北航計(jì)算流體力學(xué)第19課

1、百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我第五講高分辨率格式初步一.目的為什么那么重視高分辨率格式？是為了提高捕獲激波和間斷面的質(zhì)量。對(duì)于光滑流動(dòng)，無(wú)論是中心差分格式，還是矢通量分裂格式，其 結(jié)果都是令人滿意的，彼此之間無(wú)優(yōu)劣之分。/ 對(duì)于含激波這樣強(qiáng)間斷的流動(dòng)，格式的優(yōu)劣就顯現(xiàn)出來(lái)了。中心差分是頻散格式，求解過(guò)程中，激波前后會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的數(shù)值 振蕩。加入人工粘性，能夠抑制數(shù)值振蕩但是過(guò)大的耗散使激波變得 很寬（5個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)左右），從而降低了激波的分辯率。矢通量分裂格式是耗散格式，可以消除激波前后的數(shù)值振蕩，但 由于精度較低（一階）、耗散較大使得激波的梯度被抹平，激波寬度 仍然較大（3個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)左右）。 與中

2、心差分格式不同，矢通量分裂格式屬于迎風(fēng)格式， 與后面要 講的高分辯率格式屬同類，它為什么分辯率還不夠高呢？解釋如下：遷移方程ut au(11-1)(11-2)式中,1八/1_a - a a 0 a -a a 0(11-3)結(jié)合式(11-2), (11-3),式(11-1)成為:百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我迎風(fēng)格式n 1uiutuxux 0X(11-4)（與矢通量格式相當(dāng)）為n nui ui 1Xn nui 1 uiX0 (11-5)經(jīng)過(guò)整理，可將迎風(fēng)格式寫成如下形式,n 1uinuin a%nui 1nui 12unn ui 1(11-6)從上式可見(jiàn)，當(dāng)a0時(shí)，二階耗散消失了，這時(shí)差分格式

3、會(huì)得到非物理解實(shí)際上a 0的點(diǎn)在實(shí)際流動(dòng)中就是音速點(diǎn)。一維Euler方程擾動(dòng)傳播速度為u a和u a （這里a表示音速）而音速點(diǎn)恰恰是激波區(qū) 不可避免的！百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我初始條件為:膈膜左側(cè):uL，pPl,x Xo,膈膜右側(cè):uR，ppR，xXo,假定:pLpR， LuLuR膈膜破裂之后，t0,將會(huì)發(fā)生什么?膈膜的初始位置膨脹波接觸間斷激波流動(dòng)狀態(tài)（t 0）接觸間斷：P3P2，u3u2，32百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我G.OGQ.tJULQOxLO57.50 1D.Q01.Q00.500.00初始條件為2.5054。7.50 10.03x (m)。力。2.505.叩x (m

4、)2.561 5 ,以7.59犯3.00x1,(J2x (m)O.OGx (m)£,001.3065M數(shù)赫馬0.002.50 5.007.50 IkWx (m)0.002*505.0Q7.50 10.BO激波管內(nèi)流場(chǎng)情況（膈膜破裂之后）x (m)PL 105N/m2 入 L 1.0Kg/m3, uL 0m/sPR 104N/m2,R 0.125Kg/m 3, uR 0m/s百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我1.區(qū):設(shè) P2 PR1,根據(jù) Rankine-Hugoniot 條件（間稱 R-H 1條件）有:U2P 1<1 PaRP2P Pr f P2.區(qū)根據(jù)間斷面的定義，可得根據(jù)等嫡

5、關(guān)系，有P3P2PPr f PU3U2PrLPl21 11P,aLaRPlPr1P2而P滿足下列關(guān)系式:可用牛頓迭代法從上式中求出 P,于是區(qū)和區(qū)的氣流狀態(tài)完 全確定。3.膨脹波掃過(guò)的區(qū)域設(shè)膈膜位置為x 0,膈膜破裂時(shí)間點(diǎn)為t 0。則根據(jù)Riemann不變量的規(guī)律。百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我沿特征線dtdx有u a z沿特征線c/（5dx常數(shù)沿特征線c0（5 -）,等嫡，有dx u-p-常數(shù)可得:u5aL1-ulp5pLuaLp5Pl可見(jiàn)，當(dāng)膈膜破裂之后，激波管內(nèi)氣流參數(shù)完全由膈膜兩側(cè)的狀態(tài)參數(shù)所決定，當(dāng)然考察的位置 x和時(shí)間t也是決定因素百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我（二）Riema

6、nn問(wèn)題的理論分析1.對(duì)于一維問(wèn)題，非線性守恒方程系統(tǒng)：(11-7a)(11-7b)5 Fx 0 F F UU x,0 U0（x）x古典解：，如果方程（11-7a）的解U連續(xù)且U的一階偏導(dǎo)數(shù)分段連續(xù)，則稱U為古典解。/ 弱解：對(duì)于方程（11-7a）,如果它的解U為間斷的不連續(xù)函數(shù)， 則稱其為弱解（也可稱為廣義解）。弱解滿足下列條件:1）解U在所有連續(xù)點(diǎn)滿足初始條件（11-7b）;2）在解U的光滑處，方程（11-7a）局部成立；3）在解U的間斷處滿足 Rankine-Hugoniot條件F（Ur） F Ul C（Ur Ul）（11-8）式中，C為間斷面的移動(dòng)速度；下標(biāo)“ R”表示間斷面右側(cè)變量，

7、“L” 表水左側(cè)變量。也可寫成：F U C U式中， f 表示函數(shù)f在間斷左右的跳躍。/百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我2. Riemann (黎曼)問(wèn)題:一維Euler方程:式中UtFx(11-9)PP u初始條件為:x,0UlUr當(dāng)t 0之后，由初始間斷的左右狀態(tài)確定波態(tài)、 波的強(qiáng)度和波之間的流動(dòng)特性的問(wèn)題稱為 Riemann問(wèn)題。結(jié)論：黎曼問(wèn)題（激波管）在數(shù)學(xué)上就是求解初始條件為突躍條 件的一維歐拉方程解析解的問(wèn)題。3.間斷面的分類：1）弱間斷：參數(shù)連續(xù)，而參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，例如膨脹波（稀 疏波）；2）強(qiáng)間斷：參數(shù)不連續(xù)（產(chǎn)生間斷），例如激波和接觸間斷。激波：滿足R-H條件的間斷；/接觸間斷：流體不穿過(guò)波面，即滿足：P 0 , u / 0即，間斷前后壓力和速度不變，只有密度發(fā)生跳躍百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我可以證明，Riemann問(wèn)題的解（Riemann解）是由一個(gè)向左移動(dòng)的波，一個(gè)處于中間的接觸間斷和一個(gè)向右移動(dòng)的波構(gòu)成，向左向右移動(dòng)的波或?yàn)榧げ?、或?yàn)榕蛎?/p>