2020年上海市徐匯區(qū)高三一模數(shù)學試卷(含答案)(精校Word版)

1、2020年上海市 徐匯區(qū)高三一模數(shù)學試卷(含答案) (精校 Word版)2019.12 一、填空題(本大題共有 12 題，滿分 54分，第 1-6題每題 4分，第 7-12題每題 5 分) 考生應在答題紙的相應位置直接填寫結(jié)果1已知集合 M x|x 2，集合 N x|x 1 ，則M N 2向量 a =(3,4)在向量 b =(1,0)方向上的投影為 113 二項式 3x 1 的二項展開式中第 3 項的二項式系數(shù)為 1+i4復數(shù) 1+i 的共軛復數(shù)為 3 4i5已知 y f (x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且它在 0, ) 上單調(diào)遞增，那么使得 f( 2) f(a)成 立的實數(shù) a 的取值范圍是

2、6. 已知函數(shù) f (x) arcsin(2x 1) ，則 f 1( ) 6217已知 x R，條件 p：x2 x，條件 q： a(a 0)，若 p是q的充分不必要條件，則實數(shù) a x的取值范圍是 .8已知等差數(shù)列 an 的公差 d 3， Sn表示 an 的前 n項和，若數(shù)列 Sn 是遞增數(shù)列，則 a1的取 值范圍是 .9數(shù)字不重復，且個位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值等于2 的四位數(shù)的個數(shù)為 10過拋物線 C:y2 2x的焦點 F，且斜率為 3的直線交拋物線 C于點 M(M在 x軸的上方)， l 為拋物線 C 的準線，點 N 在 l 上且 MN l ，則 M 到直線 NF 的距離為 11 已 知

3、 數(shù) 列an的 前 n 項 和 為Sn， 對 任 意 nN*，Sn(1)n an1nn 3 且2n (a1 p)(a2 p) 0 ，則實數(shù) p的取值范圍是.4x+1,x 112 已知函數(shù) f x 2 關(guān)于 x的不等式 f x mx 2 m 2 0的解集是 x2 6x 10,x 1,x1,x2x3,.若 x1x2x3 0 ，則 x1 x2 x3 的取值范圍是 二、選擇題（本大題共有 4 題，滿分 20 分，每題分）每題有且只有一個正確選項?？忌鷳诖痤} 紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑13 過點 （ 1,0） ，且與直線 x 1 y 1 有相同方向向量的直線的方程為 （ ）53A. 3x

4、 5y 3 0 B. 3x 5y 3 0 C. 3x 5y 1 0 D. 5x 3y 5 014一個棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是 （ ）A. 1:2 B. 1:8 C. 2:2 D. 2:42 2 2 215若圓 C1:x2 y2 1和圓 C2 :x2 y2 6x 8y k 0沒有公共點，則實數(shù) k的取值范圍是 （ ）A 9,11 B 25, 9C, 9 11,D 25, 9 11,16設 H 是 ABC 的垂心，且3HA 4HB 5HC 0,則 cos BHC的值為10D7014徐匯區(qū)高三數(shù)學 本卷共 4 頁 第頁三、解答題（本

5、大題共有5 題，滿分 76 分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟17（本題滿分 14分，第（ 1）小題 6 分，第（ 2）小題 8 分） 如圖所示，圓錐 SO的底面圓半徑 |OA| 1，母線 SA 3 （ 1）求此圓錐的體積和側(cè)面展開圖扇形的面積； （2）過點 O在圓錐底面作 OA的垂線交底面圓圓弧于點 P,設線段SO中點為 M ,求異面直線 AM 與PS 所成角大小18（本題滿分 14 分，第（ 1）小題 6分，第（ 2）小題 8分） 設函數(shù) f （x） x2 |x a|（ x R， a 為實數(shù)）1）若 f（x） 為偶函數(shù)，求實數(shù) a的值；2）設 a 21，求函數(shù) f （x）

6、的最小值（用 a表示）19. （本題滿分 14分，第（ 1）小題 6 分，第（ 2）小題 8 分）如圖， 某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路 a經(jīng)過三個景點 A，B，C 景區(qū)管委會又開發(fā)了風景優(yōu) 美的景點 D 經(jīng)測量景點 D 位于景點 A的北偏東 30 方向 8km處，位于景點 B 的正北方向，還位 于景點 C的北偏西 75 方向上已知 AB 5km 1）景區(qū)管委會準備由景點 D 向景點 B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的Aa長（結(jié)果精確到 0.1km ）（2）求景點 C 與景點 D 之間的距離 （結(jié)果精確到 0.1km）20. （本題滿分 16 分，第（ 1）小題 4 分，第（

7、2 ）小題 6 分，第（ ,3 ）小題 6 分）22xy已知橢圓 : 2 2 1，（a b 0）.點A為橢圓短軸的上端點， P為橢圓上異于 A點的任一點 . 若 abP點到 A點距離的最大值僅在 P點為短軸的另一端點時取到， 則稱此橢圓為 “圓橢圓” . 已知 b 2. （1）若 a5, 判斷橢圓 是否為“圓橢圓” ;（2）若橢圓 是“圓橢圓” ,求 a的取值范圍 ;（3）若橢圓 是“圓橢圓”，且a取最大值， Q為P關(guān)于原點 O的對稱點， Q也異于 A點. 直線 AP、 AQ分別與 x軸交于 M 、 N兩點，試問以線段 MN 為直徑的圓是否過定點？證明你的結(jié)論 .21. （本題滿分 18 分，

8、第（ 1）小題 4分，第（ 2）小題 6分，第（ ,3）小題 8 分）給正有理數(shù) mi ， j （i j;i，j N*;mi,ni,mj,nj N*且mi mj和ni nj不同時成立 ）, 按以下規(guī) ni nj則 P排列：若 minimjnj,則 mi 排在 mj的前面； 若 minimjnj且ninj,則 mi排nin jnimj1 2 1在 j 的前面，按此規(guī)則排列得到數(shù)列an ，（例如 , , , ） .nj1 1 2（ 1）依次寫出數(shù)列 an 的前 10 項；（2）對數(shù)列 an 中小于 1 的各項，按以下規(guī)則 Q 排列：各項不做化簡運算；分母小的項排在前面；分母相同的兩項，分子小的項排

9、在前面，得到數(shù)列bn , 求數(shù)列 bn 的前 10 項的和 S10, 前2019 項的和 S2019 ；（ 3） 對數(shù)列 an 中所有整數(shù) 項，由小到大 取前 2019 個 互不相 等的整數(shù)項構(gòu) 成集 合A c1,c2,c3, ,c2019 ,A的子集 B滿足：對任意的 x,y B,有x y B,求集合 B中元素個數(shù)的最 大值 .數(shù)學學科參考答案及評分標準2019.1213 分14 分OA 1,OM 2, AM 3, AN12 1210 分填空題：（本大題共有 12 題，滿分 54 分，第 1-6題每題 4分，第 7-12 題每題 5分 ,1 2,23355471i25 255 ( , 2 2

10、, )16 47 0,183,9 84010 311 34,114122 7 12,二選擇題： （本大題共有 4 題，滿分 20分，每題分）13 B14C15D16D三 解答題：（本大題共 5題，滿分 74 分）17（本題滿分 14分，第（ 1）小題 6 分，第（ 2）小題 8 分） 【解】（1）因為 |OA| 1， SA 3，所以在 Rt SOA中， h SOSA2OA 2 2 ， 2 分1 2 2 2所以圓錐的體積 V 1 r h 2 2 4 分331側(cè)面展開圖扇形的面積 S 2 3 3 6 分2（ 2）解法一：以 OP 、 OA、 OS所在射線為 x軸、 y軸、 z軸建立坐標系，則有 P

11、 1,0,0 ,S 0,0,2 2 , A 0,1,0 ,M 0,0, 2 ， 9 分于是 PS 1,0,2 2 ,AM 0, 1, 2 ， 11 分2 2 2 4 3 設向量 PS與AM 的夾角為 ，則 cos 2 2 2 4 3，3 3 943 所以，異面直線 AM 與 PS所成角大小為 arccos 4 3 9113解法二：取線段 OP中點 N，連 MN，則 MN SP且 MNSP SA ,AMN （或其補角）為異面直線 AM 與 PS的夾角，2228分332cos AMN 32 3 3243913 分所以，異面直線 AM 與 PS所成角大小為 arccos 4 3 918 （本題滿分

12、14分，第 1小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 8分） 【解】 （1）由已知， f （ x） f（x）， 即|x a | | x a| ， 解得 a 0 2x x a, x a2x x a , x a2) f(x)當 x a 時，f （x） 的最小值為14（2 分）4 分）6 分）8 分）當 x a 時，f （x） 的最小值為f (a) a2 ， f112 分）由于 a212a20 ，所以函數(shù) f （x） 的最小值為 a 14（ 14 分）19 （本題滿分 14分，第 1小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 8分）解】（1）設 BD x ，則由余弦定理 52 82 x2 16xcos300，（

13、2 分）4 分）即 x2 8 3x 39 0 ，解得 x 4 3 3 ，4 3 3 8舍去所以 x 4 3 3 ，這條公路的長約為 3.9km（6 分）AD AB9 分）2)在 ABD 中，由正弦定理得AD AB ，asin ABD sin ADB景點所 以 s i nABD s i nC B D 45， 在 CBD 中 ，s i nD C Bsn C( B D B D )C. 7，912 分）由正弦定理得CD 4 BD5 sin DCB4.0C與景點 D 之間的距離約為 4.0km14 分）（注：答案為 3.9 扣 1 分）20（本題滿分 16 分，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分

14、 6 分，第 3 小題滿分 6 分 ） x2 y2解】（1）設 P（x,y）,則 x y 1, A（ 0,2）,54PAx2 (y 2)25 45 y2 (y 2)21 y2 4y 94y 2,2 僅在 y 2時， PA max 4橢圓 是“圓橢圓”4分222)設P(x, y),則 x2 y 1. a2 4PAx2 (y 2)2a2 a4 y2 (y 2)24 a 2 2y 4y a 447分4ay 2,2 , 關(guān)于 y 的二次函數(shù)2 y2 4y a2 4的對稱軸為 y 2 8 ，4 a 4橢圓 為“圓橢圓”，故 a2 482, 即 a 2,2 2 .10 分3) a 2 2 ，橢圓22xy:

15、1, 設直線84PQ方程為 y kx,聯(lián)立橢圓方程得 (2k2 1)x2 8, 解得 x 2 2 ,2k2 1P( 2 22k2 1不妨設2 2k )2k2 1則直線PA方程為 y2 2k ), Q( 2 2 2k2 12k2 12k2 1(k )x 2，令 y 0,得 x222k2 1 2k12 分22則M(22222k2 1 2k 0) ，同理 N( 2k2 1 2k,0)2 2 2 2)(x于是圓方程為 (x 2k2 1 2k)(x 2k2 1+ 2k) y 0 ，即2 2 x 0x y 8kx 8 0 令 2 2x2 y2 8kx 8 0x0即 圓過定點 (0, 2 2).16 分 y

16、 2 221 (本題滿分 18 分，第1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3 小題滿分 8 分 )1213解】(1)1,2,1,311211,4,3,2,1.312342)顯然 mi ni ， (iN ,mi,ni N ) 的大小是以自然數(shù)順序(從2 開始)排列 . 于是按題設規(guī)則排列，數(shù)列 an 各項中分子與分母和為 2的為第一組，只有一個數(shù)；分子與分母和為3 的設為第二組，有兩個數(shù)；分子與分母和為 4的設為第三組， 有三個數(shù)； 分子與分母和為 n 1的設第 n組，有 n個數(shù) . 數(shù)列 an 中小于 1 的項 m(m n,m, n N*) 在數(shù)列 an 中第 (m n 1)組

17、中的倒數(shù)第 n1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 m 個數(shù)，按題設規(guī)則排列得數(shù)列bn 各項依次為： , , , , , , , , , , , , , , ,n 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6將 此數(shù) 列分 母相同 的 各 項分 為一 組， 第 n 組中 各項為 1 , 2 , 3 n 其 和 n 1 n 1 n 1 n 11 2 3 n 1 2 3n n Tnn n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2數(shù)列 Tn 為等差數(shù)列，通項為 Tn n ,21234bn 前 10 項和 S10 S1 2 3 4 T1 T2 T3 T45, 7 分2222設b2019在第n組，則有 n(n2 1) 2019 n(n2 1)可取n 64, 64263 2016 b2019 為第 64 組的第 3 個數(shù)，故S2019 T1 T2 T3T6312365 65 651 2 3 63 1 2 32 2 2 2