2019年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題精選分類匯編：壓軸題+含答案解析

1、2019 年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題精選分類匯編：壓軸題 含答案解析1（2019?北京）在 ABC 中， D，E分別是 ABC兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在 ABC 的內(nèi)部或邊上，則稱 為 ABC 的中內(nèi)弧例如，圖 1 中 是 ABC 的一條中內(nèi)弧（1）如圖 2，在 Rt ABC 中， AB AC，D，E分別是 AB，AC 的中點(diǎn)，畫(huà)出 ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧 ，并直接寫(xiě)出此時(shí) 的長(zhǎng)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在 ABC 中， D，E分別是 AB， AC 的中點(diǎn)若 t ，求 ABC的中內(nèi)弧 所在圓的圓心 P的縱坐標(biāo)的取值范圍； 若在 AB

2、C 中存在一條中內(nèi)弧 ，使得 所在圓的圓心 P 在 ABC 的內(nèi)部或邊上，直接寫(xiě)出 t 的取值范圍第 5 頁(yè)（共 75 頁(yè)）2（ 2019?上海）如圖 1，AD、BD 分別是 ABC的內(nèi)角 BAC、 ABC 的平分線，過(guò)點(diǎn) A作AEAD，交 BD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E （1）求證： E C；（2）如圖 2，如果 AE AB，且 BD ：DE 2：3，求 cosABC 的值；的值3）如果 ABC 是銳角，且 ABC 與ADE 相似，求 ABC 的度數(shù)，并直接寫(xiě)出2 3（2019?廣州）已知拋物線 G： ymx 2mx 3 有最低點(diǎn)（ 1）求二次函數(shù) ymx22mx3的最小值（用含 m 的式子表示）

3、；（2）將拋物線 G 向右平移 m 個(gè)單位得到拋物線 G1經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，隨著 m 的變化，拋物線 G1頂 點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 與橫坐標(biāo) x 之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x 的取值范圍；（3）記（ 2）所求的函數(shù)為 H，拋物線 G 與函數(shù) H 的圖象交于點(diǎn) P，結(jié)合圖象，求點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)的 取值范圍4（2019?深圳）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），B（3，0），C（3，8），以線段 BC 為直徑作圓，圓心為 E，直線 AC 交E 于點(diǎn) D ，連接 OD（1）求證：直線 OD 是E 的切線；（2）點(diǎn) F 為 x軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接 CF 交E于點(diǎn) G，連接 BG；當(dāng)

4、 tan ACF 時(shí)，求所有 F點(diǎn)的坐標(biāo) （直接寫(xiě)出） ； 求 的最大值5（2019?武漢）在 ABC 中， ABC 90°， n，M 是 BC 上一點(diǎn)，連接 AM（1）如圖 1，若 n1，N是 AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， CN與 AM 垂直，求證： BMBN（2）過(guò)點(diǎn) B 作 BPAM，P 為垂足，連接 CP 并延長(zhǎng)交 AB 于點(diǎn) Q 如圖 2，若 n 1，求證： 如圖 3，若 M 是 BC 的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出 tan BPQ 的值（用含 n 的式子表示）226（2019?武漢）已知拋物線 C1：y（x1） 4 和 C2：yx（1）如何將拋物線 C1 平移得到拋物線 C2？（2）如圖 1，拋

5、物線 C1與 x 軸正半軸交于點(diǎn) A，直線 y x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，交拋物線 C1于另一點(diǎn)B請(qǐng)你在線段 AB 上取點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) P作直線 PQy 軸交拋物線 C1于點(diǎn) Q，連接 AQ若 APAQ，求點(diǎn) P的橫坐標(biāo)；若 PAPQ，直接寫(xiě)出點(diǎn) P的橫坐標(biāo)（3）如圖 2，MNE 的頂點(diǎn) M、N在拋物線 C2上，點(diǎn) M在點(diǎn) N 右邊，兩條直線 ME、NE與拋物線 C2均有唯一公共點(diǎn)， ME、NE 均與 y軸不平行若 MNE 的面積為 2，設(shè) M、 N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別 為 m、n，求 m 與 n 的數(shù)量關(guān)系7（2019?杭州）如圖，已知銳角三角形 ABC內(nèi)接于圓 O，ODBC于點(diǎn) D，連接 OA（1）若

6、BAC 60°， 求證： OD OAn 是正當(dāng) OA 1時(shí)，求 ABC面積的最大值（2）點(diǎn) E 在線段 OA 上， OEOD ，連接 DE，設(shè) ABCmOED，ACBnOED（m，m n+200）是28（ 2019?天津）已知拋物線 yx2bx+c（b，c 為常數(shù)， b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（1，0），點(diǎn) M（m，x 軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)（）當(dāng) b 2 時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（）點(diǎn) D （b， yD）在拋物線上，當(dāng) AMAD，m5 時(shí)，求 b 的值；（）點(diǎn) Q（b+ ，yQ）在拋物線上，當(dāng)AM+2QM 的最小值為 時(shí)，求 b 的值9（ 2019?天津）在平面直角坐標(biāo)系中， O為原點(diǎn)，點(diǎn)

7、A（6，0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上， ABO 30°矩第 4 頁(yè)（共 75 頁(yè)）形 CODE 的頂點(diǎn) D，E， C分別在 OA，AB，OB 上，OD2（）如圖 ，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；（）將矩形 CODE 沿 x軸向右平移，得到矩形 C O D E，點(diǎn) C，O，D，E 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C， O， D ， E設(shè) OO t，矩形 CODE與 ABO 重疊部分的面積為 S 如圖 ，當(dāng)矩形 CODE與 ABO 重疊部分為五邊形時(shí)， CE， ED分別與 AB 相交于點(diǎn) M，F(xiàn)，試用含有 t的式子表示 S，并直接寫(xiě)出 t 的取值范圍； 當(dāng) S 5 時(shí)，求 t 的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）第 9 頁(yè)（

8、共 75 頁(yè)）210（2019?成都）如圖，拋物線 yax +bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 2，5），與 x軸相交于 B（1，0），C（3，0） 兩點(diǎn)（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn) D 在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于 x軸的上方，將 BCD 沿直線 BD 翻折得到 BC'D，若點(diǎn) C'恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)C'和點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（ 3）設(shè) P 是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q 在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng) CPQ 為等邊三角形時(shí)，求直線 BP 的函數(shù)表達(dá)式11（2019?安徽）如圖， RtABC 中， ACB90°， ACBC，P 為ABC 內(nèi)部一點(diǎn)，且 AP

9、BBPC 135°（1）求證： PAB PBC；（ 2）求證： PA 2PC；（3）若點(diǎn) P 到三角形的邊 AB，BC， CA 的距離分別為 h1，h2，h3，求證 h12h2?h3212（2019?長(zhǎng)沙）如圖，拋物線 yax +6ax（a為常數(shù)， a>0）與 x軸交于 O，A 兩點(diǎn)，點(diǎn) B為拋物線 的頂點(diǎn)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為（ t，0）（3<t<0），連接 BD并延長(zhǎng)與過(guò) O，A，B三點(diǎn)的 P相交于點(diǎn) C （ 1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn) C 作P 的切線 CE交 x 軸于點(diǎn) E 如圖 1 ，求證： CE DE ；連接 AC，BE， BO，a， CAE OBE 時(shí)

10、，求 的值 如圖 2 ，當(dāng)213（2019?蘇州）如圖 ，拋物線 y x2+（a+1）xa與 x軸交于 A，B兩點(diǎn)（點(diǎn) A位于點(diǎn) B的左側(cè)）， 與 y 軸交于點(diǎn) C 已知 ABC 的面積是 61）求 a 的值；（ 2）求 ABC 外接圓圓心的坐標(biāo)；（3）如圖 ，P是拋物線上一點(diǎn)， Q為射線 CA上一點(diǎn)，且 P、Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)， Q、A是位 于直線 BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn) P到 x軸的距離為 d，QPB 的面積為 2d，且 PAQ AQB，求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)14（2019?青島）已知：如圖，在四邊形 ABCD 中， AB CD， ACB90°，AB10cm，BC8cm，OD 垂直

11、平分 A C點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BA 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；同時(shí)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出 發(fā)，沿 DC 方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)P 作 PEAB，交 BC于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) Q作QFAC，分別交 AD，OD于點(diǎn) F，G連接 OP ，EG 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 為 t（ s）（0<t<5），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，點(diǎn) E 在 BAC 的平分線上？2（2）設(shè)四邊形 PEGO 的面積為 S（cm2），求 S與 t 的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形 PEGO 的面積最大？若存在，求出 t 的

12、值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 4）連接 OE， OQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使 OE OQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由15（2019?棗莊）已知拋物線y ax2+ x+4 的對(duì)稱軸是直線x3，與 x軸相交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) A 右側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C （1）求拋物線的解析式和 A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖 1，若點(diǎn) P是拋物線上 B、C 兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 B、C重合），是否存在點(diǎn) P，使 四邊形 PBOC 的面積最大？若存在，求點(diǎn) P的坐標(biāo)及四邊形 PBOC 面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由；（3）如圖 2，若點(diǎn) M是拋物線上任意一

13、點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M作 y軸的平行線，交直線 BC于點(diǎn) N，當(dāng) MN3 時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)16（2019?陜西）問(wèn)題提出：（1）如圖 1，已知 ABC，試確定一點(diǎn) D，使得以 A，B， C，D 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng) 畫(huà)出這個(gè)平行四邊形；問(wèn)題探究：（2）如圖 2，在矩形 ABCD 中， AB4， BC 10，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的BPC，且使BPC90°，求滿足條件的點(diǎn) P 到點(diǎn) A的距離；第 8 頁(yè)（共 75 頁(yè)）問(wèn)題解決：（ 3）如圖 3，有一座塔 A，按規(guī)定，要以塔 A 為對(duì)稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊 形的景區(qū) BCDE 根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn) B是

14、定點(diǎn)，點(diǎn) B到塔 A的距離為 50 米， CBE120°， 那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)BCDE ？若可以，求出滿足要求的平塔 A 的占地面積忽略不計(jì)）行四邊形 BCDE 的最大面積；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由第 25 頁(yè)（共 75 頁(yè)）217（2019?恩施州）如圖，拋物線 yax22ax+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) C（0，2），頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 1， ），與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（2）連接 AC，E 為直線 AC 上一點(diǎn)，當(dāng) AOC AEB 時(shí)，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)和 的值（3）點(diǎn) F（0，y）是 y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) y為何值時(shí)， FC+BF 的

15、值最小并求出這個(gè)最小值（4）點(diǎn) C關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 H，當(dāng) FC+BF 取最小值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) Q， 使 QHF 是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18（2019 ?黃岡）如圖 ，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知 A（2，2），B（ 2，0），C（0，2），D（2，0）四點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 BCD運(yùn)動(dòng)（ M不與點(diǎn) B、點(diǎn) D重合）， 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（秒）（ 1）求經(jīng)過(guò) A、 C、D 三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）點(diǎn) P 在（ 1）中的拋物線上，當(dāng) M 為 BC 的中點(diǎn)時(shí)，若 PAM PBM ，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；（3）當(dāng) M

16、在 CD 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖 過(guò)點(diǎn) M 作 MFx 軸，垂足為 F，MEAB，垂足為 E設(shè)矩 形 MEBF 與 BCD 重疊部分的面積為 S，求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S 的最大值；（4）點(diǎn) Q為 x軸上一點(diǎn)，直線 AQ與直線 BC交于點(diǎn) H，與 y軸交于點(diǎn) K是否存在點(diǎn) Q，使得HOK 為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出符合條件的所有Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19（2019?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y2x+6 與 x軸交于點(diǎn) A，與 y 軸交點(diǎn) C，拋物線2y2x +bx+c過(guò)A，C兩點(diǎn)，與 x軸交于另一點(diǎn) B（1）求拋物線的解析式（ 2）在直線 AC 上方的拋物線上

17、有一動(dòng)點(diǎn) E，連接 BE，與直線 AC 相交于點(diǎn) F ，當(dāng) EF BF 時(shí)， 求 sin EBA 的值（3）點(diǎn) N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在（ 2）的條件下，若點(diǎn) E 位于對(duì)稱軸左側(cè)，在拋物線上是否存 在一點(diǎn) M ，使以 M ，N，E，B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20（2019?連云港）問(wèn)題情境：如圖 1，在正方形 ABCD 中，E為邊 BC 上一點(diǎn)（不與點(diǎn) B、 C重合）， 垂直于 AE 的一條直線 MN 分別交 AB、 AE、 CD 于點(diǎn) M、P、N判斷線段 DN、 MB、EC之間的數(shù) 量關(guān)系，并說(shuō)明理由問(wèn)題探究：在“問(wèn)題情境”的基礎(chǔ)上（

18、 1）如圖 2，若垂足 P 恰好為 AE 的中點(diǎn)，連接 BD，交 MN 于點(diǎn) Q，連接 EQ，并延長(zhǎng)交邊 AD 于 點(diǎn) F 求 AEF 的度數(shù)；（2）如圖 3，當(dāng)垂足 P在正方形 ABCD 的對(duì)角線 BD上時(shí)，連接 AN，將 APN沿著 AN翻折，點(diǎn) P落在點(diǎn) P'處，若正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4， AD 的中點(diǎn)為 S，求 P'S的最小值問(wèn)題拓展：如圖 4，在邊長(zhǎng)為 4 的正方形 ABCD 中，點(diǎn) M、N 分別為邊 AB、 CD 上的點(diǎn)，將正方形ABCD 沿著 MN 翻折，使得 BC 的對(duì)應(yīng)邊 B'C'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，C'N 交 AD 于點(diǎn) F分別過(guò)

19、點(diǎn) A、 F 作AGMN ，F(xiàn)H MN ，垂足分別為 G、H若 AG ，請(qǐng)直接寫(xiě)出 FH 的長(zhǎng)21（2019?衢州）如圖，在 RtABC中， C90°， AC6， BAC 60°， AD 平分 BAC 交BC 于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D作 DEAC交AB于點(diǎn) E，點(diǎn) M是線段 AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) BM 并延長(zhǎng)分別交 DE，AC于 點(diǎn) F、G 2）若點(diǎn) M 是線段 AD 的中點(diǎn)，求 的值3）請(qǐng)問(wèn)當(dāng) DM 的長(zhǎng)滿足什么條件時(shí)，在線段 DE 上恰好只有一點(diǎn) P，使得 CPG 60°？1，222（2019?鞍山）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A（ 3， 4）的拋物線 yax +bx+4

20、與 x軸交于點(diǎn)1）求拋物線的解析式SAQD2）如圖 1，點(diǎn)P是直線 AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 連接 PD交AB于點(diǎn) Q，連接 AP， 2SAPQ 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)3）如圖 2，G 是線段 OC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 DG，過(guò)點(diǎn) G 作 GM DG 交 AC 于點(diǎn) M，過(guò)點(diǎn) M 作射線 MN，使 NMG60°，交射線 GD 于點(diǎn) N；過(guò)點(diǎn) G 作 GH MN，垂足為點(diǎn) H，連接 BH請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 BH 的最小值2019 年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題精選分類匯編：壓軸題 含答案解析參考答案與試題解析解答題（共 22 小題）1（2019?北京）在 ABC 中， D，E分別是 ABC兩邊的中點(diǎn)，

21、如果上的所有點(diǎn)都在 ABC 的內(nèi)部的中內(nèi)弧 ，并直接寫(xiě)出此時(shí) 的長(zhǎng)；或邊上，則稱 為 ABC 的中內(nèi)弧例如，圖 1 中 是 ABC 的一條中內(nèi)弧E 分別是 AB ，AC 的中點(diǎn)，畫(huà)出 ABC 的最長(zhǎng)（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在 ABC 中， D，E分別是 AB， AC 的中點(diǎn)若 t ，求 ABC的中內(nèi)弧 所在圓的圓心 P的縱坐標(biāo)的取值范圍； 若在 ABC 中存在一條中內(nèi)弧 ，使得 所在圓的圓心 P 在 ABC 的內(nèi)部或邊上，直接寫(xiě)出 t的取值范圍DE 2，最長(zhǎng)中內(nèi)弧即以 DE 為直徑的半分析】（1）由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性

22、質(zhì)可求得圓， 的長(zhǎng)即以 DE 為直徑的圓周長(zhǎng)的一半；2）根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上， 當(dāng)t 時(shí)，要注意圓心 P在DE上方的中垂線上均符合要求，在 DE 下方時(shí)必須 AC 與半徑 PE 的夾角 AEP 滿足 90° AEP<135°； 根據(jù)題意， t的最大值即圓心 P在 AC上時(shí)求得的 t值解答】 解：（ 1）如圖 2，以 DE 為直徑的半圓弧 ，就是 ABC 的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧 ，連接 DE， A 90°， AB AC，D，E分別是 AB，AC 的中點(diǎn)，BC4，DE BC ×42，弧 ×2 ；（2）如圖 3，由垂徑定理

23、可知，圓心一定在線段DE 的垂直平分線上，連接 DE ，作 DE 垂直平分線FP，作 EGAC交FP 于G，當(dāng) t 時(shí)，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F(xiàn)（ ，1），設(shè) P（ ， m）由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心在線段DE 上方射線 FP 上均可， m 1，OAOC， AOC90° ACO 45°，DEOC AED ACO45°作 EG AC 交直線 FP 于 G， FGEF根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G 的下方（含點(diǎn) G）直線 FP 上時(shí)也符合要求；m綜上所述， m 或 m 1如圖 4，設(shè)圓心 P在 AC 上， P 在 DE 中垂線上，P 為

24、AE 中點(diǎn)，作 PM OC 于 M，則 PM ， P（ t， ），DEBC ADE AOB90° AE ，PDPE， AED PDE AED+DAE PDE+ADP90°， DAE ADPAP PDPE AE由三角形中內(nèi)弧定義知， PDPM AE ，AE 3，即3，解得： t ，t>00< t 如圖 5，設(shè)圓心 P 在 BC 上，則 P（ t， 0）PD PE ，PC 3t，CE AC 【點(diǎn)評(píng)】 此題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)計(jì)算，直角三角形性質(zhì)等，給出了“三角 形中內(nèi)弧”新定義，要求學(xué)生能夠正確理解新概念，并應(yīng)用新概念解題由三角形中內(nèi)弧定義知，PE

25、C<90°，PE22+CEPC2即 +（ 3t）2， t>00< t；綜上所述， t 的取值范圍為： 0<t 2（ 2019?上海）如圖 1，AD、BD 分別是 ABC的內(nèi)角 BAC、 ABC 的平分線，過(guò)點(diǎn) A作AEAD，交 BD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E （1）求證： E C；（2）如圖 2，如果 AE AB，且 BD ：DE 2：3，求 cosABC 的值；（3）如果 ABC 是銳角，且 ABC 與ADE 相似，求 ABC 的度數(shù)，并直接寫(xiě)出 的值 【分析】（1）由題意： E 90° ADE ，證明 ADE90° C即可解決問(wèn)題（2）延長(zhǎng) A

26、D 交 BC 于點(diǎn) F證明 AE BC ，可得 AFB EAD 90°， ，由 BD：DE2： 3，可得 cos ABC （3）因?yàn)?ABC與ADE 相似， DAE 90°，所以 ABC中必有一個(gè)內(nèi)角為 90°因?yàn)?ABC是 銳角，推出 ABC 90°接下來(lái)分兩種情形分別求解即可【解答】（1）證明：如圖 1 中，AEAD，DAE90°，E90° ADE，AD 平分 BAC ， BAD BAC，同理 ABD ABC， ADE BAD+DBA，BAC+ABC180° C， ADE (ABC+BAC) 90° C， E9

27、0°( 90° C) CABAE， ABE E，BE 平分 ABC ， ABE EBC， E CBE，AEBC， AFB EAD 90°，BD：DE 2：3， cos ABC （3） ABC 與 ADE 相似， DAE 90 °，ABC 中必有一個(gè)內(nèi)角為 90°ABC 是銳角， ABC 90° 當(dāng) BAC DAE 90°時(shí)， E C， ABC E C， ABC +C 90°， ABC 30°，此時(shí) 2 當(dāng) C DAE90°時(shí)， C 45°， EDA 45°， ABC 與 AD

28、E 相似， ABC 45°，此時(shí) 2 °，此時(shí) 綜上所述， ABC 30°或 45°，2 或 2 【點(diǎn)評(píng)】 本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三 角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題2 3（2019?廣州）已知拋物線 G： ymx22mx 3 有最低點(diǎn)（ 1）求二次函數(shù) ymx22mx3的最小值（用含 m 的式子表示） ；（2）將拋物線 G 向右平移 m 個(gè)單位得到拋物線 G1經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，隨著 m 的變化，拋物線 G1頂 點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 與橫坐標(biāo) x 之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這

29、個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x 的取值范圍；（3）記（ 2）所求的函數(shù)為 H，拋物線 G 與函數(shù) H 的圖象交于點(diǎn) P，結(jié)合圖象，求點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)的 取值范圍【分析】（1）拋物線有最低點(diǎn)即開(kāi)口向上， m> 0，用配方法或公式法求得對(duì)稱軸和函數(shù)最小值 （2）寫(xiě)出拋物線 G的頂點(diǎn)式， 根據(jù)平移規(guī)律即得到拋物線 G1的頂點(diǎn)式， 進(jìn)而得到拋物線 G1頂點(diǎn)坐 標(biāo)（ m+1， m 3），即 x m+1，y m 3， x+ y 2 即消去 m，得到 y與 x的函數(shù)關(guān)系式再由 m> 0，即求得 x 的取值范圍（3）法一：求出拋物線恒過(guò)點(diǎn) B（2， 4），函數(shù) H 圖象恒過(guò)點(diǎn) A（2，3），由圖象可

30、知兩圖象交 點(diǎn) P 應(yīng)在點(diǎn) A、 B 之間，即點(diǎn) P 縱坐標(biāo)在 A 、 B 縱坐標(biāo)之間法二：聯(lián)立函數(shù) H解析式與拋物線解析式組成方程組，整理得到用x表示 m的式子由 x與 m的范圍討論 x 的具體范圍，即求得函數(shù) H 對(duì)應(yīng)的交點(diǎn) P 縱坐標(biāo)的范圍第 18 頁(yè)（共 75 頁(yè)）第 29 頁(yè)（共 75 頁(yè)）【解答】 解：（ 1） ymx22mx3m（x1）2m3，拋物線有最低點(diǎn)2二次函數(shù) y mx2 2mx3 的最小值為 m32（2）拋物線 G：y m（x1）2m3 平移后的拋物線 G1：y m（x1m）2 m 3 拋物線 G 1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ m+1， m 3） xm+1，y m3x+ym+1m32

31、即 x+y 2，變形得 y x 2m>0，mx 1x1> 0x>1y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y x2（x>1）3）法如圖，函數(shù)H：y x 2（ x> 1）圖象為射線x1 時(shí)， y 12 3；x2 時(shí)， y 22 4函數(shù) H 的圖象恒過(guò)點(diǎn) B（2， 4）拋物線 G：y m（x1）2 m 3x1 時(shí)， y m3；x2 時(shí)，ymm3 3拋物線 G 恒過(guò)點(diǎn) A（2， 3）由圖象可知，若拋物線與函數(shù) H 的圖象有交點(diǎn) P，則 yB< yP<yA點(diǎn) P 縱坐標(biāo)的取值范圍為 4<yP< 3整理的：2m（ x 2x） 1 xx>1，且 x2 時(shí)，方

32、程為 0 1 不成立2x2，即 x22xx（x2） 0 m> 0x>11x< 0 x（ x 2）< 0x2< 0x<2 即 1<x< 2yP x 2【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了求二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系解題關(guān)鍵 是在無(wú)圖的情況下運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)解題，第（ 3）題結(jié)合圖象解題體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用4（2019?深圳）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），B（3，0），C（3，8），以線段 BC 為直徑作圓，圓心為 E，直線 AC 交E 于點(diǎn) D，連接 OD（1）求證：直線 OD 是E 的切線；（2）點(diǎn) F 為 x軸上任意一動(dòng)點(diǎn)

33、，連接 CF 交E于點(diǎn) G，連接 BG；當(dāng) tan ACF 時(shí)，求所有 F點(diǎn)的坐標(biāo)，F(xiàn)2（5，0） （直接寫(xiě)出） ；【分析】（1）連接 ED ，證明 EDO90°即可，可通過(guò)半徑相等得到 EDB EBD，根據(jù)直角三 角形斜邊上中線等于斜邊一半得 DOBOAO， ODB OBD ，得證；（2）分兩種情況： a）F位于線段 AB上，b）F位于 BA的延長(zhǎng)線上；過(guò) F作 AC的垂線，構(gòu)造相 似三角形，應(yīng)用相似三角形性質(zhì)可求得點(diǎn) F 坐標(biāo)；第 20 頁(yè)（共 75 頁(yè)） 應(yīng)用相似三角形性質(zhì)和三角函數(shù)值表示出 ，令 y CG2（64CG2） （CG232）2+322，應(yīng)用二次函數(shù)最值可得到結(jié)論【

34、解答】 解：（ 1）證明：如圖 1，連接 DE， BC 為圓的直徑， BDC 90°， BDA 90°OAOBODOBOA OBD ODB EBED EBD EDBEBD+OBD EDB + ODB即： EBO EDO CB x 軸 EBO 90° EDO 90°點(diǎn) D 在E 上直線 OD 為E 的切線（2）如圖 2，當(dāng) F 位于 AB上時(shí)，過(guò) F作 F1NAC于 N， F1NAC ANF 1 ABC 90° ANF ABCAB6， BC8， AC 10，即 AB：BC：AC6：8：103：4： 5第 37 頁(yè)（共 75 頁(yè)）設(shè) AN3k，則

35、NF14k，AF1 5k CNCA AN103k tan ACF ，解得：即 F1（ ，0） 如圖 3，當(dāng) F位于 BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò) F2作 F2MCA于 M， AMF 2 ABC 設(shè) AM3k，則 MF 2 4k， AF2 5k CMCA+AM10+3ktanACF解得： AF 2 5k 2OF 2 3+2 5即 F2（5， 0）故答案為： F1（，0），F(xiàn)2（ 5，0） 方法 1：如圖 4，過(guò) G作 GHBC 于 H， CB 為直徑 CGB CBF 90° CBG CFB當(dāng) H 為 BC 中點(diǎn)，即GH BC 時(shí)， 的最大值 方法 2：設(shè) BCG ，sincos，sincoss

36、in cos) BC* 2CG?CF 0，即： sin2+cos2 2sincos22sin +cos 1， sincos ，即 的最大值 點(diǎn)評(píng)】 本題是一道難度較大，綜合性很強(qiáng)的有關(guān)圓的代數(shù)幾何綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定定理，直角三角形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)和判定，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)最值問(wèn)題等，構(gòu)造相似三角形和應(yīng)用求二次函數(shù)最值方法是解題關(guān)鍵5（2019?武漢）在 ABC 中， ABC 90°， n，M 是 BC 上一點(diǎn)，連接 AM1）如圖 1，若 n1，N是 AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， CN與 AM垂直，求證： BMBN（2）過(guò)點(diǎn) B 作 BPAM，P 為垂足，連接 CP

37、 并延長(zhǎng)交 AB 于點(diǎn) Q 如圖 2，若 n 1，求證： 如圖 3，若 M 是 BC 的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出 tan BPQ 的值（用含 n 的式子表示）【分析】（1）如圖 1中，延長(zhǎng) AM交 CN于點(diǎn) H想辦法證明 ABM CBN（ ASA）即可（2）如圖 2中，作 CHAB交 BP的延長(zhǎng)線于 H利用全等三角形的性質(zhì)證明CH BM ，再利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可 如圖 3 中，作 CH AB 交 BP 的延長(zhǎng)線于 H，作 CNBH 于 N不妨設(shè) BC2m，則 AB2mn想 辦法求出 CN， PN（用 m，n 表示），即可解決問(wèn)題1 中，延長(zhǎng) AM 交 CN 于點(diǎn) H AMCN， AHC

38、 90°， ABC 90°， BAM+ AMB90°， BCN+CMH90°， AMB CMH， BAM BCN，BABC， ABM CBN90°， ABM CBN（ASA），BMBN2） 證明：如圖 2 中，作 CHAB 交 BP 的延長(zhǎng)線于 HBPAM， BPM ABM 90°， BAM+ AMB90°， CBH+BMP90°， BAM CBH，CHAB， HCB +ABC180°， ABC 90°， ABM BCH90°，ABBC， ABM BCH（ASA），BMCH，CHBQ，

39、解：如圖 3中，作CHAB交BP的延長(zhǎng)線于 H，作CNBH 于N不妨設(shè) BC2m，則AB2mn則 BMCMm，CH ，BHAM ?AM?BP ?AB?BM ， PB ， ?BH?CN ?CH ?BC， CN CNBH， PMBH，MPCN， CMBM，PNBP BPQ CPN，tanBPQtanCPN方法二：易證： ， PN PB， tan BPQ 點(diǎn)評(píng)】 本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題226（2019?武漢）已知拋物線 C1：y（x1）

40、 4 和 C2：yx（1）如何將拋物線 C1 平移得到拋物線 C2？（2）如圖 1，拋物線 C1與 x 軸正半軸交于點(diǎn) A，直線 y x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，交拋物線 C1于另一點(diǎn)B請(qǐng)你在線段 AB 上取點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) P作直線 PQy 軸交拋物線 C1于點(diǎn) Q，連接 AQ若 APAQ，求點(diǎn) P的橫坐標(biāo)；若 PAPQ，直接寫(xiě)出點(diǎn) P的橫坐標(biāo)（3）如圖 2，MNE 的頂點(diǎn) M、N在拋物線 C2上，點(diǎn) M在點(diǎn) N右邊，兩條直線 ME、NE與拋物線 C2均有唯一公共點(diǎn)， ME、NE均與 y軸不平行若 MNE 的面積為 2，設(shè) M、 N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別 為 m、n，求 m 與 n 的數(shù)量關(guān)系2） 易求點(diǎn) A（

41、3，0），b4，設(shè) D（ 0，4）關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D'，則 D '（0， 4），則可求直線 AD '的解析式為y x 4，聯(lián)立方程，可得 P 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ； 同理可得 P 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ；2（ 3）設(shè)經(jīng)過(guò) M 與 E 的直線解析式為 yk（x m）+mx；（2）如圖 1， 設(shè)拋物線 C1與 y軸交于 C點(diǎn)，直線 AB與y軸交于 D 點(diǎn)，2 C1： y（ x1）24， A（3，0），C（0，3）， 直線 y x+ b 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A， b4，D（0，4）， APAQ，PQy 軸， P、Q兩點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱，2 2 2 ，則可知 k2 4km+4m2（ k 2m）2 0

42、，求得 k2m，得出直線 ME 的解析 式為 y 2mx m2，同理：直線 NE 的解析式為 y2nx n2，則可求 E（，mn），再由面積 （n2mn）+（m2mn）×（mn） （n2mn）×（n） （m2mn）×（ m） 2，可得（ m n）設(shè) D（0，4）關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D'，則 D'（0，4）， 第 27 頁(yè)（共 75 頁(yè)）8，即可求解；2【解答】 解：（1）y（x1）24向左平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 4個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到 y直線 AD'的解析式為 y x 4，由，得 x1 3，第 47 頁(yè)（共 75 頁(yè)） P 點(diǎn)橫

43、坐標(biāo)為 ； P 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ；3）設(shè)經(jīng)過(guò) M 與 E 的直線解析式為 yk（x m）+m2，22 則有 x kx+kmm 0，2 2 2 k2 4km+4 m2（ k 2m）2 0，k 2m，直線 ME 的解析式為 y 2mx m2，2同理：直線 NE 的解析式為 y 2nx n2，E（， mn）， （n2mn）+（m2mn）×（mn） （n2mn）×（ n） （m2mn）×（ mm n) 34，3mn）38， mn2；【點(diǎn)評(píng)】 本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握直線與二次函數(shù)的交點(diǎn) 求法，借助三角形面積列出等量關(guān)系是解決m 與 n 的關(guān)系

44、的關(guān)鍵7（2019?杭州）如圖，已知銳角三角形 ABC內(nèi)接于圓 O，ODBC于點(diǎn) D，連接 OA （1）若 BAC 60°， 求證： OD OA當(dāng) OA 1時(shí)，求 ABC面積的最大值2）點(diǎn) E 在線段 OA 上， OEOD ，連接 DE，設(shè) ABC m OED ， ACBn OED （ m， n是正m n+20則 BOD BOC BAC60°，即可求解； BC 長(zhǎng)度為定值， ABC 面積的最大值，要求 BC 邊上的高最大，即可求解；2) BAC 180° ABC ACB 180° mxnx BOC DOC ，而 AOD COD + AOC 180

45、6; mxnx+2mx180°+mxnx，即可求解解答】 解：（ 1） 連接 OB、OC， OBC 30°，OD OB OA； BC 長(zhǎng)度為定值，ABC 面積的最大值，要求 BC邊上的高最大，當(dāng) AD 過(guò)點(diǎn) O 時(shí)，AD 最大，即： AD AO+OD ，ABC 面積的最大值 ×BC×AD ×2OBsin60°則 ABC mx， ACBnx，BOCDOC，則 BAC 180° ABCACB180° mxnx AOC 2 ABC2mx， AOD COD+AOC180°mxnx+2mx180°+mxn

46、x，OEOD， AOD 180° 2x，即： 180°+mxnx180° 2x， 化簡(jiǎn)得： m n+2 0【點(diǎn)評(píng)】 本題為圓的綜合運(yùn)用題，涉及到解直角三角形、三角形內(nèi)角和公式，其中（2）， AODCOD +AOC 是本題容易忽視的地方，本題難度適中28（ 2019?天津）已知拋物線 yx2bx+c（b，c 為常數(shù)， b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（1，0），點(diǎn) M（m，0）是x 軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)（）當(dāng) b 2 時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（）點(diǎn) D （b， yD）在拋物線上，當(dāng) AMAD，m5 時(shí)，求 b 的值；（）點(diǎn) Q（b+ ，yQ）在拋物線上，當(dāng)AM+2QM 的最小值

47、為 時(shí)，求 b 的值2【分析】（）將點(diǎn) A（ 1， 0）代入 yx2bx+c，求出 c關(guān)于 b的代數(shù)式，再將 b 代入即可求出 c的值，可進(jìn)一步寫(xiě)出拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（）將點(diǎn) D （ b， yD）代入拋物線 y x2bx b 1，求出點(diǎn) D 縱坐標(biāo)為 b1，由 b>0判斷出點(diǎn)D（ b， b 1）在第四象限，且在拋物線對(duì)稱軸x 的右側(cè)，過(guò)點(diǎn) D 作 DEx 軸，可證 ADE 為等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)可求出 b 的值；（）將點(diǎn) Q（b+ ，yQ）代入拋物線 y x2 bx b 1，求出 Q 縱坐標(biāo)為 ，可知點(diǎn) Q（b+ ， ）在第四象限， 且在直線 xb的右側(cè)，點(diǎn) N（0，1

48、），過(guò)點(diǎn) Q作直線 AN的垂線，垂足為 G，QG與 x軸相交于點(diǎn) M，過(guò)點(diǎn) Q作 QH x軸于點(diǎn) H，則點(diǎn) H（b+ ，0），在 RtMQH 中，可知QMH MQH 45°，設(shè)點(diǎn) M（m，0），則可用含 b 的代數(shù)式表示 m，因?yàn)锳M +2QM ，所以 （ ）（ 1）+2 （b+ ）（ ），解方程即可【解答】 解：（）拋物線 y x2 bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 1，0）， 1+b+ c0，即 c b 1，當(dāng) b 2 時(shí)，22yx22x3（ x 1）2 4，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 4）；（）由（）知，拋物線的解析式為yx2 bxb 1，點(diǎn) D（ b， yD）在拋物線 y x2bx b

49、 1 上，2yDb2b?b b1 b1，由 b>0，得 b> >0， b1<0，點(diǎn) D（ b， b 1）在第四象限，且在拋物線對(duì)稱軸x 的右側(cè)，如圖 1，過(guò)點(diǎn) D 作 DEx 軸，垂足為 E，則點(diǎn) E（b，0），AE b+1，DEb+1，得 AEDE ，在 Rt ADE 中， ADE DAE 45 AD AE，由已知 AM AD，m5， 5（ 1）（ b+1），b 3 1；2（）點(diǎn) Q（b+ ， yQ）在拋物線 yx2bxb1 上，yQ（ b+ ）2b（b+ ） b1 ，可知點(diǎn) Q（b+ ， ）在第四象限，且在直線 xb 的右側(cè)， AM+2QM 2（AM +QM），可取

50、點(diǎn) N（0， 1），如圖 2，過(guò)點(diǎn) Q作直線 AN 的垂線，垂足為 G，QG 與 x 軸相交于點(diǎn) M，由 GAM 45°，得AM GM，則此時(shí)點(diǎn) M 滿足題意，過(guò)點(diǎn) Q作 QHx 軸于點(diǎn) H，則點(diǎn) H（b+ ，0），在 Rt MQH 中，可知 QMH MQH 45°，QH MH ，QM MH，點(diǎn) M（ m， 0），0（ ）（ b+ ） m，解得， m ， AM+2QM ， （ ）（ 1） +2 （ b+ ）（ ），b4【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程等，解題關(guān)鍵是能 夠根據(jù)給定參數(shù)判斷點(diǎn)的位置，從而構(gòu)造特殊三角形來(lái)求解9（ 2019?

51、天津）在平面直角坐標(biāo)系中， O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（ 6，0），點(diǎn) B在 y軸的正半軸上， ABO 30°矩 形 CODE 的頂點(diǎn) D，E， C分別在 OA，AB，OB 上，OD2（）如圖 ，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；（）將矩形 CODE 沿 x軸向右平移，得到矩形 C O D E，點(diǎn) C，O，D，E 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 C， O， D ， E設(shè) OO t，矩形 CODE與 ABO 重疊部分的面積為 S 如圖 ，當(dāng)矩形 CODE與 ABO 重疊部分為五邊形時(shí)， CE， ED分別與 AB 相 交于點(diǎn) M，F(xiàn)，試用含有 t的式子表示 S，并直接寫(xiě)出 t 的取值范圍； 當(dāng) S 5 時(shí)，求 t 的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可） 【分析】（）由已知得出 AD OA OD 4，由矩形的性質(zhì)得出 AED ABO 30°，在 Rt