八年級數(shù)學(xué)《全等三角形》證明題中常見的輔助線的作法

1、八年級數(shù)學(xué)全等三角形證明題中常見的輔助線的作法 常見輔助線的作法有以下幾種: 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”.遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”.遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式 是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理. 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換 中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某

2、條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5 AC=3貝沖線AD的取值范圍是.例2、如圖， ABC中, 與EF的大小.例3、如圖， ABC中,AE、F分別在AB AC上, DEI DF, D是中點(diǎn),/試比較 BE+CF B D ACBD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證：ABAEf應(yīng)用:1、( 09崇文二模)以 ABC的兩邊AB AC

3、為腰分別向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90,連接de, M N分別是BC DE的中點(diǎn).探究：AM與 DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1) 如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與 DE的位置關(guān)系是，線段AM與 DE的數(shù)量關(guān)系是；(2) 將圖中的等腰 Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0 BA,AD= CD,BD平分 ABC ,求證： A C 18005、如圖在 ABC中, ABAC, / 1 = / 2, P為 AD上點(diǎn)，求證；AB-AC PB-PC應(yīng)用:P，任意CQ分別在BC,A線。求BD=CE三、平移變換例1ABC的角平分線，直線MNL AD于A.E為MN上一點(diǎn)

4、， ABC周長記為PA , EBC周長記為PB.求證PB Pa.例2如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D、E,且求證：AB+ACAD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖,已知在 ABC中, / B=60OE=OD2、如圖， ABC中, AD平分/ BAC于E, DF丄AC于F., ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)0,求證:A(1)說明BE二CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE BE的長.應(yīng)用:1、如圖，0P是/ M0N的平分線，請你利用該圖形畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖，在厶ABC中, / ACB是直角，/

5、B=60, AD CE分別是/ BAC / BCA的平分線，AD CE相交于點(diǎn)F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖，在厶ABC中，如果/ ACB不是直角，而 中的其它條件不變，請問,D浬由。你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說M_五、旋轉(zhuǎn)0例1正方形ABC圖DP,E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為C D上一點(diǎn)，BE+DF=EF求/ EAFN圖A圖 C的度數(shù).(第23題圖)例2 D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點(diǎn),BC,CA于點(diǎn) E,F o當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時(shí)，求證DE=DF若AB=2求四邊形DECF的面積。例3如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形,BDC是ADD

6、ML DN,DM,DN分別交B ECBA等腰三角N形，且 BDC 1200，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交 AB于點(diǎn)M交AC 于點(diǎn)N,連接MN）貝V AMN的周長為；應(yīng)用：、已知四邊形 ABCD 中，AB AD , BC CD , AB BC，/ ABC 120o，/ MBN 60o, / MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD，DC （或它們的延長線）于 E，F(xiàn) .當(dāng)/ MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE CF時(shí)（如圖1），易證AE CF EF .當(dāng)/ MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否 成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量

7、關(guān)系？ 請寫出你的猜想，不需證明.2、（西城和9年一模）已知：PA=vWpB=4T以AB為一邊作正方形 ABCD使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)./（1）如圖，當(dāng)/ APB=45時(shí)，求AB及PD的長； 當(dāng)/ APB變也,且其它條件不變圖2,）求PD的最大嗇圖及相應(yīng)/ APB的大小.3、在等邊 ABC的兩邊AB AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M N, D為VABC外一點(diǎn)， 且 MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：當(dāng)M N分別在直線AB AC上移動時(shí), BM NC MN之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN的周長Q與等邊 ABC的周長L的關(guān)系.圖1圖2圖3（I）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M N邊AB AC上，且DM二DI時(shí)，BM NC MN之間的數(shù)量關(guān)系Q是；此時(shí)I;（II ）如