(完整word)高數(shù)教案第十章重積分

1、高等數(shù)學(xué)教案章節(jié)題目第十章 重積分§10-1 二重積分的概念及性質(zhì)課型理論課教學(xué)目的理解二重積分的概念，了解二重積分性質(zhì)。重點二重積分的概念，性質(zhì)難點如何運用二重積分的性質(zhì)去解決問題參考書目同上教具教學(xué)后記教 學(xué) 過 程（一）、復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容（二）、講授§10-1 二重積分的概念及性質(zhì) 一、二重積分的概念（一）引例1. 曲頂柱體的體積2. 平面薄片的質(zhì)量（二）二重積分的定義 1定義：2. 幾個事實二、二重積分的性質(zhì) 三、二重積分的幾何意義（三）、 本次課內(nèi)容小結(jié)（四）、布置作業(yè)第十章 重積分§ 10-1 二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念(一)引例1. 曲頂柱體

2、的體積設(shè)有一空間立體 ,它的底是 xoy面上的有界區(qū)域 D ,它的側(cè)面是以 D 的邊界曲線為 準(zhǔn)線,而母線平行于 z軸的柱面 ,它的頂是曲面 z f(x.y) 。當(dāng)(x,y) D時, f(x,y)在 D上連續(xù)且 f(x,y) 0 ,以后稱這種立體為曲頂柱體。曲頂柱體的體積 V 可以這樣來計算 :(1) 用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域 D 分成 n 個小區(qū)域 1， 2 ，L ， n ，以這些小區(qū)域的 邊界曲線為準(zhǔn)線 , 作母線平行于 z軸的柱面 ,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成 n個小曲頂柱體1，2，L ， n 。假設(shè) i所對應(yīng)的小曲頂柱體為 i,這里 i既代表第 i個小區(qū)域 ,又表示它的面積值i 既代

3、表第 i 個小曲頂柱體 , 又代表它的體積值。 )n從而 Vi1圖 10-1-1( 將 化整為零 )(2) 由于 f (x, y)連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說 ,函數(shù)值的變化不大。因此 ,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體 , 于是i f( i i) i ( ( i i) i )( 以不變之高代替變高 , 求 i 的近似值 )(3) 整個曲頂柱體的體積近似值為 nV f ( )i 1 i i i(4) 為得到 V的精確值 ,只需讓這 n個小區(qū)域越來越小 , 即讓每個小區(qū)域向某點收縮。為此 我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念 :一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小 ,

4、 意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設(shè) n 個小區(qū)域直徑中的最大者為 , 則nVlim f ( i ,i)0 i 1 ii2. 平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有xoy面上的區(qū)域 D , 它在 x,y 處的面密度為x,y , 這里x,y 0 , 而且x,y 在D上連續(xù),現(xiàn)計算該平面薄片的質(zhì)量 M 。圖 10-1-2將D分成 n個小區(qū)域1，2，L ，n，用 i記 i的直徑 , i既代表第 i個小區(qū)域又代表它的面積。max i 很小時 , 由于1 i nx,y 連續(xù) , 每小片區(qū)域的質(zhì)量可近似地看作是均勻 的, 那么第 i 小塊區(qū)域的近似質(zhì)量可取為( i , i ) i ( i , i )i1nM lim

5、( i , i ) i0i 1 i i i 兩種實際意義完全不同的問題 , 最終都歸結(jié)同一形式的極限問題。 因此 , 有必要撇開這 類極限問題的實際背景 , 給出一個更廣泛、更抽象的數(shù)學(xué)概念 , 即二重積分。(二) 二重積分的定義1定義：設(shè) f x,y 是閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù) , 將區(qū)域 D 分成個小區(qū)域1 2 n ,其中 , i 既表示第 i 個小區(qū)域 , 也表示它的面積 , i 表示它的直徑。1miaxn i( i , i)作乘積f( i, i) i(i1,2L ,n)作和式nf( i, i)i1i若極限nlim f i , 0i 1 iii 存在 , 則稱此極限值為函數(shù)f x,y 在

6、區(qū)域 D 上的二重積分記作f x,y d 。D即f x,y dlim0nf,i i iD i 1其中 : f x, y 稱之為被積函數(shù) , f x, y d 稱之為被積表達式 , d 稱之為面積元素 nx,y 稱之為積分變量 , D 稱之為積分區(qū)域 , f i , i i 稱之為積分和式。i12 幾個事實(1) 二重積分的存在定理若 f x,y 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , 則 f x,y 在 D 上的二重積分存在。聲明 : 在以后的討論中 ,我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在。(2) f x,y d 中的面積元素 d 象征著積分和式中的 i 。D由于二重積分的定義中對區(qū)域 D 的劃分是任意的 ,

7、 若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域 D, 那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形 , 因此,可以將 d 記作 dxdy ( 并稱 dxdy 為直角坐標(biāo)系下的面積元素 ), 二重積分也可表示成為f x, y dxdy 。D(3) 若 f x, y 0 , 二重積分表示以 f x, y 為曲頂 , 以 D 為底的曲頂柱體的體積。重積分的性質(zhì)重積分與定積分有相類似的性質(zhì)1.線性性 f (x, y) g(x, y)df (x, y)dDg(x, y)dD其中:是常數(shù)。2. 對區(qū)域的可加性若區(qū)域 D 分為兩個部分區(qū)域 D1,D2, 則f(x,y)dDf (x, y)df (x

8、, y)dD1D23. 若在 D 上, f x, y 1, 為區(qū)域 D 的面積 , 則1dD幾何意義 : 高為 1 的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。4. 若在 D 上 , f x, yx,y , 則有不等式f (x,y)dD(x,y)dD特別地 ,由于 f x,y f x,y f x, y ，有f (x,y)dDf(x,y)dD5. 估值不等式設(shè)M 與 m分別是 f x, y 在閉區(qū)域 D上最大值和最小值 , 是 M 的面積 , 則m f (x,y)d MD6. 二重積分的中值定理設(shè)函數(shù) f x,y 在閉區(qū)域 D上連續(xù), 是D的面積,則在 D上至少存在一點 , ,使 得f (x,y)

9、d f ( , )D7 、對稱性(偶倍奇零)設(shè)函數(shù) f x,y 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , D 關(guān)于 x 軸對稱 , D 位于 x 軸上方的部分為D1 , 在 D 上(1)f(x, y) f(x,y),則 Df(x,y)d 2 D f (x, y)d(2) f(x, y) f(x,y),則 D f(x,y)d 0 當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱 , 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時 , 仍有類似結(jié)果 . 例 1 比較下列各對二重積分的大小(1) (x y)2d 與 (x y)3d ，其中 D :(x 2)2 (y 1)2 2。 DD(2) ln(x y)d 與 ln(x y)2d ，其中 D 是三角形區(qū)域，

10、三頂點分別為 DD(1,0),(1,1),(2,0) 。例 2 判斷積分 3 1x2 y2dxdy的正負號. 負x2 y2 4例3估計下列積分之值dxdyD:xy 10 1.96 I2ID22100 cos x cos y重積分的幾何意義1若 f (x,y) 0 ， f(x,y)d 表示曲頂柱體的體積D2若 f (x,y) 0 ， f(x,y)d 表示曲頂柱體的體積的負值 D3 f (x,y)d 表示曲頂柱體的體積的代數(shù)和D16 3 例 4. 求兩個底圓半徑為 R 的直角圓柱面所圍的體積 .R33小結(jié)： 二重積分的定義(和式的極限)；二重積分的幾何意義 (曲頂柱體的體積)； 二重積分的性質(zhì)。作

11、業(yè)：習(xí)題 10-1( P136)基礎(chǔ)題： 4(1) ;5(1)高等數(shù)學(xué)教案章節(jié)題目第十章 重積分§10-2 二重積分的計算法（一）課型理論課教學(xué)目的深刻理解二重積分的計算方法和基本技巧重點熟練掌握二重積分計算難點對積分區(qū)域的劃分參考書目同上教具教學(xué)后記本節(jié)內(nèi)容掌握的不夠理想。教 學(xué) 過 程（一）、復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容（二）講授§ 10-2 二重積分的計算法 一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分 1、 x -型區(qū)域， y -型區(qū)域。2、二重積分化二次積分時應(yīng)注意的問題 3求體積4更換積分次序（四）、 本次課內(nèi)容小結(jié) （五）、 布置作業(yè)§10-2 二重積分的計算法利用二重積分的定義來

12、計算二重積分顯然是不實際的, 二重積分的計算是通過兩個定積分的計算 ( 即二次積分 ) 來實現(xiàn)的。一、 利用直角坐標(biāo)計算二重積分、 x -型區(qū)域， y -型區(qū)域我們用幾何觀點來討論二重積分 f x,y d 的計算問題。D討論中 , 我們假定 f x,y 0 ；假定積分區(qū)域 D 可用不等式 a x b1(x) y2(x)表示 ,其中1據(jù)為頂?shù)那斨w的體積。圖 10-2-3D 為底 , 以曲面 z f x,y在區(qū)間 a,b 上任意取定一個點 x0 , 作平行于 yoz面的平面 x x0 , 這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 1 x0 , 2 x0 為底 , 曲線 z f x0,y 為曲邊的曲

13、邊梯形 , 其面積為A x02 x0f x0,y dy1 x0般地 , 過區(qū)間 a,b 上任一點 x 且平行于 yoz 面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為2xA x f x,y dy1x利用計算平行截面面積為已知的立體之體積的方法, 該曲頂柱體的體積為bA( x )dx2(x)f (x, y)dy dx1(x)從而有b 2(x)f (x, y)dD(1)f (x, y)dy dx a 1(x)上述積分叫做先對 Y ,后對X的二次積分,即先把x看作常數(shù), f(x,y)只看作y的函數(shù),對 f(x,y)計算從 1(x)到 2(x)的定積分 ,然后把所得的結(jié)果 ( 它是 x的函數(shù) ) 再對x從 a到

14、b計算定積分。這個先對 y, 后對 x 的二次積分也常記作 b 2(x)f(x,y)d dx f(x,y)dyD a1(x)在上述討論中 ,假定了 f x,y 0 ，利用二重積分的幾何意義 ,導(dǎo)出了二重積分的計算 公式(1) 。但實際上 ,公式(1)并不受此條件限制 ,對一般的 f(x,y) ( 在D上連續(xù)), 公式(1) 總是成立的。類似地 ,如果積分區(qū)域 D 可以用下述不等式c y d , 1(y) x 2(y)表示,且函數(shù) 1(y), 2(y)在c,d上連續(xù) , f x,y 在D 上連續(xù),則d 2( y)d 2( y)f(x,y)df (x, y)dx dydy f (x, y)dxDc

15、 1( y)c 1( y) (2)顯然,（2） 式是先對 x,后對 y 的二次積分。2二重積分化二次積分時應(yīng)注意的問題（1） . 積分區(qū)域的形狀 前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個共同點 : 對于I型（或II 型）區(qū)域, 用平行于 y軸（ x軸 ） 的直線穿過區(qū)域內(nèi)部 ,直線與區(qū)域的邊 界相交不多于兩點。如果積分區(qū)域不滿足這一條件時 ,可對區(qū)域進行剖分 ,化歸為 I 型（ 或 II 型）區(qū)域的并 （2） . 積分限的確定 二重積分化二次積分 , 確定兩個定積分的限是關(guān)鍵。這里 , 我們介紹配置二次積分限的 方法 - 幾何法。畫出積分區(qū)域 D 的圖形 （假設(shè)的圖形如下 ）圖 10-2-6在 a

16、,b上任取一點 x ,過x作平行于 y軸的直線,該直線穿過區(qū)域 D,與區(qū)域 D的邊界有兩個交點 （x, 1（x）與（x, 2（x） ,這里的 1（x） 、 2（x）就是將 x, 看作常數(shù)而對 y積分時的下限和上限； 又因 x是在區(qū)間 a,b 上任意取的 ,所以再將 x看作變量而對 x 積 分時 ,積分的下限為 a、上限為 b。例 1. 計算 I xyd ,其中 D 是直線 y 1, x 2, 及 yx 所圍的閉區(qū)域 .9（可用 X型區(qū)域， Y型區(qū)域分別求解） 8例 2. 計算 xyd ,其中 D 是拋物線 y2 x 及直線 y x 2 所圍成的閉區(qū)域 .45先對 x 后對 y 積分） 80,

17、所圍成的閉區(qū)域 . 2例3. 計算 Dsinxxdxdy,其中D 是直線 y x,y（先對 y 后對 x 積分）例 4. 交換下列積分順序 I2x20 dx 02 f(x,y)d y22 dx 208 x2f (x,y)d y關(guān)鍵畫圖 8 y2 f (x, y)dx例 5. 計算 I2dy0 2yxln(y 1 y2 )dxdy,其中 D2x2, y 3x, x 1 所圍成 .關(guān)鍵：畫圖，切割積分區(qū)域，利用對稱性 03求體積2 2 2思考 例 6. 求由曲面 z x 2y 及 z 6 2x2y 所圍成的立體的體積。解1. 作出該立體的簡圖并確定它在 xoy 面上的投影區(qū)域圖 10-2-7消去變

18、量 z得一垂直于 xoy面的柱面 x2 y2 2, 立體鑲嵌在其中 ,立體在 xoy面的投 影區(qū)域就是該柱面在 xoy 面上所圍成的區(qū)域D: x2 y2 22. 列出體積計算的表達式(6 3x2 3y3)dDV (6 2x2 y2) (x2 2y2) dDDDx2dy2d而 d 2D由 x, y 的對稱性有x2dD2 x2dy2x2dx2 2 x2x2dD2x2 22y2dDx2dx4sin2cos216 (2 1)!(2 1)!(2 2)!16 14 2 224 x2 2 x2dx0所求立體的體積為V 124更換積分次序練習(xí)改變積分1dx0f ( x, y) dy的次序.10 dy 0yf

19、(x,y)dx 練習(xí)改變積分1dx02x x20 f(x,y)dy 12dx0xf(x,y)dy 的次序 .1 2 y0dy 1 1 y2 f(x, y)dx練習(xí)2a2ax改變積分 dx 20 2ax x2f (x, y)dy (a0)的次序 .a0 dya a2 y2y2f(x, y)dx2aa 2a0 dy a a2 y22a f(x,y)dx dy a2ay2 f (x, y)dx. 2a練習(xí) 4. 13430 求 (x2 y)dxdy ，其中 D 是由拋物線 y x2和 x y2所圍平面閉區(qū)域 D練習(xí) 5 求2 1 2 x2e y2dxdy，其中 D是以 (0,0),(1,1), (0

20、,1)為頂點的三角形 . 1(1 2) 6e練習(xí) 6 計算積分 I121dy 1yexydx4212dy y exdx. 83e 12 e直角坐標(biāo)系下f (x, y) dxdy Dbdxa2 (x)1(x)f (x,y)dyX型f (x,y)dxdy Dd 2 (y)c dy 1(y) f (x, y)dxY型小結(jié)：二重積分計算公式作業(yè) 習(xí)題 10-2(P154)基礎(chǔ)題： 2 (1),(4); 3; 4 (3);7; 10提高題： 6 (4);高等數(shù)學(xué)教案章節(jié)題目第十章 重積分§10-2 二重積分的計算法（二）課型理論課教學(xué)目的掌握二重積分的計算方法（極坐標(biāo)） 。重點二重積分的計算方

21、法難點二重積分的計算方法參考書目同上高等數(shù)學(xué)習(xí)題集教具教學(xué)后記教 學(xué) 過 程（一）、復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容（二）講授§ 10-2 二重積分的計算法 （二） 一、利用極坐標(biāo)計算二重積分1. 變換公式2. 極坐標(biāo)下的二重積分計算法3. 使用極坐標(biāo)變換計算二重積分的原則二、例題（三）、 本次課內(nèi)容小結(jié) （四）、布置作業(yè)§10-2 二重積分的計算法、利用極坐標(biāo)計算二重積分1. 變換公式按照二重積分的定義有nf (x, y)dlim f( i, i) iD0i 1圖 10-2-9現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式。用以極點 0 為中心的一族同心圓 r 常數(shù) 以及從極點出發(fā)的一族射線常數(shù) ,將

22、D剖分成個小閉區(qū)域。除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外 , 小閉區(qū)域的面積可如下計算i 12(riri )i 21 rii 21(2riri ) riiri (riri)2rir i rii其中,ri 表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。在小區(qū)域 i 上取點 ri , i, 設(shè)該點直角坐標(biāo)為i, i , 據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系有i ri cos i ,i ri sin i于是nnlim f( i , i )i lim f ( r icos i ,r i sin i ) ri ri i0 i 10 i 1DD由于 f x.y d 也常記作 f x.y DDdxdy, 因此 , 上述變換公式也可以寫成更富有

23、啟發(fā)性的形式f(x,y)dxdyf (rcos ,r sin )rdrdDD(1)(1) 式稱之為二重積分由直角坐標(biāo)變量變換成極坐標(biāo)變量的變換公式f(x,y)df (r cos ,r sin )rdrd, 其中 , rdrd 就是極坐標(biāo)中的面積元素。f ( x , y )dxdy Dx r cos y r sindxdy rdrdf(r cos ,rsin )rdrd D(1) 式的記憶方法2. 極坐標(biāo)下的二重積分計算法極坐標(biāo)系中的二重積分 , 同樣可以化歸為二次積分來計算。(1) 積分區(qū)域 D 可表示成下述形式1( ) r2( )其中函數(shù) 1 , 2 在 , 上連續(xù)。f (r cos ,rs

24、in )rdrd則D圖 10-2-102( )d f(r cos ,rsin )rdr1( )(2) 積分區(qū)域 D 為下述形式圖 10-2-11顯然,這只是(1) 的特殊形式0 ( 即極點在積分區(qū)域的邊界上 ) 。故(3)f (r cos ,r sin )rdrd D()d f (r cos ,rsin )rdr 0圖 10-2-12顯然 , 這類區(qū)域又是情形二的一種變形( 極點包圍在積分區(qū)域D 的內(nèi)部 ), D 可剖分成 D1與 D2, 而D1:0,0r ( ) D2 :2,0r ( )故D:0 2 ,0 r()2 ( )f (r cos ,r sin)rdrdd f (r cos ,rsi

25、n)rdr則D00由上面的討論不難發(fā)現(xiàn), 將二重積分化為極坐標(biāo)形式進行計算其關(guān)鍵之處在于 : 將積分區(qū)域 D 用極坐標(biāo)變量 r, 表示成如下形式1( ) r2( )3.使用極坐標(biāo)變換計算二重積分的原則(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示 ( 含圓弧 , 直線段)；(2)被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡單 ( 含 (xy2)為實數(shù) ) 。例1aI dx 計算 0a2x2dy4a2 (x2y2) (ay)0)解 此積分區(qū)域為D:0xxya a2 x2區(qū)域的簡圖為該區(qū)域在極坐標(biāo)下的表示形式為D:I rdrdD r 4a2r22asin)d32例 2 計算(x2y2)d利用此題推出概率積分例

26、 3 求球體 x2 y20,0r2asindr4a2r2，其中 D為 x2ex2dx2z24a2 被圓柱面x22asinrarcsin d2a 02ax(a 0) 所截得的 (含在柱面內(nèi)的 ) 立32 2 體的體積 . 32a3(2) 3寫出積分D例422 3 f (x, y)dxdy 的極坐標(biāo)二次積分形式，其中積分區(qū)域(x,y)| 1x y 1 x2 , 0 x1. 22d011 sin cosf(r cos ,rsin )rdr .例5計算(x2Dy2 )dxdy ，其 D 為由圓22xy2y22，x y4y 及直線 x 3y 0，y 3x0 所圍成的平面閉區(qū)域 . 3d64sin2 r

27、2sinrdr3)例 6 計算x2yd ，其中 D為 x2 D2a ,x 0,y0。115a5。例7 計算 sin(x2xy2y)d ，其中D為1 x2 y2 4。 4。 D x y例8計算 (x y)d ，其中 D為 x2D2y2 2 y 。提示：D :0,0 2sin ， 。例 9 計算2 y2 d ，其中 D 為x2y2 2ax 。32 3a9例 10將下述二次積分化為直角坐標(biāo)系下的二次積分a4d4f (r cos ,r sin)rdr 。I22 dx0x,y dy1 a2 x22 dx a2 x2x,y dy2( )d 1( ) f (r cos ,r sin )dr小結(jié)： 二重積分計

28、算公式極坐標(biāo)系下 f (rcos ,rsin )rdrdD作業(yè)： 習(xí)題 10-2(P154) 基礎(chǔ)題： 13 (3); 14 (3); 提高題： 15(2);17高等數(shù)學(xué)教案章節(jié)題目第十章 重積分§10-3 三重積分（一）課型理論課教學(xué)目的1、 掌握三重積分的定義、性質(zhì)2、 掌握直角坐標(biāo)下三重積分的計算方法3、 掌握柱面坐標(biāo)下三重積分的計算方法重點直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)下三重積分的計算方法（投影法、截面法）難點直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)下三重積分的計算方法（投影法、截面法）參考書目同上教具教學(xué)后記教 學(xué) 過 程（一）、復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容（二）、講授§10-3 三重積分（一）一、三重積分的概念

29、1三重積分的定義2三重積分的存在定理3三重積分的物理意義 二三重積分的計算法 1、利用直角坐標(biāo)計算三重積分 2、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分（ 1）三重積分f （ x, y, z）dv在柱面坐標(biāo)系中的計算公式（ 2）用柱面坐標(biāo) r, , z表示積分區(qū)域 的方法（三）、 本次課內(nèi)容小結(jié)（四）、布置作業(yè)§10-3 三重積分的概念及其計算法一、三重積分的概念1三重積分的定義設(shè) f(x,y,z)是空間閉區(qū)域 上的有界函數(shù),將 任意地分劃成n 個小區(qū)域v1, v2, , vn，其中 vi表示第 i個小區(qū)域 ,也表示它的體積。在每個小區(qū)域vi上n任取一點 ( i,i,i), 作乘積 f(i,i, i

30、)vi ，作和式f( i,i,i)vi ，以 記這ni1n個小區(qū)域直徑的最大者 ,若極限 lim f( i, i, i ) vi 存在 ,則稱此極限值為函數(shù)0 i 1f (x,y,z)在區(qū)域 上的三重積分 ,記作f (x,y,z)dv,n即f(x,y,z)dv=lim0f( i, i, i) vi .0 i 1其中 dv 叫體積元素。自然地 , 體積元素在直角坐標(biāo)系下也可記作成 dxdydz 。2三重積分的存在定理若函數(shù)在區(qū)域上連續(xù) , 則三重積分存在。3三重積分的物理意義如果 f ( x , y,z)表示某物體在 (x, y, z)處的質(zhì)量密度 , 是該物體所占有的空間區(qū)域n且f(x,y,z

31、)在 上連續(xù),則和式 f( i, i, i) vi就是物體質(zhì)量 m的近似值 , 該和i1式當(dāng)0 時的極限值就是該物體的質(zhì)量 m 。故 m f (x, y, z)dv特別地 , 當(dāng) f (x,y,z)=1時,dv 為體積 .二三重積分的計算法計算三重積分的基本方法是將三重積分化為三次積分。1利用直角坐標(biāo)計算三重積分假設(shè)積分區(qū)域 的形狀如下圖所示 .在 xoy面上的投影區(qū)域為 Dxy, 過 D xy上任意一點 , 作平行于 z軸的直線穿過內(nèi)部 , 與 邊界曲面相交不多于兩點。 亦即 , 的邊界曲面可分為上、下兩片部分曲面。 S1: z z1( x, y) ,S2: z z2(x,y)其中 z1(x

32、,y),如何計算三重積分f (x, y , z)dv 呢?不妨先考慮特殊情況 f (x, y,z)=1, 則dvdxdydzz2(x,y)z1(x,y)dDxy即一般情況下 , 類似地有z2(x,y)dv dxdy dzDxyz1(x,y)z2(x,y)dv dxdy f (x, y,z)dzDxyz1(x,y)z2 ( x,y)顯然積分f ( x , y, z)dz只是把 f ( x, y, z)看作 z的函數(shù)在區(qū)間 z1(x,y),z2(x,y) 上z1(x,y)對z求定積分 , 因此,其結(jié)果應(yīng)是 x,y的函數(shù) , 記z2(x,y)F(x, y) f(x, y,z)dzz1(x,y)那么f

33、 (x,y,z)dvF (x, y)dxdyxy如上圖所示 , 區(qū)域 D xy 可表示為從而F (x, y)dxdybdx aD xya x b , y1(x)y2(x,y)y1(x,y)F(x, y)dyy2(x)綜上討論 , 若積分區(qū)域 可表示成a x b , y1(x)y y2(x) , z1(x, y) z z2(x,y)by2(x) z2 (x,y)f(x,y,z)dv adx y1(x)dy z1(x,y)f(x,y,z)dz這就是三重積分的計算公式 , 它將三重積分化成先對積分變量 z, 次對 y,最后對 x 的 三次積分。如果平行于 z 軸且穿過 內(nèi)部的直線與邊界曲面的交點多于

34、兩個 , 可仿照二重積分 計算中所采用的方法 , 將 剖分成若干個部分 ,( 如 1 , 2), 使在 上的三重積分化為各例1 計算三重積分分部分區(qū)域 ( 1, 2) 上的三重積分 ,當(dāng)然各部分區(qū)域 ( 1, 2) 應(yīng)適合對區(qū)域的要求。xdxdydz，其中 是由三個坐標(biāo)平面及平面 x 2y z 1所圍成的空間區(qū)域。 418例 2 計算三重積分 z2dxdydz ，其中2 2 2 是由橢球面 ax2 by2 cz21所圍成的空4間區(qū)域。(先二后一)。 4 abc152利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 對于某些三重積分 , 由于積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點 , 往往要利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來計 算。一) .

35、柱面坐標(biāo)設(shè) M (x , y, z)為空間的一點 ,該點在 xoy面上的投影為 p, p點的極坐標(biāo)為 r, , 則r, ,z 三個數(shù)稱作點 M 的柱面坐標(biāo)。規(guī)定 r, , z的取值范圍是0 r ， 0 2 ， z柱面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面分別為r =常數(shù) , 即以 z軸為軸的圓柱面；=常數(shù) , 即過 z 軸的半平面； z=常數(shù) ,即與 xoy面平行的平面。點 M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間有關(guān)系式x r cos y r sin zz(1)二) .三重積分f (x, y, z)dv 在柱面坐標(biāo)系中的計算公式圖 10-3-3用三組坐標(biāo)面 r =常數(shù) , =常數(shù) , z=常數(shù), 將 分割成許多小區(qū)域 ,

36、除了含 的邊界點 的一些不規(guī)則小區(qū)域外 , 這種小閉區(qū)域都是柱體。考察由 r, , z各取得微小增量 dr,d , dz所成的柱體 , 該柱體是底面積為 rdrd , 高為 dz的柱體,其體積為 dv rdrd dz這便是柱面坐標(biāo)系下的體積元素 , 并注意到 (1) 式有f(x,y,z)dv f(r cos ,rsin , z)rdrd dz(2)(2) 式就是三重積分由直角坐標(biāo)變量變換成柱面坐標(biāo)變量的計算公式。(2) 式右端的三重積分計算 ,也可化為關(guān)于積分變量 r, , z的三次積分 , 其積分限要由r, ,z 在 中的變化情況來確定。(三) 用柱面坐標(biāo) r, ,z 表示積分區(qū)域的方法(1

37、) 找出 在 xoy面上的投影區(qū)域 Dxy , 并用極坐標(biāo)變量 r, 表示之；(2) 在 Dxy內(nèi)任取一點 (r, ) , 過此點作平行于 z軸的直線穿過區(qū)域 , 此直線與 邊界曲面的兩交點之豎坐標(biāo) ( 將此豎坐標(biāo)表示成 r, 的函數(shù) ) 即為 z的變化范圍。例 1 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 z x2 y2 dv ，其中是柱面 x2 y2 2x 及平面83z 0,z a a 0 ,y 0 所圍成半圓柱體。 9a39例 2 用柱坐標(biāo)計算三重積分dxd2ydz2 ,其中 是由拋物柱面 x2 y2 4z 與平面1 x2 y2z h(h 0) 所圍成。 (1 4h)ln(1 4h) 4h4，直角坐標(biāo)系

38、下的體積小結(jié)： 三重積分的定義和計算(化三重積分為三次積分) 元素 dv dxdydz 。柱面坐標(biāo)的體積元素 dxdydz rdrd dz作業(yè)： 習(xí)題 10-3(P164) 基礎(chǔ)題： 5; 9 (2); 提高題： 8;14高等數(shù)學(xué)教案章節(jié)題目第十章 重積分§10-4 重積分的應(yīng)用課型理論課教學(xué)目的1、掌握利用二重積分求曲面的面積，平面薄片的質(zhì)心、轉(zhuǎn) 動慣量。2、掌握利用三重積分求立體體積、空間體積的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動 慣量、引力。重點利用二重積分求曲面的面積，平面薄片的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量。難點利用三重積分求立體體積、空間體積的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引 力。參考書目同上教具教學(xué)后記教 學(xué) 過 程（一）、

39、復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容 （二）、講授§ 10-4 重積分的應(yīng)用 一、立體體積 二、曲面的面積； 1、推導(dǎo)公式； 2、例題 三、質(zhì)心； 1. 平面上的質(zhì)點系的質(zhì)心2. 質(zhì)心3. 空間物體的質(zhì)心 四、轉(zhuǎn)動慣量；1. 平面質(zhì)點系對坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量2. 平面薄片對于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量3. 空間物體的轉(zhuǎn)動慣量 五、引力（三）、 本次課內(nèi)容小結(jié) （四）、布置作業(yè)§ 10-4 重積分的應(yīng)用定積分應(yīng)用的元素法也可推廣到二重積分 , 使用該方法需滿足以下條件：1. 所要計算的某個量 U 對于閉區(qū)域 D具有可加性 ( 即:當(dāng)閉區(qū)域 D分成許多小閉區(qū)域 d 時 , 所求量 U 相應(yīng)地分成許多部分量 U ,

40、且 UU 。2. 在 D 內(nèi)任取一個直徑充分小的小閉區(qū)域d 時 , 相應(yīng)的部分量 U 可近似地表示為f(x,y)d其中 (x, y) d稱 f (x, y)d 為所求量 U 的元素 , 并記作 dU 。3. 所求量 U 可表示成積分形式 U f (x, y)d D一、立體體積曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面 z f (x, y), (x,y) D,則其體積為 Vf (x, y)d xd y ，占有空間有界域 的立體的體積為 V dxdydz。2 2 2 2例1.求曲面 S1:z x2 y2 1任一點的切平面與曲面S2 :z x2 y2所圍立體的體積例 2. 求半徑為 a 的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成

41、的立體的體積4 a34 3a (14 cos)、曲面的面積設(shè)曲面 S由方程 z f(x,y)給出 , Dxy 為曲面 S在xoy面上的投影區(qū)域 ,函數(shù)f ( x , y)在D xy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) fx(x,y)和 f y ( x, y),現(xiàn)計算曲面的面積 A。圖 10-4-1在閉區(qū)域 D xy上任取一直徑很小的閉區(qū)域d ( 它的面積也記作 d ), 在 d 內(nèi)取一 點 (x, y) ,對應(yīng)著曲面 S上一點 M(x,y,f(x,y),曲面 S在點M處的切平面設(shè)為 T。以小區(qū)域 d 的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于 z 軸的柱面 在切平面 T 上截下一小片平面 , 由于 d 的直徑很小 片曲面面積。,

42、該柱面在曲面 S 上截下一小片曲面 , 那一小片平面面積近似地等于那一小)為fx(x, y),fy(x,y),1曲面 S在點 M 處的法線向量 ( 指向朝上的那個它與 z 軸正向所成夾角 的方向余弦為cos221 fx2(x, y) fy2(x,y)dA而cos所以 dA2(x, y) fy (x, y)這就是曲面S 的面積元素 , 故Dxy1 fx2(x,y) fy2(x,y)dAD xy2z dxdyy2 2 2例 3 計算雙曲拋物面 z xy 被柱面 x2 y2 R2 所截出的面積 A .23 (12 32R2 ) 2 1) 例 4. 計算半徑為 a 的球的表面積 . (可利用直角坐標(biāo)系

43、或球坐標(biāo)系)4a22 2 2 2 2 2練習(xí) 求球面 x y z a 含在柱面 x y ax( a 0) 內(nèi)部的面積。 解 所求曲面在 xoy 面的投影區(qū)域Dxy ( x,y)|x2 y2 ax圖 10-4-2222曲面方程應(yīng)取為 z a x y , 則zxzya2 x2a2 x2 y2zy2a2 x2 y2曲面在 xoy面上的投影區(qū)域 Dxy 為圖 10-4-3據(jù)曲面的對稱性 , 有2D xy2 dxdy y22da cosa220arrdr22a a2 r 2 0acos d222a (a2a sin )d24a (a asin )d02a2(2)若曲面的方程為 x g(y,z) 或 h(

44、z,x), 可分別將曲面投影到y(tǒng)oz面或 zox 面, 設(shè)所得到的投影區(qū)域分別為 Dyz或 D zx ,類似地有D yz 1xy2x dydzzD zx2y dzdxx、質(zhì)心1. 平面上的質(zhì)點系的質(zhì)心設(shè)在 xoy平面上有 n 個質(zhì)點 ,它們分別位于點(x1,y1),(x2, y2), ,(xn,yn) 處,質(zhì)量分別為 m1,m2, , mn .由力學(xué)知道 , 該質(zhì)點系的質(zhì)點的坐標(biāo)為Myxmnmi xii1nmii1Mxmnmi yii1nmii12. 空間物體的質(zhì)心設(shè)占有空間有界閉區(qū)域的物體，在點(x,y,z) 處的密度為(x,y,z)假定 (x,y,z) 在上連續(xù))，則物體的質(zhì)心坐標(biāo)是(x,y,z)dvy (x,y,z)dvz (x,y,z)dv其中 M( x, y, z)dv當(dāng) 為常數(shù)，1x xdvV1ydvVzdv(x,y)d ,于是靜矩元素 dM x,dM y 為Mx y (x, y)d DM y x (x, y)d D又平面薄片的總質(zhì)量為 m (x, y)dD從而 ,薄