2014年考研數(shù)學(xué)一真題及詳細(xì)解答

1、2014 碩士研究生入學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)一、選擇題 1 8 小題每小題 4 分，共 32 分下列曲線有漸近線的是（ ）（A ） y x sin x （B） y x2 sin xC) y1x sinxD) y21x sinx2A ) (ad bc)22 2 2 2 D) a2d 2 b2c22設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)f(0)(1 x) f (1)x ，則在 0,1上( )（A）當(dāng)f'(x)0時(shí)， f (x)g(x)(B)當(dāng) f '(x)0時(shí)，f(x)g(x)（C）當(dāng)f(x)0時(shí)， f (x)g(x)（D）當(dāng) f （x）0時(shí)，f(x)g(x)3設(shè)f (x是連1續(xù)函數(shù)，則1ydy

2、 1 y2f (x,y)dy ( )1x10 1 x2（A）0 dx 0f (x,y)dydx10f (x, y)dy11 x100（B）dx001f(x, y)dydx11x2 f (x, y)dy1（C）02d0cos01sin f(rcos ,rsin )drd cos sin f (r cos 021,r sin)dr（D）2d0cos0sin f (r cos ,rsin )rdrcos sind f (r cos , 02r sin )dr4若函數(shù)(xa1 cosx b1sin x)2dxmin (x acosx a,b Rbsinx)2 dx ，則 a1cosx b1sin x（

3、A）2sinx（B）2cosx（C）2 sin x ( D ) 2cosx0ab05行列式a00b等于（）0cd0c00d2 2 2 2 2B) (ad bc)2(C) a2d2 b2c26設(shè) 1 , 2 , 3 是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)k,l ，向量 1 k 3 ，2 l 3線性無(wú)關(guān)是向量 1, 2, 3 線性無(wú)關(guān)的（ ）（ A ）必要而非充分條件7設(shè)事件 A，B 想到獨(dú)立，B）充分而非必要條件C）充分必要條件D）非充分非必要條件P(B) 0.5,P(A B) 0.3則 P(B A) ( )A)0.1(B) 0.2(C)0.3D)0.48設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X1,X 2相互獨(dú)立， 且方差均存在

4、，X1,X2的概率密度分別為 f1（x）, f2（x），隨機(jī)變量 Y1的概率密度為 fY1( y) 1( f1(y)(A) EY1 EY2,DY1 DY2(C) EY1 EY2,DY1 DY2f 2 ( y ) ，隨機(jī)變量 Y2 1(X1 X 2)，則( )2 2 1 2(B) EY1 EY2,DY1 DY2(D) EY1 EY2,DY1 DY2、填空題(本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 把答案填在題中橫線上)9曲面 z x 2(1 sin y) y2(1 sin x)在點(diǎn) (1,0,1) 處的切平面方程為10設(shè) f ( x)為周期為 4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且 f'(x)

5、 2(x 1),x 0,2 ，則 f (7) 11微分方程 xy' y(ln x ln y) 0 滿足 y(1) e3的解為12設(shè) L 是柱面 x2 y2 1和平面 y z 0 的交線，從 z軸正方向往負(fù)方向看是逆時(shí)針?lè)较?，則曲線積分zdx ydz13設(shè)二次型 f (x1,x2,x3) x12 x222ax1x3 4x2x3的負(fù)慣性指數(shù)是 1，則a 的取值范圍是14設(shè)總體 X的概率密度為 f (x,2x) 3 2 , x 2 ，其中 是未知參數(shù)， X1,X2, ,Xn 是來(lái)自總體 0, 其它的簡(jiǎn)單樣本，若n2C X i2 是 2 的無(wú)偏估計(jì)，則常數(shù) C = i1三、解答題15(本題滿分

6、10 分)1(t2(et 1) t)dt21x2 ln(1 )x16(本題滿分 10 分)x求極限 lim 1x設(shè)函數(shù) y f(x)由方程 y32xyx 2y 6 0 確定，求f (x) 的極值17(本題滿分 10 分)設(shè)函數(shù) f (u) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，2f (ex cosy) 滿足 2zx22z2 (4z ex cos y)e2 x 若 f(0) 0,f '(0) 0， y2求 f (u) 的表達(dá)式18(本題滿分 10 分)設(shè)曲面2 : z xy2(z 1) 的上側(cè)，計(jì)算曲面積分：33(x 1)3dydz (y 1)3dzdx (z 1)dxdy(1)證明 lim an n0；(

7、2)證明級(jí)數(shù)an 收斂n1 bn19(本題滿分 10 分)設(shè)數(shù)列 an, bn滿足 0an 2 ,0 bn 2 ， cosan a20(本題滿分11 分)1234設(shè) A 0111， E 為三階單位矩陣1203cosbn 且級(jí)數(shù) bn 收斂nn11) 求方程組 AX 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(2)求滿足ABE 的所有矩陣21(本題滿分11 分)111001證明n 階矩陣111和002 相似11100n22(本題滿分11 分)設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布為 P(X 1) P(X 2) 1，在給定 X i的條件下，隨機(jī)變量 Y 服從均勻分布2U(0,i),i 1,2 (1) 求Y 的分布函數(shù)；(2) 求期望

8、E(Y ).23(本題滿分 11 分)x2設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為 F(x, ) 1 e ,x 0，其中 為未知的大于零的參數(shù)， X1,X2, , Xn是來(lái)自0, x 0總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，1)求 E(X),E(X 2)；(2)求 的極大似然估計(jì)量3)是否存在常數(shù) a ，使得對(duì)任意的0，都有 lim P nn02013年考研數(shù)學(xué)一分析 【詳解】對(duì)于 y 應(yīng)該選( C)x sin x1，可知 lxim xy 1且lxim ( y x)1lim sin 0 ，所以有斜漸近線 y xxx2【詳解 1】如果對(duì)曲線在區(qū)間 a, b上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷如果對(duì)區(qū)間上任意兩點(diǎn) x1, x

9、2及常數(shù) 01，恒有 f (1 )x1 x2 (1 ) f (x1) f (x2) ，則曲線是凸的顯然此題中x1 0,x2 1, x，則(1 )f(x1) f(x2) f(0)(1 x) f(1)x g(x)， f (1 )x1 x2 f(x)， 故當(dāng) f (x) 0時(shí)，曲線是凸的， 即 f (1 )x1 x2 (1 )f(x1) f(x2)，也就是 f (x) g( x) ，應(yīng)該選(C) 【詳解 2】如果對(duì)曲線在區(qū)間 a,b 上凹凸的定義不熟悉的話，可令F(x) f(x) g(x) f(x) f(0)(1 x) f (1)x ，則 F(0) F(1) 0，且 F"(x) f&quo

10、t;(x)，故當(dāng)f (x) 0時(shí)，曲線是凸的，從而 F(x) F(0) F(1) 0，即F(x) f(x) g(x) 0，也就是 f (x) g(x)， 應(yīng)該選( C) 3【詳解】積分區(qū)域如圖所示。如果換成直角坐標(biāo)則應(yīng)該是：0 1 x 21 1 x1dx 0f ( x, y)dy 0 dx 0 f ( x, y)dy ，(A)，( B)兩個(gè)選擇項(xiàng)都不正確；如果換成極坐標(biāo)則為：02d1cos sin f ( r cos ,r sin )rdr1d cos sin f(rcos ,rsin )rdr 應(yīng)選(D) 204【詳解】注意x2dx3，2 cosxdxsin 2 xdxx cos xdxco

11、s x sin xdx0，x sin xdx 2，所以(xa cosxb sin x )2 dx 232(a22b2 ) 4 b所以就相當(dāng)于求函數(shù)b2 4b 的極小值點(diǎn)，顯然可知當(dāng)0,b2 時(shí)取得最小值，所以應(yīng)該選(A)0ab0aa00ba00cd0cc00d5【詳解】0ba0bd0b0c00dc0dad a b cdbc a bcdad( ad bc) bc(ad bc)2(ad bc) 2應(yīng)該選( B )106【詳解】若向量 1, 2, 3線性無(wú)關(guān)， 則( 1 k 3， 2 l 3) ( 1, 2, 3) 0 1 kl( 1, 2, 3 )K ，對(duì)任意 的常數(shù) k,l ，矩陣 K 的秩都等

12、 于 2，所以向量2 l 3 一定線性無(wú)關(guān) 而當(dāng)1001 0 ,2 1 ,30 時(shí)，對(duì)任意的常數(shù) k ,l，向量 1 k 3 ， 2l 3線性無(wú)關(guān)，但 1, 2, 3 線性000相關(guān)；故選擇( A )7【詳解】P(AB)0.3P(A) P( AB )P( A) P(A)P(B)P(A) 0.5P(A) 0.5P(A) 所以 P( A)0.6，P( B A)P(B) P( AB)0.5 0.5P( A) 0.2故選擇( B )8【詳解】EY112y( f1( y)1 f2( y)dy 2 EX1 EX 2 E (Y2 )，21212 1 2EY122y ( f1(y) f2(y)dy 2EX1

13、2EX 2 ，DY1 E(Y12 ) E2(Y1)1 EX 12211 EX 222212E2(X1)41E241(X 2) 2E(X1)E(X 2)1112 1 1D(X1)41D( X4) E X41 X 22D(X1)D(X2 ) DY244故應(yīng)該選擇( D)9【詳解】曲面 zx 2 (1sin y )y2(1sin x) 在點(diǎn) (1,0,1) 處的法向量為zx , zy , 1 |(1,0,1) ( 2, 1, 1) ，所以切平面方程為2(x 1) ( 1)( y 0)( 1)( z 1) 0，即 2 x yz 1 010【詳解】 當(dāng) x0,2 時(shí)， f ( x)2(x1)dx x2

14、2x C，由 f(0)0可知 C 0 ，即 f ( x)x2 2x ；f ( x )為周期為 4奇函數(shù)，故 f (7)f ( 1) f (1) 1 11【詳解】方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 dydxy ln y ，這是xx個(gè)齊次型方程，設(shè)u y ，得到通解為 y xCx 1xe ，將初始條件y(1) e3 代入可得特解為2 x 1 y xedydzdzdxdxdy12【詳解】由斯托克斯公式LPdxQdy Rdz可知zdx ydz dydz dzdxdxdydxdyD xy其中yz022xy取上側(cè)，D xy(x,y)|x2y2 1 13【詳解】由配方法可知f (x1, x2, x3)2 x1 (x1x22

15、2ax1x 3 ax3) 2 ( x24x2x32x3)2(422a2)x32由于負(fù)慣性指數(shù)為 1，故必須要求 4 a20，所以 a 的取值范圍是2,2 5x222X nCECn 52 2，由于nCX i2i12是 2 的無(wú)偏估計(jì)，故2C15nC15【分析】先用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限 【詳解】x 2 t1x 2 11 (t 2(et 1) t )dt 1 (t 2(et 1) t)dt 2 1xlim lim 1lim (x2(ex 1) x)x 2 1 x xx2 ln(1) x解：在方程兩邊同時(shí)對(duì)x 求導(dǎo)一次，得到(3y22xy即 dyy 2 2xy ，令

16、dy0 及 y32xy x2ydx 3 y2 2 xy x2dx在()式兩邊同時(shí)對(duì)x 求導(dǎo)一次，得到(6yy'4ylxim x2(x1 21x2 o(x12 ) x 12x x 2 x x 2 16【詳解】22x2)y' ( y2 2xy) 0， () 6 0 ，得到函數(shù)唯一駐點(diǎn) x 1, y 2222xy' 4x)y' (3y2 2xy x2)y" 2 y 04把x 1,y 2,y'(1) 0代入，得到 y"(1) 0 ，所以函數(shù) y f (x)在x 1處取得極小值 y 2 91u 故非齊次方程通解為4始條件 f (0) 0, f

17、' (0)18【詳解】0代入，可得C11 , C2161 所以 f(u)的表達(dá)式為 f(u) 1e2u 1 e 2u16 16 161u417【詳解】設(shè)uxe cos y ，則 z f (u) f (ex cos y) ，zf '(u)ex cosy2,z2 f " (u)e2xcos2 y f '(u)excos y;zx f '(u)e x2z sin y , 2 f2x 2 " (u )e sin yxf '(u)e cos yxxyy2222z2z f "2(u)e2x f " (ex cos y)e2x

18、，由條件 z2z2(4zx 2 x e cos y) e ，可知 f " (u)4 f ( u) uxyxy這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：f (u ) C1e 2uC2e 2u 其中C1,C 2 為任意常數(shù) 對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為 yf(u) C1e2u C2e 2u 14u將初z1設(shè) 1 : z 1 取下側(cè)，記由 , 1 所圍立體為 ，則高斯公式可得 1 2 2x y 133( x 1) dydz ( y 1) dzdx ( z11)dxdy22(3( x 1)2 3( y 1)2 1)dxdydz22(3 x 3y 7 6 x 6 y)dxdydz2

19、2(3x2 3y 2 7)dxdydz2 1 1 20 d 0 rdr r 2 (3r 2 7)dz 4在 1 :z2 1 2 取下側(cè)上， (x 1)3 dydz3( y 1)3 dzdx (z 1)dxdy(11)dxdy 0 ，x 2 y 2 1 11所以33( x 1)3 dydz ( y 1)3 dzdx (z 1) dxdy =( x 1)3 dydz (y 1) 3 dzdx(z1)dxdy 4119【詳解】1)證明：由 cosan an cosbn ，及 0 an2 ,0 b2 可得 0 a ncos a n cosbn所以 0 an bn，由于級(jí)數(shù) bn 收斂，所以級(jí)數(shù)2 n

20、1也收斂，由收斂的必要條件可得lim an 0 n2)證明：由于 0 an2,0 bn 2，所以 sinan 2bnan bn2sin bn anbn an2an 收斂 n 1 bna n bnbn anancosan cosbn2sin 2 sin 2bnbnbnan bn bn a n2 2 2 22 2bn anbnbnbn2bn2bn2由于級(jí)數(shù) bn 收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可知級(jí)數(shù) n120【詳解】( 1)對(duì)系數(shù)矩陣 A 進(jìn)行初等行變換如下：1 2 34123412341001A 0 1 1101110111010 2 ，1 2 03043100130013得到方程組 AX0 同

21、解方程組x1x4得到AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系12x22x4x33x4131x1y1z1顯然 B 矩陣是一個(gè)43矩陣，設(shè)Bx2y2z2x3y3z3x4y4z4對(duì)矩陣 ( AE ) 進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下：1 2 3 4 1 001234100(AE ) 0 1 1 1 0 1001110101 2 0 3 0 0104311011 2 3 4 1 0010012610 1 1 1 0 1001021310 0 1 3 1 410013141x121y161z111由方程組可得矩陣 B 對(duì)應(yīng)的三列分別為x212y232，z212，c1c2c3x3113y343z313x401y401z4012 c16

22、c21c3即滿足 AB E 的所有矩陣為B1 2c132c21 2c3，其中c1,c2 ,c3 為任意常數(shù)1 3c143c21 3c 3c1c2c311100121【詳解】證明：設(shè) A111，B00211100n分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下：111111，所以 A 的 n個(gè)特征值為 1n,23n0；EAn1( n) n 111101而且 A 是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以一定可以對(duì)角化且0；02n1A 0 E B( n )000n所以 B 的 n 個(gè)特征值也為1 n,23n 0 ；對(duì)于 n 1重特征值0 ，由于矩陣(0E B )B的秩顯然為 1，所以矩陣 B 對(duì)應(yīng) n 1重特征值0 的特征向量應(yīng)該有 n 1個(gè)線性無(wú)關(guān)，進(jìn)一步矩陣 B0存