【教育資料】第一章§1.3(一)學(xué)習(xí)專用

1、教育資源1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程.3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題.設(shè)角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,由三角函數(shù)定義知P點(diǎn)坐標(biāo)為（cos % sin a）.知識點(diǎn)一誘導(dǎo)公式二思考 角 什a的終邊與角a的終邊有什么關(guān)系？角兀+ a的終邊與單位圓的交點(diǎn)Pi（cos（兀+a）, sin（兀+ 0）與點(diǎn)P（cos a, sin o）呢？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？答案角兀+ a的終邊與角a的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，Pi與P也關(guān)于原點(diǎn)對稱，它們的三角函數(shù)關(guān)系如下：誘導(dǎo)公式二sin （兀+ a 尸si

2、n a,COs（兀+ a 尸一cos a, tan （兀+ aj= tan a 知識點(diǎn)二誘導(dǎo)公式三思考 角一a的終邊與角a的終邊有什么關(guān)系？角一 a的終邊與單位圓的交點(diǎn)Pz（cos（必sin（一切與點(diǎn)P（cos a, sin a）有怎樣的關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？答案 角一a的終邊與角a的終邊關(guān)于X軸對稱，P2與P也關(guān)于x軸對稱，它們的三角函數(shù) 關(guān)系如下：教育資源誘導(dǎo)公式三sin(一a 廠 一 sin a,cos a )= cos a,tan(a 廣 一 tan a知識點(diǎn)三誘導(dǎo)公式四思考 角兀一a的終邊與角a的終邊有什么關(guān)系？角兀一a的終邊與單位圓的交點(diǎn)P3(C0S(兀一a), si

3、n(兀一o)與點(diǎn)P(cos a, sin o)有怎樣的關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？答案 角兀一”的終邊與角a的終邊關(guān)于y軸對稱，P3與P也關(guān)于y軸對稱，它們的三角函 數(shù)關(guān)系如下：誘導(dǎo)公式四sin(戈 o) = sin a,cos(a)= cos a,tan(無力=一 tan a梳理 公式一四都叫做誘導(dǎo)公式，它們分別反映了2kTt+(keZ),兀+ a, %兀一a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這四組公式的共同特點(diǎn)是：2k 7t+ c(k6 Z),兀+ a, 一 a,兀一 a的三角函數(shù)值等于 a的同名函數(shù)值，前面加上一個把a(bǔ)看成銳角時原函數(shù)值的符號.簡記為“函數(shù)名不變，符號看象限

4、” .1 .誘導(dǎo)公式中角 a是任意角.(X )提示 正弦、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式中，a為任意角，但是正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式中，a的取值必須使公式中角的正切值有意義.2 . sin( a 7i) = sin a.(x )提木 sin( a ti)= sin ( l a) = sin(兀一a)= sin a.3 . cos - Tt= 一 ( V ) 32提示 cos 437= cos卜+ 3j= cos 3= 2.4 .誘導(dǎo)公式對弧度制適用，對角度制不適用.(x )提示 在角度制和弧度制下，公式都成立.類型一利用誘導(dǎo)公式求值命題角度1給角求值問題例1求下列各三角函數(shù)式的值：。11兀(1)cos 210

5、; (2)sin -;(3)sin I - 43- (4)cos(- 1 920).6考點(diǎn)同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用題點(diǎn)同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用解 (1)cos 210 =cos(180 + 30 )3=cos 30 = .(2)sin411 Tt=sin，= sin (兀一.兀亞7兀= sin4= T(3)sin -=sing= sin步一16 廠 sin6=2.(4)cos( 1 920 )=cos 1 920 = cos(5X 360 +120)一。1=cos 120 = cos(180 - 60 ) = - cos 60 = - 2.反思與感悟利用誘導(dǎo)公式求任意角

6、三角函數(shù)值的步驟:用公式一或三來轉(zhuǎn)化.(2):用公式一將角化為 0。到360。間的角.:用公式二或四將大于 90。的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4):得到銳角的三角函數(shù)后求值.跟蹤訓(xùn)練1求下列各三角函數(shù)式的值:(1)sin 1 320 ; (2)cos 36Jtj； (3)tan(945).考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用 解 (1)方法一 sin 1 320 = sin(3X 360 +240)一一。 一。一一。 ,3= sin 240 = sin(180 : 60 )=- sin 60 =一三.方法二 sin 1 320 = sin(4X 360

7、120) = sin(120 )。3=sin(180 -60 )= sin 60 =- g.（2）方法cos31-631兀=cos4 兀+ -6 ；.=cos 1 7t+- 1= cos 66方法cos31-6兀,兀cos兀一6 廠 co cos6= (3)tan( 945 ) = tan 945 = tan(225 平 2 X 360 ) =tan 225 = tan（180 : 45） = - tan 45 = - 1.命題角度2給值求值或給值求角問題例2 已知sin（兀+。= V3cos（2兀0）, |耳芍，則。等于（）兀兀一飛 B- -3C.6 D.3考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的

8、綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用 答案 D解析 由 sin（ tt+ 0）=- 43cos（2 %- 0）, 16|2t,.一J-兀可得一sin 仁一V3cos 0, 10|2,即 tan 0= V3, 16| 則 cos（兀+ a）的值為（A.,53B.,53C.1一3D.以上都不對考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用題點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用答案 B22斛析 . sin(兀- a)= sin a= log23 2 =-3 cos(兀+ o) = - cos a= - 1J1 sin2 a11 一號.二、填空題8 化簡 cos仁 ”tan（7 兀+

9、L.sin（兀一aj考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用題點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用答案 1解析cos( ajan(7 兀+ a) cos otan(兀+ a)sin(兀一asin acossin a cos a dancos-=1.sin asin acos(585)“sin 495 平 sin( 570的值是考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用題點(diǎn)同名誘導(dǎo)公式（二、四）的綜合應(yīng)用答案 2-2解析原式=cos(360 + 225 )sin(360 + 135 )- sin(210 +360 )cos 225 sin 135 - sin 210cos(180 +45

10、) sin(180-45 J-sin(180+30)二 cos 45 2 f-=T= J2- 2.sin 45 F sin 30 i2 . 12210.設(shè) f(x)= asin(Tx+ a)+bcos(ac解析 a= - tan76= tan 6c =一日,(哈兀也b = cos 6 tc- 4 廠 cos -=主,c= $所誓= sin J 一4,ba c.三、解答題12 .已知角a的終邊經(jīng)過單位圓上的點(diǎn)Pj4, - 3 ;(1)求sin a的值；求cos2 L a)彈上或的值.sin (7t+ a) cos(3 l a)考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用題點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式(二、三、

11、四)的綜合應(yīng)用解(1)二點(diǎn)P在單位圓上，由正弦的定義得 sin a= -3.5（2）原式=cos a tan a sin a 1 . sin s z Sin a cos a COS a sin a COs a45由余弦的定義得c0s 口，故原式=5.四、探究與拓展rsin , x0,的值為考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用 答案 2解析因?yàn)閒 )=sin f-詈I 6.6=sin 2 兀+? ；= sinj= 1； 66 2f 層之碌1=f (- 62=sin出 2=_1_2 = _5、6 廠22 222.14.已知 f( o)=sin兀+

12、a Cos(2 Tt “tan - a tan(一 tt a刖( l a).(1)化簡 f(a)；（2）若a是第三象限角，且 sin（ a-力=1,求f（4的值;531 ”.若a= 丁，求f（ 4的值. 3考點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用題點(diǎn) 同名誘導(dǎo)公式（二、三、四）的綜合應(yīng)用一sin ocos q tanCOs a解f( a)二1二(一tan a sin a1(2) . sin( a m=sin a= 5,1 .sin a=.又a是第三象限角, 52 .62 6 COS a=.f(9=.55(3): -31J 6X 2 兀+ 5r, 33f- 3Tjk-cos 2 葉習(xí)12.cos 10 tan(180+ 45)-sin 30 1tan 45 * 2 31.已知tan a= 4,則tan(兀一耳等于()A.兀4 B. 4 C.4 D. 4兀考點(diǎn)公式二、三、四題點(diǎn)公式四答案 C解析 tan(兀- o)= tan a= 一 4.2. sin 585 的值為()A _近B近C 弟口也f 2 lj. 2、/ 20. 2考點(diǎn)公式二、三、四題點(diǎn)公式二答案 A解析 sin 585 = sin(360 + 225