間幾何體的特性：如 長方體側(cè)面垂直于底面等 2.3.2 看二面角： 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。 2.3.3 利用平面與平面垂直的判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。 1. 例題 【例 1 1】 】如圖,四邊形 abcd 為矩形，cf平面 abcd，de平面 abcd，ab=4a，bc= cf=2a，p 為 ab的中點.求證：平面 pcf平面

11、pde. 【 例 2 2 】 】 如 圖 ， 在 四 棱 錐 a b c d p - 中 ， abcd 是 矩 形 ，a b c d pa 平面 ， 3 , 1 = = = ab ad pa ，點 f 是 pd 的中點，點 e 在 cd 上移動。 求證： af pe 。 abcdpefa bb aa Þ al aalÌ= Çab ab ab Þ abaalaabaab 【例 3 3 】如圖，在四邊形 abcd 中， 4 = = ad ab ， 7 = =cd bc ，點 e 為線段 ad 上的一點.現(xiàn)將dce d 沿線段 ec 翻折到 pac ，使得平面

12、 pac 平面 abce ，連接 pa ， pb . 證明： bd 平面 pac . 2. 鞏固 提升綜合練習 【練習 1 1 】 如圖，四棱錐 s-abcd 的底面是矩形，sa 底面 abcd，p 為 bc 邊的中點，sb 與平面 abcd 所成的角為o45 ，且 ad=2，sa=1。 求證：pd 平面 sap； 【練習 2 2】 】 如圖，在三棱柱1 1 1abc abc - 中，側(cè)棱1aa 底面 abc ， m 為棱 ac 的中點 = ab bc ， =2 ac ，1 = 2aa （1）求證：1b c 平面1abm ； （2）求證：1ac 平面1abm ； 【練習 3 3 】如圖，四棱錐

13、 p abcd - 中， 2 2 ab ad bc = = = ， bc ad ， ab ad ， pbd 為正三角形 且 2 3 pa= 證明：平面 pab 平面 pbc 三 、課后自我檢測 1如圖，四邊形 abcd 為正方形， ea 平面 abcd ， ef ab ， 4 ab= ， 2 ae= ， 1 ef = （1）求證： bc af ； （2）若點 m 在線段 ac 上，且滿足14cm ca = ，求證： em 平面 fbc ； （3）求證： af 平面 ebc 2直三棱柱1 1 1abc abc - 中， 5 ab = ， 3 ac = ， 4 bc = ，點 d 是線段 ab 上的動點. （1）當點 d 是 ab 的中點時，求證： /1ac 平面1bcd ； （2）線段 ab 上是否存在點 d ，使得平面1 1abb a 平面1cdb ？若存在，試求出 ad 的長度；若不存在，請說明理由. 3.如圖， abc d 為等邊三角形， ea 平面 abc ， / / ea dc ， 2 ea dc = ， f 為 eb 的中點. （）求證： / / df 平面 abc ；