23個經(jīng)典的數(shù)列專題

1、23個經(jīng)典的數(shù)列專題23個奠型的數(shù)列專題解曹R篩差數(shù)列冷中，前三項依次為由需差數(shù)列中項公式獰：2.A=I6兀 A1公差為：I則數(shù)列通項為：(Ilr = a + (/ - I)J = +由尊差it列公式就可以堆解首項為：q忑十 6 ,9X求： =I ÷-9則:X =2.÷/=1-15 ； 15 I=:X621212刃一112 "/»+312 *5flIOS川 + 3105+3"12-s 129.2.前IOO個自然效(1到100>中.除以7余2的所有數(shù)之和S是？ 解：這些數(shù)構(gòu)成的裁列為：=7(1-l)+2 = 7-5;(1+I5)×

2、15 j在i00之內(nèi)，n的量大數(shù)ID為：IOo= 7加一5, W /;/ = 15；-5x15 = 765這些數(shù)之和S為;S=f(7"-5) = 7A-II余數(shù)聶常撒的問歳要特化為#基裁列問L3、在等差裁列宓中"前n項和為$”若dl>0, >0t Sl7<0,則5；最大時,*?等差數(shù)列通項為：6=5+(1)，求和公式為=乞=也+巴則：.V16 = 16«I +- f/ >0 t 即：6i -h d > 0 , 61 ÷7t >0,即：> 0 M4ta» = 17 嚴竺色v0, ff: w1+8r<

3、Of ¢: /u <0.故-授大時，«=8通項公式和求和公式都更很熱啊4.數(shù)列他J的通項公式G =若它的前D項和為5w=9t求：心解：通項:則：S=f(T-)=后T-Ii = 9.于；Jh >/ = 99 1*!阻當壬裂項法23個典¾t的我列寺Ii5.羊差毀列他其公差不為（K其中.&依次構(gòu)成等比數(shù)列，求公比“二？#：毎差數(shù)列通項：（In r1+<M-l）c/ > 則:ara2di a6 =2÷4<t構(gòu)成等比數(shù)列，則：«； = «2«6 »即：（+"F二心+%/）；即:

4、a； +2tf2t+J2 = ai +4aicK 因為 d 0 9 故：d = 2a2;所以：廠魚二心LKi = 3«25 a2由比例中項直接列式.導出/與的關(guān)系.6.已知等差數(shù)列“的前n項和二，且61=lf 5ll=33.設亠求邁；鄧是尊比數(shù)列，并求其前D項和：證明：通項：an =cl ÷（ - IW ,求和公式：Sn二"° +叢：）（1 ;于是；“” =I十右("一X1IS躺 =(i)<i故也是首項為吩卜公比為氣用232/1 + 32ST *32M： 5.l=ll + -J=33> 即：Il十55 = 33* 故：J=-1125

5、7、rx IV ,且兩個It列：9al9a9y和兒你山少$均為等差數(shù)列求* =? y仇設兩個等差數(shù)列的公差分別為：4和d-故:8.已知正項數(shù)列S訃的前口項和晟滿足:105ft=tr + ÷6w且吩 S 知成等比數(shù)列.求數(shù)列&的通項q?M：由巳知：105“嚴監(jiān)十5g+6105M =Cr +5 +6FfZS"J由-：IOq. =(£. -“：)十5(S -4)移項合并；(心一疋)一5(“2十叩=0,即；(5J十-$)=0由于正項嫩列(畑4叫)>0,所以:«5=0 ,即? l-«,=5；由此得到q是公差為5的等差數(shù)列.設：IlK =f1

6、 +5(>- 1) * 則：a3 =1 ÷IO 9 z5 =zl + 70 J由山、成等比數(shù)列得2肩=竹即2 (rt1 ÷1 =l( ÷70)sVfI o ÷201 ÷lOO= tfl2 +7OaI,故z al =2.所以9 «, = 2+ 5(/J-I)= 5n-3本Je由等式條件得出公<5t由等比條件確定首項.9、巳知數(shù)列帆的前n項和以=g"G+l)(x2),試求數(shù)列+的前n項和匚=?III1M:由 巳知：Sn =-( +1)(+2)= -n(n +1)(2M + 4)=-WOf + 1)(2 +1)

7、7;-jj(m+ 1) 3662及 F =-() + i2+ 1)和：二一戸(” + 1)4«!6IBl 2得到上面求和公式可分成兩部分，一個求和，一個= H求和.故：<7m = /?: ÷> =w(j + l). 那么： 一= =(In (刃十 1) H Jl +1所以，23個典¾的我列要熱悉一壟葺本的求和公式還有製項求和方法Hk巳知數(shù)列 的前n項和為SJ其首項«| = 1»且滿足35 =(n+2)lt,求通項G=?解：由巳知：3S =(j + 2)ip 33M =(卄 1)%由一：3«ZI (/÷2)tfff

8、 -(J÷I.i : 移項合并£ OI-I) = (M+l)wfl.l, BPs4由業(yè)遞推得:nn ÷ 1)?將遛推進行到Jl11、如果數(shù)列中，相鄰兩項“”和“”是二次方程X： +3zttw +fw=0 (-1,2,3 ) W兩個根，當q = 2時，試求CIm = ?*由韋達定理：厲+%»3“41 = 由式可得：( +陥2)-(© + %)=-3即：粘廠毎二-3式表明:lj<、,C和么&、.a*郝長公差為-3的等差彖列又因<1 = 2,代入式可#： <i=-5,于是得到誓差數(shù)列為：2<- =l 十伙-IX-3)

9、= 23R 十 3 = 53& ；a2i = «2 + 伙一 1 X3) = _5-3R + 3 = 2-3R ,那么：= 2 3x50 = 152 f /缶=53*51 = 148代入式得：Cloo= aloo ll=(-152)× (-148) = 22496本JI由韋達定理得出帆)為蒔差數(shù)列，算岀首項得刮耳，再計算出I；12、有兩個無窮的華出數(shù)列和他 其公比的絕對值梆小于E*項和分別是Sn = £rtx = I和7；=工 =2.對一切自然毀都有；r>,求這兩個數(shù)列的首項和公 l>tAl比.#：由 = -=I和丁=丄=2得:a-cif =

10、2(l-r)數(shù)列的首項 qI-r設這兩個等比軟列的通項公式分別為；af = dlqni =(-(f)qnl = rn-'=2(1-f)rw-'將兩式代入<=>并采用欺值法，分別令和/» = 2得：ol2=,* 即:(i-<)2 =2(l-r)Cd = b2 9 即:(IC/)2</2 2(1-r)r由得；r=q2將式代入式得；(l-g)2 = 2(l-b)因為：I 則上式化簡為：l-q = 2(l+q),即=</ = -j將q£ 代入式ft：這是這兩個歎列的公比.39將cf = 和廠=；分別代入式和式得土39=(I-</x

11、,=-4(-=(T廠存f2(l-門嚴X8 - 9X2_fL1-9 Zr <»本題釆用H值法求13、巳知數(shù)列M,的前Il項和為$”，心當心2時，滿足;心十2,衛(wèi).嚴0；求證;數(shù)列+為等差數(shù)列；并求;S鳥的通項公式S” =2由""ft ' * ' -1 二O得：Sn -Sn_t +2S15l 0 , Bh -Jj-+2 = , 亠 、則；H=2, 1 = 1=2. 上式表明： + 是一水首項為2,公差為2的等差數(shù)列.S = $” -九= 2i?_2(/r-I) = 2n(n-)故2你=、+ S=I)12（門一1）(U 2)注嵐求和化通項的方法.1

12、4、巳知等出教列 J首項,=l,且滿足：2,o53o-（2,o+1）52o÷o=0.<1）求叮的塩項；（2）求心的前n項和7；I z,30_川1 _ Z-IOM：將SjO =厲嚴、S=. 0 = -入上面尊式得:一ql_ql_q2"( 1 -嚴)-(2“ ÷ 1)(1) ÷(l-°) O化簡得T 2,o(l÷rf,o + ez2o)H2,+ii + tt) + l = OVX 2w(l+0)+2l°2lo(l+°)-(l + o) + i = 0ft*: 2,020- = o,即=f=±則 T CI

13、W = (IICri =-=（T廠訃注奪求和化St頊的方法.第14 JS第（2）問解客;I （2）A.對于華比數(shù)頁h M =±,其求和公式為S二;一 =1-丄 » 2円刃2_丄2n2fiitIn/JfLA故；7； = kS. = A(l-)= k- Y n k K = I2A A=I=7 ,A呼2 X I I z十三十(D心3丿2扌D"幕M吩點卜兮茅芥吩 由-得,D I i2 L 32、 “43、 r Ii -L Ii& = I十(亍-亍)十(尹-評十(喬_亍)十十(喬LKL齊 =I4÷4+¼-A-2 22 23 0 2= IZXI 1

14、 21 川_ r 2十 2甩* 2詢2斤嫁合1和2得：7 = Jt- £91 k = 1/n(+1) r 2 +;/.tlm=-+2-2n(2)B.對于等比數(shù)列： = Hr ±I 1-(-利J1I其求和公式為：S = ;= ji-(-yl 1=一5JJ 2 十丄)32"3 3 2刃2”詁叫咗"3撲右H注嚴G)I M2> frt=- C-D3k =1f_ 1TlSU231 2,22÷ ÷(-1)"丨I 23.2 222'+-+c",rF由+得: = J-I÷(7-i)-4 a re-+L.+.

15、,+(-I)-Jzr+L(-)-.I (-r-+-r =-l.-IlLj+l.(-r A3 _(_ 3 2a 9 2j 3 21 2tR；UlVrrZ故：=-I-HH)MP2"M L I IlTAt匕話諸呼H哼葉呻15.若等差數(shù)列og2flJ的第皿項等于k,第k項等于id(其中 D 求數(shù)列Ur的前 m+c項的和。解；鏗差數(shù)列通項為S Iog2»=1唱旳WJ)d ；則:Iog2 4 = A=S JO$2 AI + 仙一 1 )Iog2 JCt = /m = Iog2 ArI + 仗一l)d由兩式相械得：k-m(n-k)d 9故2 J=-L首項為 ! Iog2 .tl n+Jt

16、 -19Jlog2 .V1 ；通項為! Iog2 Aza =In + A - 1 -(/I-D = J/»+ -/1 則k的通項為：n=2-rtI-A前“仆項求和»腫2"冷,一=2-2 1-丄2求公差和求甘項是求通項的關(guān)餐.16、如果數(shù)列心中,<j = .也專心十G)，求通項l,=>解；整式蠱推娥列用待定系數(shù)法.比獲得M 4=-3與伽=*” +仆雖Wf則:“呂*($嶺Gy.鮎 ½=½÷令：入嚴怙-3(+嚴，則=hn = «-3(|r, /1 = -3.(1)' = j-=-1 于是：-=IF陽是首項為勺&

17、quot;二 公比為v=的等比數(shù)列；毎 333其通項為：化=(_|).(=諄故s atl的通項為I 73=+3(r=-+17.設數(shù)列m=4.且當心2時滿足： = 31+21-ll求通項色 «:臺式遞淮毀列用待定系撒法.令：(In + ZlI +C= (In + (JJ -1) + c,則 (In =+ 3Zr-3i + 3c n-C = -l + 2xj -3Z + ZC與 an = Xt-I + 2-l 比較得：= 1 , c=l令：bn =am± j + ccn + Ji 9 J0:=cH K=耳十1十 1 = 6故:是首項為bl = b9公比為3曲等比數(shù)列.于是：q

18、=血幵1 = 23"川1待定系裁法是如何構(gòu)堆誓比歎列的|?18、設數(shù)列 m «1=1, 6=2 V 且満足.%2=%l-2叫,(JiENi)t 求通項=?«:本題長二階逼推敗列，且看如何鮮：待定系數(shù)法：令：J -九Z=眥J -汕Ir)貝S ="小一刃叫 ÷.l=U÷)-¼與 = -Iiin 比較系數(shù)zz = "j若將2看成是一元二次方程的兩個根，則又韋達定理得到這個方程為:3a + 2=Oi而這正是采用待征根法的婷征方程上述方程的解為？ Z=IZ = 2,或：z = 2.=,這兩組鮮推出的數(shù)列通項的結(jié)果 A lIe

19、rrIM«：Xft是一樣的-取亢= 22 =丨令：" = JH 則=t h= I則J是首項為 公比為2的等比數(shù)列.其通項為：t=q嚴=2» 故；”=町=2叫 Vi 52-再用待定系數(shù)法，:+r2 = p(rt+r.)則：；%嚴 PCln + pf 2 一2廠 2" = Pael +(2pr-4r)2rt,SIh q-2i=1=0故=5=2-1現(xiàn)在用特征根法求鮮！特征方程；-T-3x + 2=0 I其兩個根為J = l, X2 =2代入特征根法的二異根解得：4cp; =el +v2 2用q = l.件=2代入上式以確定%則:z1 = 1 = Cl -i-e

20、z 2 , m = 2 Ci + c, 2;,解得：件=£，e - 對于二階遇推數(shù)列.采用特征根法比較簡梏19、巳如正項數(shù)列血, alt且滿足：I= 4-¾）,求通項匕M解；J=如（4-心）=-占（4-2f + 2, Mx J -2 =-扣“-2尸令；¼f.=%-2.則：=<<-2, 1=-2 = -1» =S代入上式fl; + = -于是；=-yv=-(4>-=(<i >n= + 2 = 2-2jlj這是遞推數(shù)列的堆推法. I另：也可取對數(shù)再微I20、E知教列y中* 1 = 2 ,且満足：匕.嚴e Af*),求通項* 將“

21、+L 尹V 化簡為：d,÷61-+l = 4a +6用不動點法解不動點方程；、=蘭二L；4.v+6即：A-X2 + 4.v +1 = 0 ,方程的孤為二重根：曲=.七=-；那么，二重抿的不動點解為：=C"為待定帯數(shù)% f %-®通分牝簡得2 S-屯)-(m) c (G-E)(S-J):即:4(%qr“ 十(2(?十 4). +( 2c-4 )q 十 C=O將式與式對比得；C=L令：>l=- = L-T，則：=-=-j-r ¾ = -½-=l ,心.十牙""屯創(chuàng)十代入式船u-=l即i (j是一個首項為|、公差為1的等差數(shù)

22、列.故: = +qj-)=.q j I BnIl 5110-5+313-5 刃TV A : I) =t KH : U =n n bn 2 5一3 2I Ow-610-6I不動點法根為二晝根時可梅造等差數(shù)列解之L2映裁列心中"5且満足"害 求通項心*F將= -T化簡為：n + J-仇十2=0用不動點法解不動點方程：I =;卄IWj .v23÷2=O f 方程的根為二異根! Xl =It A = 2 ：設二異根鮮式満足化筒：(1 一刃"舁”1 +(-2)rrtl +(24-1)4 +2(1 - 2)=0 fz-22-I比較兩式険.=(代入式, = 于是：血I

23、是首項為外=2、公比為 = 的等比數(shù)列,21? -I 23"T-2"V 尿_一-2心不動點法根為二異根時可*比數(shù)列求之 叭吸裁列心中，心，且滿忌"警.求通項"?M：將 J化St為 1 Ual-2an-30 用不動慮法解不動點方程：戈=4：即：.c-2-3 = 0,方程的二異根為：X1=-, A2 =3設二異根解式満足二3+1qz+3匸1一2比較兩式得：z = -3代入式得：.l = 一近于*; 是首項為=3公比后-3的導比費列故3(-3)i 二(Try叮3:2川了5 嚴十曰廠"- (-1)-,3-1 n 3-(-,臥S中且滿耳"冊V

24、F求叫?1m吧中的數(shù)列鳶設數(shù)列qj中的每一項都不為OF證明IqJ為等差數(shù)列的充要條件是對任何 n N* V p S ?I5 !-.幻 a2a3 anal 56+1證明：若0為誓差數(shù)列，則設：%=1+(n-l)dSd =O 時，有t =Cl2 ="="”+'于是111 n+=成立.aia2勺5勺由5勺閘當 d0 Bh_1_= 1 伽 F 致4+1 d 你4+1于長1 <,÷-t1 _ 1 nd _ H S J 亠 J _ _d 嘰,"CiAan 叩卄故.充分條件成立若+=,則當al=a1=.=cIfH時.滿足上式.aIa 2 勺56+1 56

25、+1-此是公差為O的等差數(shù)列.111H舟+ +=- 一當（仆心,衛(wèi)I互不相等時.設aa2 G2®5%1 Q 冋十】dr=a頁+-(ip. IW上式麥為21t1IHX = k = Iakak÷ R = IIdk akak/1:=1ak 族 + 1巾 =X 4卄|-®=門1dk 叩訕 Xdk Q A=IA=In 1±d宀' A=Iit = I Cik ak ak + 丿Hlwldk=1ZX1n11P 1、1_1_4( n1% IdkVA-=I 丿衛(wèi) 2 d ) . . IQqk/對于任何FIWNk成立.J1:丄=O°卄1丄丄0,丄丄O232

26、1dInH<4A=I亠-丄=0«A工 dji Z 心1于是；£=么=心=A也二件H即：afl為等差數(shù)列，故必要條件成立.:對任一正整數(shù)d,報存在正基數(shù)仗C (b<c)9使得a2,b29c2差數(shù)列 證明：設：h=ma F C-JUi f W衛(wèi)GNr則t 由ab2,c2列得：2fr=a2+c2t 即：2m2=n1-v由式得:2÷ 1為偶數(shù)，則"為奇數(shù).: n=2k-t (N+)代入式得：2?2 = (2k-l)2十1 二4&24&十2BPt m2 = 2k2 -2k + 由式得；m為奇數(shù)，設；m=2-l, (JWN十)代入式得：(

27、2J-l)2 = 22-2 + l, si?： 42-4j+l=2F-2t÷l孤 27(7-1)=Jfc-I)由式，得到4種情況Z1>都是偎數(shù)；> (J-I) = (R-I), 2j=k、M1Jj = Ar=O.2> j,k棉是奇數(shù)；此時，j=k, 2(-l)=-L Hj=k=.3> J為奇數(shù)，R為偶數(shù)$此時r J=Zc-1, 2(j-) = k,Wh J=R-I=2(/-1)一1=2丿一3, t? /=3, k=4,于是：加=2J-I=23-l = 5, n=2R1 二2x41 = 7 則；h=nu = 5a9 C-YUI-Ia4> j為僵數(shù),R為奇數(shù)：此時.J-I