二次曲線一般理論

1、第五章二次曲線的一般理論主要問題：（1）幾何性質（2）化簡（3）分類5.1二次曲線與直線的相關位置（x2 2xy y2 10x 6y 25 0與y2 4&x）一、預備知識 2-21、在平面上由 F（x, y） aux2a或xy a22y2a13X 2a23y a33 0（1）所表示的曲線，叫做二次曲線（系數(shù)都為常數(shù)）2、關于虛點F(x,y) 0y kx by2 1y 22.2 22i,222 , 2 , 2、2i,22i)i)平面上建立笛卡爾坐標系后，一對有序常數(shù)（x,y）表示平面上一個點,如果x, y中至少有一個是虛數(shù)，我們?nèi)哉J為（x, y）表示平面上一個點。（一對共腕虛點的中點是實

2、點）3、記號F(x,y)2aux22a12xy a22y2ax 2a23y a33F1(x,y)auxa13F2 (x,y)a12xa22 ya23*2Uy2 yF3(x,y)a13xa23 ya33(x, y)2 a11x22a12xy a22y容易驗證:F(x, y)xF(x, y)yF2(x, y)F3(x, y)I1k1ana12a13a12&1ana13a12a22a23&2a22a13a33a13a23 二次曲線（）的矩陣a33（x,y）的矩陣a11a12a12a22,I3 Aa22a23a23a33例：寫出下列二次曲線的矩陣 A及Fi,F2,F322x y222（

3、1） J 1（ 2） y 2x（3）2x xy y 6x 7y 4 0 a b二、相關位置x x Xt二次曲線F（x,y） 0與過點 且具有方向X:Y的直線 0 聯(lián)立， y yo Yt（X,Y）t2 2Fi（x°,y°）X F2（x°,yo）Yt F（x°,y°）01、（X,Y） 0,Fi（x°,y°）X F2（x°,yo）Y2（X,Y）F（x°,y°）100方程有兩個不等實根ti,t2有兩個不同的實交點200方程有兩個相等實根力上有兩個相互重合的實交點300方程有兩個共腕虛根交于兩個共腕的虛點

4、2、（X,Y） 01°F1（x0，y0）X F2（x°,y°）Y 0,有唯一實根有唯一實交點2°F1（x°,y°）X F2（x°,y°）Y 0 而 F（x°,y。）0沒有交點3°F1（x0,y°）X F2（x0,y°）Y 0且 F（x0,y。）0 直線全部在二次曲線上eg1、試確定k的值 使直線x y 5 0與二次曲線x2 3x y k 0交于兩個不同實點，x 1 "與二次曲線x2 3y2 4xy y 0交于一點 y k t注：平面直線方程： 土他 -yy2X Yy

5、 kx bx x0 Xty y° Yt5.2、二次曲線的漸近方向、中心、漸近線 一、漸近方向1、定義：滿足（X,Y） 0的方向X :Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向2 一2(X,Y) aiiX2al2XY a22Y0(i)漸近方向X : Y總有確定的點2、按漸近方向分類若aii0,(i)改寫成 aii()22a或a22 0ai2 、an若a22Yai2a22若aiia220,則一定有ai21:0或 01此時ai2ai202 ai2故I2二次曲線的漸近方向是對共腕的虛方向二次曲線有一個漸近的實方向 二次曲線有兩個漸近的實方向顯然：二次曲線的漸近方向最多有兩個，而非漸近方向有

6、無窮個按漸近方向可分為三種類型(DI2 0橢圓形曲線x2y2i(2) I2 0 拋物線曲線 y x2(3) I2 0雙曲型曲線x2y2i二、二次曲線的中心與漸近線定義：如果點c是二次曲線通過它的所有弦的中點， 稱點c是二次曲線的中心c(x0,y°)是二次曲線的中心Fi(x0,y0)0F2(x°,y。)0推論：(0,0)是二次曲線的中心曲線方程不含x與y的一次項證：將直線方程代入，得：(X,Y)t22Fi(x°,y°)X F2(x°,y°)Yt F(x°,y°) 0由于M 0(x0, y°)是兩交點的中心t

7、i t20Fi(x0,yO)X F2(x0,y°)Y 0(D(2)由于X : Y為任意非漸近方向aux。a12x0若i2F1 (x0, y0)0F2(x°,y°)0a12y0 a13a22y0 a33ana12a12a22方程有唯一解有唯一中心I20即如a12a12a22(2). a12(1)曳1a12a12a13a22a23盟也無解 無中心a22 a23有無分解 直線a1xa2 y a130上所有點都是二次曲線中心一一中心直線二次曲線中心曲線：I 2無心曲線非中心曲線I20線心曲線0a11a12 a11 a12a12a22a12a22a!3a23巴a23定義:

8、漸近線通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的直線叫做二次曲線的判斷二次曲線x24xy4y22x2y0是中心曲線，無心曲線還是線心曲線9x26xy6x2y(3xy)(3x y2)線心曲線2xy2x2y線心曲線y20Th1、二次曲線的漸近線與其二次曲線或者沒有交點，或者整條直線在二次 曲線上。1,y2、二次曲線的特征方程a12a12a22I1 I20th1、一個方向X :Y成為二次曲線主方向的條件是aiiX比丫a12Xa22YX成立，其中 是特征方程的根Y證明：10若二次曲線為中心二次曲線（I20)與X:Y共腕的直徑為XFi（x,y） YF2（x,y） 0,設其方向為X :Y則X :Y(a12

9、X a22Y)：(a11X a12Y)XX YY 0X :Y Y : Xa12X a22Ya11Xa12YY廿其中 0X20若非中心二次曲線(I20)任何直徑方向總是唯一的漸近方向X1 : 丫a12 : a11a22 : (a12)而垂直于它的方向顯然為X2 : Y2a11 : a12a12 : a222eg1、求 F(x, y) x xyy2 * 1 0的主方向與主直徑12 B 0142、轉軸x cos'.x siny sin 或 x xcosy cos y xsiny sinycos1解：I1 2/212曲線為中心曲線，特征方程為2 2-04131 二 , 2 二2 2,1由1 確

10、定的王萬向為X1 :X 1:12,3由2 確定的王萬向為X2 :Y21:123、一般情形xx cosy sinx0fxxcos' .0或.yx siny cosy0yxsiny sin(x0 cosy0 sin )ycos ( x0 siny0 cos )4、 xA?xB2y C2“22A2B2A1xB1yC1(1)A2xB2 y C2A2 2a12(a22a11)sin cosa12 (cossin ) 0B22AixBiy Ci.A12Bi2為了使新坐標系仍是右手系，使（1）式中x的符號與（2）式中y的符號相同egi、已知兩垂直的直線l1:2x y 3 0與l2 : x 2y 2

11、0,取11為ox軸,取I2為。y軸，求坐標二、二次曲線的化簡與分類1、移軸F ,曲線方程系數(shù)的變化10二次項系數(shù)不變20 一次項系數(shù)變?yōu)?2F1（x0,y0）與2F2（x0,y0）30常數(shù)項變?yōu)镕（x0,y0）2、轉軸下，二次曲線系數(shù)的變化規(guī)律10二次項系數(shù)要改變，但僅與原方程的二次項系數(shù)及旋轉角有關20 一次項系數(shù)一般要改變，但僅與原方程的一次項系數(shù)及旋轉角有關當原方程有一次項時，通過轉軸不能完全消去一次項，當原方程沒有一次項時, 通過轉軸也不會完全產(chǎn)生一次項。30常數(shù)項不變通過轉軸使新方程的a.0 ,只須ctg2a11a222 a12(a22a11)sin22a12 cos20a12a22

12、a11a12ctg21 tg22tga12)2a22a122 a221a12a11a22 a12a11a222a122a12a22_a11 a12ctg2-1-2 a12幾何意義：把坐標旋轉到與二次曲線的主方向平行的位置Y tgX總結：通過轉軸與移軸化簡二次曲線方程實際上是把坐標軸變換到與二次 曲線的主直徑重合的位置因此，二次曲線的化簡，只要先求出它的主直徑，以其作為新坐標軸即可如果是中心曲線，有且只有一對相互垂直從二又相互共腕的主直徑，主直徑的交點恰是曲線的中心，化簡后，坐標原點與中心重合如果是無心曲線，只有一條主直徑，化簡后，坐標原點與曲線的中心重合如果是線心曲線，只有一條主直徑，坐標原點

13、與曲線的任何一個中心重合坐標軸與主直徑重合坐標軸與主直徑重合若是中心曲線，選取新坐標系原點與曲線的中心重合, （除圓外）若是無心曲線，選取新坐標系原點與曲線的頂點重合,eg1、化簡二次曲線方程x2c23xy y10x10y 210,并作出它的圖形I12,1221. 2x2.2x22 3 y2 Ty12x253y，2兩個主方向X1:Y 1:1,X2:丫2eg2、化簡2xy2x y359 c頂點(一，一),x y 016 168化簡二次曲線x2xy2y 2x y 01解：A 1I12,120曲線為非中心曲線,它的特征方程為特征根為：10, 22非漸近方向為：X:Y 1:1曲線的主直徑為：（xy 1

14、)1(x y -) 0即 x y .3 曲線的頂點為：（士,16過點（3，竺）且與x16 16-)163 y 40垂直的直線方程為取主直徑為新坐標軸的x軸,垂直與主直徑且過點*, 15）的直線為y'軸變換公式為23x y 42、2 x22 x22 3y23 y316516特征方程:2y化簡x23xy y210X10y21解:I121221曲線為中心曲線，特征方程為:X1 :Y1 1:1,X2：Y21:1兩條主直徑為x y0與x y 4 0th1、適當選取坐標系，二次曲線的方程總可以化成下列三個簡化方程中的一個22(1)anx a22y a330(ana220)2(2)a22y2a13X

15、 0(a22a130)2(3)a22 y a330( a220)中心曲線：取它的一對即共腕又相互垂直的主直徑作為坐標軸建立直角坐標系2 a11x22a12xy a22 y2a13x 2a23y a330原點是曲線中心a13 a23 0坐標軸(主直徑)的方向為：1： 0與0： 1a12 0 P203無心曲線：選取唯一的主直徑為 x軸，而過頂點且以非漸近主方向為方向的直 線為y軸主直徑的共腕方向：X :Y 0:1主直徑方程為：a12x a22 y a23 0即為x軸a12 a 230,a22 0頂點與原點重合，(0, 0)滿足曲線a330又是無心曲線，故I20即曳1皿千a12a22 a23而 a1

16、20,a220 a110, a130線心曲線：5.7應用不變量化簡二次曲線方程,0 2'2,1 中心曲線 I20, a11 x a22 ya330I 1 a11 a22 I 1 , I 2a11 a22I 2a11'與a22'是特征方程2 I1 I20的的特征根''' 上I 3I 2a33a33I 220無心曲線0,I30Iia22 I i, I 3,2I 1ai3ai3I 3Ii30線心曲線I30 2a22 ya330,11a22Ii,Kia33a220a3311 a33Ki5.7、應用不變量化簡二次曲線的方程 一、不變量與半不變量三個不變量I

17、 iaiiaiia12a12a22aiiai2aai2a22aa13a23a1323330a33, I 32F(x, y)aiix2a12xy a22 y22ai3x 2a23y在直角變換下:_ ''''F (x , y ) aiix，22a 12X y''2'''''a 22 y 2a i3x2a 23 y a 33Iiaiiaiiai2ai2a22一個半變量 Kiaiiai3ai3a33a22a23a23a33經(jīng)過轉軸不改變thi、當二次曲線為線心曲線時，在直角坐標變換下Ki是不變量、應用不變量化簡二次

18、曲線的方程10中心曲線I20簡化方程為Mx，2''2'a22 y a330Iiana22 I ian0aiiaii a22I 2a22a22是方程2 Iian a22 a33I 2a33a330（特征方程）的兩根 I 2簡化方程為ix222y20無心曲線也也 a12a22盟即I2 a230,I30'.2其間化萬程為a22 y 2a13 x 0I 1a2200 a13.一' 一I 1, I 30a220'a1300a22 ai32I 1 a132 I 1a1330線心曲線也照畫即I2 I30a12a22a232 I3a13a13I 1簡化方程為：I1y2 I3x 0Ii簡化方程為a22 y2 a330K1a330a22 a330I111a22I:33K1簡化方程為I1y2勺011步驟：（1）求 I1,I2,I3(2)若 I20應用 I1,I2, I3若I20應用Ih%